正多边形的滚动与旋轮线下方的面积

Brain Storm | 2012-04-06 19:44| 62 Comments | 本文内容遵从CC版权协议 转载请注明出自matrix67.com

    想像一个圆盘在地面上滚动一周，那么圆周上一点所形成的轨迹就叫做旋轮线（或者摆线）。旋轮线下方的面积是多少，这是一个非常有趣的问题。据说， Galileo 曾经用一种非常流氓的方法，推测出了旋轮线下方的面积。他在金属板上切出一块圆片，再在金属板边缘剪下这个圆形所对应的旋轮线，把它们拿到秤上一称，发现后者的重量正好是前者的三倍。于是，他推测，半径为 r 的滚轮所产生的旋轮线，其下方的面积就是 3πr² 。

    

    不过，今天我第一次知道，这个结论对于正多边形是同样成立的。

    考虑一个正三角形在平地上滚动一周，则原来的顶点 A₁ 将会先后转到 A₂ 和 A₃ 的位置。容易看出， A₁ 、 A₂ 、 A₃ 的连线与地面构成的面积正好是正三角形的三倍。

      

    类似地，让正方形在平地上滚动一周，则原来的顶点 A₁ 将会先后转到 A₂ 、 A₃ 和 A₄ ，这四个点的连线下方的面积也正好是这个正方形的三倍。

      

    另外两个比较简单的情形则是正六边形和正八边形，大家也可以自行验证一下。看来，这里面一定有一个深刻的原因，能够解释为何结论对于任意正 n 边形都成立。

      

      

    让我们先来看另一个看似无关，但仍然非常神奇的结论：假设正多边形的外接圆半径为 r ，从外接圆上任意一点出发，依次与该多边形的 n 个顶点相连，则这 n 条连线的长度的平方和等于 2n · r² 。我们来证明这个结论。

    把正多边形的中心放在平面直角坐标系的原点处，把外接圆上的那个点记作 (u, v) ，再假设多边形 n 个顶点的位置分别是 (a₁, b₁), (a₂, b₂), …, (a_n, b_n) ，则这 n 条连线的平方和为

         Σ((u - a_i)² + (v - b_i)²)
      = Σ(u - a_i)² + Σ(v - b_i)²
      = n · u² - 2u · Σa_i + Σa_i² + n · v² - 2v · Σb_i + Σb_i²
      = n · (u² + v²) - 2u · Σa_i - 2v · Σb_i + Σ(a_i² + b_i²)

    显然， u² + v² 以及所有的 a_i² + b_i² 都等于 r² ，因此上面的式子也就等于了 2n · r² - 2u · Σa_i - 2v · Σb_i 。接下来，我们只需要说明 Σa_i 和 Σb_i 都为 0 即可。其实这是显然的：因为正多边形 n 个顶点的重心在中心 (0, 0) 处，说明这 n 个顶点的所有横坐标之和就是 0 ，所有纵坐标之和也为 0 。

    特别地，把外接圆上的那个点取成正多边形的顶点，于是我们得到，从正 n 边形的某个顶点出发，连接其他 n - 1 个顶点，如果把这 n - 1 条连线分别记作 d₁, d₂, …, d_n-1 ，则有：

       d₁² + d₂² + … + d_n-1² = 2n · r²

    我们利用这个结论来说明，连接正多边形滚动一周后某个顶点依次所达的位置，所得折线段下方的面积恰为该正多边形的三倍。

      

    现在，假设正多边形的外接圆半径为 r ，把这个正多边形的面积记作 A 。如图，折线段下方的面积可以被分成 n - 2 个蓝色三角形和 n - 1 个红色三角形（图中所示的是 n = 9 的情况）。这 n - 2 个蓝色三角形恰好能拼成一个原多边形，它们的面积和为 A 。下面，我们来看一下剩下的 n - 1 个红色三角形都是怎么形成的。正多边形一共转动了 n - 1 次，每一次都是绕着一个新的顶点在转动，这 n - 1 个红色三角形就是在这 n - 1 次转动中产生的。容易看出，每个红色三角形都是等腰三角形，它们的腰长分别为 d₁, d₂, …, d_n-1。同时，由于 n 次转动后正多边形将回到原来的方向，因此每一次正多边形都转过了 (360/n)° 。因此，每个红色等腰三角形的顶角也都是 (360/n)° 。于是你会发现，第 i 个红色三角形的形状与正多边形的其中 1/n 块完全一样，只不过有一个 d_i : r 的相似比！注意到面积比是相似比的平方，于是所有红色三角形的面积之和为：

         (A/n) · d₁² / r² + (A/n) · d₂² / r² + … + (A/n) · d_n-1² / r²
      = (A/n) · (d₁² + d₂² + … + d_n-1²) / r²
      = (A/n) · 2n · r² / r²
      = 2A

    因此，折线下方的面积是 3A ，即原正多边形面积的三倍。当 n 趋于无穷的时候，我们便又回到了 Galileo 所发现的那个结论。

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Tags: 证明, 几何
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62 条回复

