2009-11-13 17:30| 
8 Comments | 本文内容遵从 空间中有六个点，它们两两间的距离都互不相等。考虑所有以这些点为顶点构成的三角形。证明：存在某个三角形，它的最长边是另外某个三角形中的最短边。
这个结论并不是显然的。为了说明这一点，只需要注意到同样的结论对n=5的情况是不成立的。考虑平面上一个正五边形的五个顶点（微调它们的位置使得两两间的距离互不相等），容易发现任意三个点所组成的三角形，其最长边都不可能是另一个三角形的最短边。
证明：考虑以这些点为顶点的全体三角形。依次把每一个三角形的最短边染成红色。这样下来，某些线段被染了好几次红色，某些线段自始至终从未被染色。把那些没有染色的线段染成蓝色。由一个经典的结论我们知道，把六个点两两间的所有连线进行红蓝二染色，则总能找到这样一个三角形，它的三条边都是红色或者都是蓝色。但在我们这里的构造中，不可能有哪个三角形三条边都是蓝色的，因为每个三角形中都有一条最短边，根据构造它已经被我们染成红色了。因此，在我们的染色构造中存在一个全是红色边的三角形。这个三角形就是满足题意的三角形——它有一条最长边，并且由于它是红色的，它一定是另外某个三角形的最短边。
附上面那个经典结论的证明：任意选一个顶点P，和它相邻的有五条边，由鸽笼原理，至少有三条边是一种颜色。无妨假设PA、PB、PC都是红色。现在，如果AB、BC、AC这三条边中有一条也是红色的话，我们就立即得到了三条边都是红色的三角形；如果AB、BC、AC这三条边都不是红色，那ABC本身就是三边均为蓝色的三角形了。这就证明了我们的结论。
来源：http://www.cut-the-knot.org/proofs/ShortestIsLongest.shtml
很多问题都是Theorem on friends and strangers的推广
sofa啊
哈哈哈
终于。。
楼上杯具了
2楼杯具啦...哈哈
呃啊……强啊……
太好的文章了。
Ramsay定理的神奇应用
[...] This post was mentioned on Twitter by no chan, cwyalpha. cwyalpha said: 趣题：某个经典结论的妙用 http://j.mp/4sOGQK [...]
看到这个忽然好像想到了什么
神奇的证明，但是昨天晚上我仔细想的时候发现是不是这里面使用了两个不同的标准来证明，从而会出现一定的矛盾？我同样可以说不可能存在一个三角形是全红色的，因为构造的时候只是把最短边染成了红色，其他边染成了蓝色，这好像存在重复染色的问题吧！