2007-07-27 19:54| 
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我们把一个边长为2的正方形划分成4个小正方形，每个小正方形里作一个内切圆，然后在原来的大正方形中间作一个同时外切于这4个圆的小圆（红色标注）。我们把这个小圆叫做“中心圆”。你怎么来求这个中心圆的半径？
仔细观察其中一个小正方形，思路就出来了：红色的中心圆变成了一个90度扇形，它的中心位于单位正方形的一角，并且外切于直径为1的圆。可以看到扇形半径加上圆的半径等于单位正方形对角线的一半，这样我们就得出，中心圆的半径等于(sqrt(2)-1)/2。
对于一个立方体同样如此。我们把立方体切成8个小立方体，得到的8个球体中间夹住的那个中心球半径就应该为(sqrt(3)-1)/2。你会发现一个惊人的事实，在超立方体中，位于16个四维球体间的中心球半径为(sqrt(4)-1)/2 = 1/2，它竟然与那16个小球一样大。真正可怕的事情发生在九维立方体中，此时的九维中心球半径为(sqrt(9)-1)/2 = 1，竟然内切于最初的九维立方体！而到了十维空间后，中心球的直径将超过十维立方体的边长，这个中心球将突破立方体的边界！被围在里面的中心球居然比原来的N维立方体还大，这显然违反了大多数人的直觉；如果你能想象出这个画面来，你就牛B了。科幻小说中把对十维空间的感知能力作为文明发达程度的标准，除了一些相关的宇宙模型外，这可能也是其中一个原因吧。
26 条回复
您也随便说几句吧：
沙发
错别字
作为生活在三维空间里的生物的我们, 基本上是很难用直觉想像高维空间的, 因为直觉的建立是一个长期的过程, 我们在三维空间里生活了很久才有了对三维空间的直觉的, 有实验显示, 婴儿对面前的沟深浅就没有什么认识..
回复：错别字已改……为什么中文没有什么有效的拼写检查呢
三维低等生物路过。
实在是想像不出高于三维的情况
无语中～
人类实在是太低等了～
回复：四维立方体很容易想象嘛
well, it's....difficult to imagine[flower]
我觉得奇怪的是,"我们竟然能够在2纬平面里化出三为物体来",如果适当的话,二为平面也能够表现四纬物体.
依次类推,我的问题:1.三纬中如何"表示"四纬物体?
2.低纬到底能够表现多高的纬度,是否有个限度?例如:二为平面能够画出5,6,7,8...纬?还是说最多只能够表现到某个纬度.
呵呵,一些迷惑而已,无聊遐想,如果火星的话,甘愿被b4
回复：按照我的理解，平面上可以画出任意高维的图形；网上有这些图片，可以google一下
实在难以想像
不过想到的更厉害
矩阵可以表达任何多维的模型
你的眼睛能够直接“捕捉”一个二维平面，对一个三维物体，如果能捕捉到足够多的它在二维平面上的投影，使你能够通过这些投影判断它的物理性质，那么你就“感受”到了一个三维物体。同样适用于三维表述四维，要得到足够多的四维物体在三维空间的投影。
没有限度，关键在于能否判断它的物理性质。
真折磨想象力
中心球的直径将超过十维立方体的边长，这个中心球将突破立方体的边界！被围在里面的中心球居然比原来的N维立方体还大
第一句话对, 后面两句错
回复：能说一下为什么吗
惊叹于你对数学的痴迷和数学推理，不过我不大赞同你推理的一个结论“被围在里面的中心球居然比原来的N维立方体还大”，这个可能直觉化了。
下面的推理，不一定对，仅作参考
按照你的推理，n维空间，中心球的半径是(sqrt(n)-1)/2，初始大立方体边长为2
那么大立方体的“容积”是2^n
中心球的呢，a*pi*((sqrt(n)-1)/2)^n，a是系数，2维时a=1，三维时a=4/3，……
那么中心球与大立方体体积比=a*pi*(sqrt(n)-1)^n/2^2n，我们只要看看这个比值随着n怎么变化就知道中心球是否会“撑爆”大立方体了
我不确定系数a和维数n的函数关系，按照2维和3维猜测或许是2^(n-1)/n，如果是对的，可以判断比值函数是否递减
简单不严谨的，看看2维和3维情况下这个比值变化或许能猜测这个函数递减，那么又一个奇怪的高维现象发生了，中心球直径逐渐超过立方体边长，但却撑不爆那个立方体
