我们想要计算无穷级数Σ(1/n)*(-1)^(n+1) = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 …。首先我们需要说明，这个无穷级数是收敛的。注意到，从1的后面开始，每减去一个数后紧接着都会加上一个比它小的数，因此不管你加到哪儿，它的和始终不会超过1；另外，从1-1/2之后开始，每加一个数紧接着都会减去一个比它小的数，因此无论加到什么位置，整个和始终大于1/2。这说明，这个级数是收敛的，并且它收敛到1/2和1之间的某个数（事实上这个数是ln(2) ）。

    好了，令这个无穷级数为S，现在对S进行这样的变换：

S = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 + …
  = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …) – (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …)
  = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …) – (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …) – (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …)
  = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …) – 2 * (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …)
  = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …) – (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …)
  = 0

    但刚才不是说了S是大于1/2的么？这怎么可能呢？

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    给出一个连续函数，某一点上的导数为正说明函数在这一点是上升的，换句话说函数从左边充分靠近该点时函数值总小于这个点，从右边靠近该点时函数值总大于这个点。但这并不等于说这一点左右是一个单增区间，也就是说该点左右任意小的邻域内函数都不是单调递增的。你能找出这样的函数来吗？

    昨天数学课上，我学到了一个比较牛B的东西：函数上某一点导数为正，该点邻域不一定形成单增区间。虽然左边的点都比该点低，右边的点都比该点高，但这并不能说明左边和右边各自都是单增的。这样的函数确实存在，而且并不是那种很怪的函数，仅仅是一个简单的初等函数：f(x) = x + 2x^2*sin(1/x)。由于x=0时函数没有定义，我们规定f(0)=0。按照导数的定义，函数在x=0时的导数值为
   Limit[ (f(0+Δx)-f(0))/(Δx-0), Δx->0 ]
= Limit[ f(Δx)/Δx, Δx->0 ]
= Limit[ 1 + 2Δx*sin(1/Δx) , Δx->0 ]
= 1

    这说明函数在x=0处的导数确实是正的。当x≠0时，按照求导法则可以求出f'(x) = 1 – 2*cos(1/x) + 4x*sin(1/x)。当|x|充分小时，最后一项可以忽略不计；此时只要1/x恰好等于2πn (n为整数)，那么f'(x)保证是负的。这就告诉我们，x=0左右任意近的位置都存在导数为负的情况，这样不管邻域范围多小总能找到一个函数值在减小的地方。
    其实，看一下f(x)的函数图象，你会立即明白这是怎么回事。这个函数越接近原点抖动频率越快（到原点时“周期”无限小），同时振幅也越小（到原点时振幅为0，这样可以保证导数存在）；但这个函数总的来说呈上升趋势。因此，这个函数才有我们前面提到的奇怪性质。