又一种证明根号2是无理数的方法

    今天的最后一篇日志了,仍然是翻译的cut-the-knot。发完我就睡觉去了。

    这里已经有五种证明根号2是无理数的方法了。现在我们算是介绍第六种方法了。
    一个有限小数的平方绝对不可能变成整数,因为小数部分不可能消失。观察有限小数的小数部分最后一个数字你会发现结论是显然的,平方后它总会产生新的“最后一位”。
    下面证明,(n/m)^2不可能等于2。n/m不可能是整数,于是把它写成小数形式,而有限小数的平方不可能是整数。如果n/m不是有限小数的话,可以把它转换成另外的进制使得n/m是有限小数,因而上面的结论仍然成立。一个进制下的无限小数可能是另一个进制下的有限小数。比如,把分数n/m转化为m进制,得到的小数肯定是有限小数。

16 条评论

  • dd

    疯了……

    回复:想告诉我anothr反应有多快吗

  • whqlsc

    经典!!

  • savy.ch

    建议复习初中数学。

    无理数和有理数。

    无限小数也可能是有理数的,1/3 etc.

    回复:你显然没有理解到我的意思。如果你对这个问题感兴趣,可以参看前五种证明方法。你会发现这是前文第四种方法的另一种表现形式

  • 纳米

    well, 根号2….
    去年这个时候为了证明这个还花了不少的时间….
    结果发现教科书后N页就有证明…

  • 方法据了解

    但是,你怎么肯定,一定存在着一个进制,使得根号2表达成这个进制的数,是有限小数呢~
    你需要证明存在性.

    回复:根号2当然不可能是有限小数,这里只是说n/m一定能表示成有限小数

  • pg

    一个有限小数的平方绝对不可能变成整数,因为小数部分不可能消失。观察有限小数的小数部分最后一个数字你会发现结论是显然的,平方后它总会产生新的“最后一位”。
    这个是比较显然,但是还是要证明;总的来说思路很巧妙。

  • 过客

    为什么会得到p^2=2*q^2??
    拜托能帮我解答!

  • starwing

    这个是不是有个推论:对于无理数,用任何进制表示,它都是无限不循环的?

    这么说来,“无理数”本身其实是进制造成的漏洞,而不是数学上的漏洞。

  • MBC

    这个证方某本微积分的书开头就是~

  • Fermat

    这个要涉及到数制的知识了,其基础更强了。基础起强,证明起来往往可能更容易。

  • Fermat

    这里涉及到进制的问题,其证明的基础又强了不少。基础越强,证明起来倒是可能越简单。

    以前那个“一个无限可进行下去的过程必须有一个终止条件”从而导出矛盾而证伪的方法,很是好。

  • Leo

    其实你为什么一定要避开无限循环小数呢?
    对于任何一个最简分数a/b,它的分子a与分母b是互质的,而它的平方a^2/b^2分子分母显然还是互质的,也就是说分数的平方一定是分数。
    这样就把有限小数和无限循环小数统一起来了,用进制的话感觉门槛太高了。

  • cervelo jersey

    这方面真需要基础,不然没办法解答。

  • piglet

    不愧是懂计算机的

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