当然了，中心球的“容积”也是越来越大的，只是增长速度赶不上立方体
回复：分母的底数为常数，但球的半径不断增加，最终体积显然会超过立方体
这个“比值”与你想像的很不一样，有兴趣你可以查一下多维球体积公式的相关资料
感觉那个半径计算公式应该是不正确的，感觉而已哈哈~ 数学上尽管有违反直觉的地方，但是感觉这个地方不是的，里面的N维小球球应该还是包含于N维方体的。不知道楼主的推论是否有确切出处。。。
ms有一部科普电影《dimension》讲四维空间讲的比较形象。。
对于最后一句
似乎可以参看这个
“超弦理论认为，在每一个基本粒子内部，都有一根细细的线在振动，就像琴弦的振动一样，因此这根细细的线就被科学家形象地称为“弦”。我们知道，不同的琴弦振动的模式不同，因此振动产生的音调也不同。类似的道理，粒子内部的弦也有不同的振动模式，不过这种弦的振动不是产生音调，而是产生一个个粒子。换言之，每个基本粒子是由一根弦组成。
超弦理论认为，粒子并不存在，存在的只是弦在空间运动；各种不同的粒子只不过是弦的不同振动模式而已。自然界中所发生的一切相互作用，所有的物质和能量，都可以用弦的分裂和结合来解释。
弦的运动是非常复杂，以至于三维空间已经无法容纳它的运动轨迹，必须有高达十维的空间才能满足它的运动，就像人的运动复杂到无法在二维平面中完成，而必须在三维空间中完成一样。
”
引子百度百科“超弦”
4维对于我来说是极其难以Visualize的。14楼提到的dimensions我也看过，但是对于4维空间的想像没有太大帮助。毕竟4维物体过于匪夷所思，看来一段时间内只能够向下兼容了……
是不是可以认为是欧几里得10维空间的否证？至少里面的距离定义不应该是sqrt((a1-b1)^2+(a2-b2)^2+.....(a10-b10)^2)
呵呵，被弄晕了一会儿，想明白了。确实撑破了那个10维体……不自己动手算一下的话的确有点不相信。
另，自己刚才积了一下，4维球的体积是pi^2r^4/2。很好很强大。
http://zh.wikipedia.org/wiki/N%E7%BB%B4%E7%90%83%E9%9D%A2
参考阅读材料
感觉可以大致想象10维空间中立方体的这种情况，但是又感觉无法表述这种概念……低维度生物的悲哀么……
中心球的直径将超过十维立方体的边长，这个中心球将突破立方体的边界！被围在里面的中心球居然比原来的N维立方体还大
前两句话对, 后面一句我没算，不知道。但经过思考之后，我发现这没什么奇怪之处，还是符合数学和物理常识的。
因为你本来就没说球体肯定在超立方体内，你只是说它和周围的球体相切。而当维度增加时，中间的空间必然增大，导致中间的球在重围中“滑出”超立方体的边界了。
你可以以想象9维空间为例，那时候，正如你所说，中心的球体刚好与超立方体内切，想象这时另外2^9个球体被中心的球“挤”到2^9个角落里了，但它们依然彼此接触。
搂主的地公式好像不对，至少3维的时候不是(sqrt(3)-1)/2,好像是(2*sqrt(3)-sqrt(2)+1)/2 更高维超出立方体硬改还是有可能的 半径确实在变大
认为不存在四维以上空间的路过。。。。。。
哈哈 偶得结论是：
n维中心球在n趋于无穷时的容积极限是n维超立方体外接球的容积
出现这个现象是因为那几个小超立方体内接球的容积随着n增大变得越来越“小”（在n>=6的时候）。很明显，这时候中心球的计算方法需要改过，想一想一个大正方形四个角上塞了4个很小的圆，这时候中心圆的情形就能明白~
三叶虫路过：咦，这里好多点点噢......
思维空间在楼主的头脑里是什么样子？
坦率的说，您的推论在而且仅在您认识的三维空间里有效；
思维空间还没有形成？？？？？
推论：
1维，三维空间中的一维；
2维，三维空间中的二维；
3维，三维空间中的三维；
、、、、、、、、、、、
4维以上，三维空间中的4维以上？
所以没有您的公式，也没有其他仁兄的递减规律，逻辑上好像有点点的欠考虑！如果眼睛仅是三维空间中的探测媒介，那么不要把4维以上空间想象倾向于眼睛所看到的三维空间空间的计算吧！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
三维低等生物路过。