为什么平分圆面积的所有曲线中以直径最短？

Brain Storm | 2008-10-04 1:48| 8 Comments | 本文内容遵从CC版权协议 转载请注明出自matrix67.com

    很多时候，我们往往不知道如何证明一些最简单、最基本的命题，即使证明本身也并不复杂。上个星期我去《数学思维方法与创新》这门通选课时，丘维声教授就提到了这个问题；在随堂统计中，知道三角函数和角公式证明方法的人出乎意料的少，而事实上高中的数学教材上印有这个公式的完整证明。
    试着证明这个定理：给定一个圆，则端点在圆周上的平分圆面积的曲线以圆的直径最短。

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   

 
    证明：随意作一条平分圆面积的曲线（图中的红色曲线），它的两个端点分别为A、B。作出平行于AB的直径CD，作出过A点的直径AB'。注意到B和B'关于CD对称。红色曲线不可能全部在CD的一侧（否则它围住的面积小于一个半圆，无法平分圆面积），因此它与直径CD必然有交点。找出一个交点E，则曲线长度大于AE+EB，它等于AE+EB'，而AE+EB'的长度大于直径AB'。

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Tags: 证明, 几何
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8 条回复

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  楼层: 沙发 | 2008-10-04 2:25 | Ronice 说：

  我终于很荣幸的sf了

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  楼层: 板凳 | 2008-10-04 11:47 | stefyang 说：

  个人觉得证明有点小问题哈
  关键在于“B和B'关于CD对称”这句话
  B'是通过A点和圆心构造出来的
  难道过A点且平分圆面积的曲线只有一条么
  上面的这句话肯定是错的
  我可以随便做一条穿越直径cd的曲线
  目标就是让他和od交与E点
  然后根据已有的区域的面积构造eb部分的曲线
  觉得这样的曲线会有很多条
  所以B点就有很多

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  楼层: 地毯 | 2008-10-04 12:20 | Assassin.cpy.pku 说：

  初三和某男讨论过-_-||不过M67还是很强大的说

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  楼层: 地板 | 2008-10-04 13:38 | 咸鱼 说：

  CD是平行于AB的，不是固定的好不好...也就是说先确定了曲线AB及两个端点，才可以确定CD的，这样不管曲线在哪里，最终做得的B'和B都是对称的，楼上理解错了吧...
  好神奇哎！~
  ps:差一点点，matrix同学就住到47楼207了吧，啧啧啧...

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  楼层: 地下室 | 2008-10-04 17:53 | hetong_007 说：

  我会证明和角公式……

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  楼层: 地基 | 2008-10-04 18:26 | 燕仰 说：

  啊哟好开心哟～如果我去听丘老师的那节课还是有我会的东西的呀，嘻嘻～

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  楼层: 地壳 | 2008-10-06 11:15 | Ttxu 说：

  To stefyang,
  注意CD平行AB，B'总是关于CD与B对称的

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  楼层: 地幔 | 2008-10-06 20:53 | jjymhkx0820 说：

  ...同心圆面积平分那涅...圆圈内部的其他形状涅...

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