Matrix67 |
2010-08-08 13:16 | 
数学常数最令人着迷的就是，它们常常出现在一些看似与之毫不相干的场合中。 随便取一个 0 到 1 之间的数，再加上另一个 0 到 1 之间的随机数，然后再加上一个 0 到 1 之间的随机数⋯⋯直到和超过 1 为止。一个有趣的问题：平均需要加多少次，才能让和超过 1 呢？答案是 e 次。
Mar
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显然，过 Pizza 的圆心作四条直线，把一个周角平分成八等份，则整个 Pizza 饼也被分成了八等份。我们也很容易联想到，如果过圆心外的一点做出四条直线，并且同样满足每两条相邻直线夹 45 度角，那么这八块 Pizza 饼显然是不一样大的。考验你直觉的时候到了：你认为蓝色面积之和与红色面积之和相比，哪个大一些呢？
Feb
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在处理最优化问题时，我们常常通过分析导函数来寻找极值点，因此往往希望目标函数是可导的；但在很多实际问题中，目标函数里经常带有取最大值函数，它的存在将破坏函数的可导性。一个有趣的问题由此产生：能否设计一个平滑的二元函数 f(x,y) ，它的效果近似于 max(x,y) ，足以用来代替最大值函数？在设计这样的函数时，下面这些条件需要尽可能满足：
· 函数简洁而美观
· 可以调整函数的“平滑度”
· 可以很方便地扩展到多个变量
Oct
27
在今天晚上的微观经济学课上，我又听到了一个比较有意思的东西。试着找找各种类型的连续函数f(x)，画出f'(x)和f(x)/x的函数图像，你会发现一个奇怪的现象：f'(x)与f(x)/x相交的地方都是f(x)/x取到极值的地方。简单地算一算，我们不难证实这个结论。f(x)/x的导数等于f'(x)/x - f(x)/x^2。将f'(x)=f(x)/x代入上式，可得f'(x)/x - f(x)/x^2 = f(x)/x^2 - f(x)/x^2 = 0。这就是说，当f'(x)与f(x)/x相等的时候，f(x)/x的导数一定等于0。有意思的是，这个结论还有一个非常直观的解释，你能想到吗？
Sep
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最近几天见到了几道零散的、不成系统的趣题，在这里合成一篇文章，与大家分享。
1. 证明：对任意正整数n，n^2+n+1一定不是完全平方数。
2. 说一个实数是可表达的，当且仅当它能用有限长的语句明确地描述出来，如2147483648可以说成是“二的三十一次方”，√2即为“平方后等于二的正实数”，π即为“圆的周长和直径之比”。问题是，是否存在一个不可表达的实数？
3. 一个人有两个小孩儿，其中有一个生于星期二的男孩儿。问另一个是男孩儿的概率是多少？
4. 无需积分，计算
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Mar
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Feb
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大学生活的乐趣不光体现在吃喝玩乐上，更重要的是它所提供的自由学习的场所。你可以在网上搜索课表，看看什么时候什么教室有什么牛B课，记在手机中的待办事项中，到时候到那个教室去旁听。旁听的乐趣就在于，你可以去学任何你想学的东西，不用交作业，不用怕点你名，不用记笔记，不用考试，只需要挂个耳朵在那儿听牛B东西就行了。前天一大早就被兔子叫起来，跟着一起去旁听了一节数理逻辑。
课程内容很简单，毕竟也才只讲了两周，一切都是很基础的。老师讲得很好，对联结词、命题公式、真值表等概念都说得很细致，即使完全没接触过这方面东西的人也能弄明白。作为信科的专业课，老师也简单提到了SAT问题：给定一串由AND, OR, NOT, 逻辑变量和括号组成的表达式，是否能给变量取值使得整个表达式为真？如果存在这样的“成真赋值”，我们就称表达式是一个“可满足式”。最简单的例子，p∧q就是可满足的，把p、q都取真即可；p∧(¬p)就不可满足，该式无论如何都为假。判断一个逻辑表达式是否可满足是一个经典的NPC问题，目前除了枚举之外还没有更好的算法。
还有一种逻辑表达式，不管初始值是什么，整个式子恒为真。例如，p∨(¬p)就是永真式。看起来，判定一个式子永真比判定一个式子可满足似乎要困难得多，因为前者比后者要强得多。而事实却是，这两个问题可以（在多项式的时间内）相互转化，它们在复杂程度上并无区别。如果你找到了一种可满足式判定算法，你便立即拥有了永真式判定算法。换句话说，你的算法若能找出一个成真赋值，你就能利用该算法立即得出该式所有赋值结果是否都为真。这个问题的问法很有艺术性，它有意屏蔽掉了永假式判定这一桥梁。事实上，一个表达式要么可满足要么永假，而从永假到永真只有一步之遥——只需要在最前面加一个“非”即可。也就是说，如果有一个程序，它能告诉我逻辑表达式A是否可满足，那么我就把¬A输进去：如果它说¬A不可满足，意即¬A的任何赋值结果均为假，反过来A就是永真的；如果它说¬A可以满足，意即程序找到了¬A的一个成真赋值，反过来便成为了A永真的一个反例。
