下面这个问题来自于 IMO 2010 中的第 5 题。桌子上有 B1 、 B2 、 B3 、 B4 、 B5 、 B6 共六个盒子，初始时每个盒子里面都有一枚硬币。允许以下两种操作：
(1) 选择一个非空的盒子 Bj （1 ≤ j ≤ 5），从 Bj 里拿走一枚硬币，然后在 Bj+1 里添加两枚硬币。
(2) 选择一个非空的盒子 Bk （1 ≤ k ≤ 4），从 Bk 里拿走一枚硬币，然后交换 Bk+1 和 Bk+2 里面的硬币数（这两个盒子里的硬币数都有可能是 0 ）。
是否有可能通过有限次操作，使得最后 B1 、 B2 、 B3 、 B4 、 B5 都是空的，并且 B6 里面恰好有 2010 ^ (2010 ^ 2010) 枚硬币（符号 ^ 表示乘方）？
在著名奇书 Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid 的第五章中，为了展现出递推序列的神奇之处，作者 Douglas Hofstadter 定义了这么一个递推序列： G(n) = n – G(G(n – 1)) ，其中 G(1) = 1 。这个序列的前 30 项如下：
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| G(n) | 1 | 1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 5 | 6 | 6 | 7 | 8 | 8 | 9 | 9 | 10 | 11 | 11 | 12 | 12 | 13 | 14 | 14 | 15 | 16 | 16 | 17 | 17 | 18 | 19 |
这个数列通常被称作 Hofstadter G-sequence 。它有什么特别的地方呢？如上图，如果把每个标号为 n 的结点都连接到标号为 G(n) 的结点下方，这样的话你将会得到一棵树。从第二行开始算起，各行的结点个数依次为 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … 正好是著名的 Fibonacci 数列（头两个数都是 1 ，从第三个数开始，每个数都是前两个数之和）。如果我们把第 i 个 Fibonacci 数记作 Fi 的话，上面的规律可以重新表述为：当 n ≥ 2 时，这棵树的第 n 行的结点总个数为 Fn-1 。另外，这棵树的前 n 行的结点总数（也就是第 n 行最右边那个结点的编号）正好等于 Fn+1 ，也是一个个的 Fibonacci 数。对照上面两个事实，你会惊奇地发现，莫非 F1 + F2 + … + Fn-1 + 1 总是等于 Fn+1 ？事实的确如此，上面这个式子对于所有大于等于 2 的正整数 n 均成立。
同样是无穷集合，如果集合里的元素能够与全体正整数构成一一对应的关系，我们就说它是可数的，否则就说它是不可数的。 1874 年， Cantor 发表了一篇重要的论文，论文中证明了全体有理数甚至是全体代数数都是可数的，但全体实数却是不可数的。换句话说，同样是无穷多，实数的数量比有理数、代数数的数量都高出了一个级别。不过，当时 Cantor 证明实数集不可数的方法并不容易理解。 1891 年， Cantor 发表了另一篇论文，给出了实数集不可数的另一种证明方法。此后，这个简单到不可思议的证明不断地震撼着每一个初学集合论的人：
事实上，实数区间 (0, 1) 就已经是一个不可数的集合了。换句话说，你绝不可能用“第一个数是某某某，第二个数是某某某”的方式把 0 到 1 之间的所有实数一个不漏地列举出来。我们大致的证明思路是，假设你把实数区间 (0, 1) 里的所有数按照某种顺序排列起来，那么我总能找到至少一个 0 到 1 之间的实数，它不在你的列表里，从而说明你的列表并不全。把你的列表上的数全写成 0 到 1 之间的无限小数（如果是有限小数，可以在其后面添加数字 0 ，把它变成无限小数）：
a1 = 0.0147574628…
a2 = 0.3721111111…
a3 = 0.2323232323…
a4 = 0.0004838211…
a5 = 0.0516000000…
………
那么我就构造这么一个小数，小数点后第一位不等于 a1 的第一位，小数点后第二位不等于 a2 的第二位，总之小数点后第 i 位不等于 ai 的第 i 位。这个数属于实数区间 (0, 1) ，但它显然不在你的列表里，因为它和你列表里的每一个数都有至少一位是不同的。这样，我们就证明了实数区间是不可数的。
上帝创造了整数，其余的则是我们人类的事了。正因为如此，质数、完全数、Fibonacci 数之类的数列才会让数学家们如痴如醉，因为它们的存在是如此自然，没有任何人造的因素。事实上，数学家们对这些数的认识也越来越丰富，挖掘出了这些数列中越来越深刻的性质。
不过，人类确实太渺小了。还有好多构造异常简单的“纯天然数列”，我们了解得实在太少。Kolakoski 数列就是最好的例子之一。
Kolakoski 数列仅由 1 和 2 构成，其中头 100 个数是
1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1,
2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1,
1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2,
1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2,
2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, …
有一根不均匀的绳子，烧完正好需要 1 个小时。如何用这根绳子测出半个小时的时间呢？答案很巧妙：把这根绳子的两头同时点燃，绳子烧完时正好就过了半个小时。更妙的是下面这个加强版：如何用两根这样的绳子来计时 45 分钟？答案是，把其中一根绳子的两头都点燃，同时点燃另一根绳子的其中一头；待到前一根绳子烧完之后，再把第二根绳子的另一头也点燃，于是便能测出 30 + 15 = 45 分钟了。
一个有趣的问题自然而然地产生了：假如这样的绳子足够多，哪些时间能够用烧绳子的方法测出来呢？
为了解决这一问题，让我们先把这个问题本身理清楚——“烧绳子测量时间”的“游戏规则”究竟是什么？首先，一根绳子（的任意一头）可以在第 0 时刻或者另外某根绳子烧完的瞬间点燃。另外我们假设，在同一时刻，我们可以同时点燃任意多根绳子。而由此测出的时间段则定义为从点燃第一根绳子到最后一根绳子烧完的总时间。
用形式化的语言来描述，如果绳子两端分别在第 a 时刻和第 b 时刻点燃（其中 |a – b| < 1 ），那么绳子最终将在 (a + b + 1)/2 时刻烧尽。我们说某个时间点 x 是可以到达的，当且仅当存在两个可以到达的时间 a 、 b ，使得 x = (a + b + 1)/2 。显然，第 0 时刻是可以到达的。从第 0 时刻出发，不断用 (a + b + 1)/2 进行迭代，我们就能得到所有能够测出的时间了。
可以看到，随着迭代次数的增加，能够测量的时间越来越多，也越来越精确；不过，时间一去不复返，有些时间还是无法测量，绳子再多也没法弥补。