令人敬畏的十维空间


    我们把一个边长为2的正方形划分成4个小正方形,每个小正方形里作一个内切圆,然后在原来的大正方形中间作一个同时外切于这4个圆的小圆(红色标注)。我们把这个小圆叫做“中心圆”。你怎么来求这个中心圆的半径?
    仔细观察其中一个小正方形,思路就出来了:红色的中心圆变成了一个90度扇形,它的中心位于单位正方形的一角,并且外切于直径为1的圆。可以看到扇形半径加上圆的半径等于单位正方形对角线的一半,这样我们就得出,中心圆的半径等于(sqrt(2)-1)/2。
    对于一个立方体同样如此。我们把立方体切成8个小立方体,得到的8个球体中间夹住的那个中心球半径就应该为(sqrt(3)-1)/2。你会发现一个惊人的事实,在超立方体中,位于16个四维球体间的中心球半径为(sqrt(4)-1)/2 = 1/2,它竟然与那16个小球一样大。真正可怕的事情发生在九维立方体中,此时的九维中心球半径为(sqrt(9)-1)/2 = 1,竟然内切于最初的九维立方体!而到了十维空间后,中心球的直径将超过十维立方体的边长,这个中心球将突破立方体的边界!被围在里面的中心球居然比原来的N维立方体还大,这显然违反了大多数人的直觉;如果你能想象出这个画面来,你就牛B了。科幻小说中把对十维空间的感知能力作为文明发达程度的标准,除了一些相关的宇宙模型外,这可能也是其中一个原因吧。

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