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  楼层: 沙发 | 2012-04-06 20:00 | rihkddd 说：

  好久不更新了，沙发吗？

• 
  楼层: 板凳 | 2012-04-06 20:04 | rihkddd 说：

  怎么不说下您的新书呢？

• 
  楼层: 地毯 | 2012-04-06 20:20 | bintree37 说：

  如此前排，不曾抢过

• 
  楼层: 地板 | 2012-04-06 20:23 | jack 说：

  博主平时花在写博客和读博客的时间有多少？

• 
  楼层: 地下室 | 2012-04-06 20:45 | cchongb 说：

  第一次评论，而且如此前排
  多交流交流

• 
  楼层: 地基 | 2012-04-06 21:07 | exp618 说：

  怎么想到的啊，想想还有什么跟圆有关的定理……

• 
  楼层: 地壳 | 2012-04-06 22:48 | lcdtyph 说：

  好久不更新啦~

• 
  楼层: 地幔 | 2012-04-06 23:22 | fr0est 说：

  爲什麽三角滾動點的軌跡會是直的呢?

• 
  楼层: 地核 | 2012-04-07 0:09 | littlesix 说：

  @地幔：这种方法考虑的不是每个时刻顶点的位置，而是每转过一边后的位置，对于n趋向无穷之后就没什么影响了- -

• 
  楼层: 10楼 | 2012-04-07 7:27 | anini 说：

  三角形一个顶点翻转起来形成的轨迹不应该是圆的吗？

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  楼层: 11楼 | 2012-04-07 10:00 | Raid 说：

  还是喜欢m67以前的风格.

• 
  楼层: 12楼 | 2012-04-07 10:22 | 妮妮 说：

  怎么想到的啊，三角形一个顶点翻转起来形成的轨迹应该是圆

• 
  楼层: 12a楼 | 2012-04-07 11:17 | K 说：

  好久不更新啦～嗯学习了！

• 
  楼层: 14楼 | 2012-04-07 13:47 | Parabola 说：

  Orz……

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  楼层: 15楼 | 2012-04-07 15:38 | 台州整形医院 说：

  每天必来 受教了！！

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  楼层: 16楼 | 2012-04-07 18:38 | Xsummer 说：

  啧啧~

• 
  楼层: 17楼 | 2012-04-07 19:02 | 魔法少女 说：

  这个在轨迹不近似为直线的情况下还会成立？

• 
  楼层: 18楼 | 2012-04-07 19:11 | percyalpha 说：

  要验证一致收敛的么
  （否则不能直接说 边长->无穷 三角形面积求和 能交换）

• 
  楼层: 19楼 | 2012-04-07 20:52 | ZRJ 说：

  能否详解一些三角形和正方形的轨迹形成过程？

• 
  楼层: 20楼 | 2012-04-08 0:24 | google天下 说：

  除了圆形之外，其他正N变形的滚动不能称之为轨迹。我所说的轨迹是连续性的。对于非连续型，你说的成立，那连续性的 ，如何？

• 
  楼层: 21楼 | 2012-04-08 0:27 | ernest 说：

  m67终于出新文了⋯⋯

• 
  楼层: 22楼 | 2012-04-08 7:15 | jetmc 说：

  轨迹不是应该形成曲线图案么?

• 
  楼层: 23楼 | 2012-04-08 22:09 | huwenbiao 说：

  轨迹应该是曲线吧？

• 
  楼层: 24楼 | 2012-04-09 11:47 | jimdt69 说：

  膜拜大神，这是我第一次跟帖，因为我难得看懂了这篇文章的大部分内容。就是想问一下，那个n-1和n-2是怎么得出来的。另外蓝色三角形的和正好为A是怎么算出来的？可否详细解答一下。

• 
  楼层: 25楼 | 2012-04-09 18:18 | 雪人的鼻子 说：

  这中流氓方法在以前做气相色谱分析的时候也常用呢

• 
  楼层: 26楼 | 2012-04-09 19:15 | 熊猫 说：

  @24楼：
  原文说蓝色三角形可以拼成一个原多边形。
  你看到中间最高的那个，然后把旁边的两个往它靠拢,另外四个可以弥补剩下的。

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  楼层: 27楼 | 2012-04-10 11:53 | 迟到的成熟 说：

  不知大神的图是拿什么做的，还望不吝赐教

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  楼层: 28楼 | 2012-04-10 14:12 | jimdt69 说：

  @26楼：
  问题是我还是怎么看也看不出来，能不能给出严格证明？

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  楼层: 29楼 | 2012-04-10 14:48 | zipf 说：

  作者写过什么书？推介一下

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  楼层: 30楼 | 2012-04-11 13:59 | nova2358 说：

  弱问一下滚动是如何定义的，如果是饶顶点的话，三角形和四边形的轨迹应该是圆吧。

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  楼层: 31楼 | 2012-04-13 14:42 | littlemouse11 说：

  我觉得肯定有人也注意到了，三角形滚动之后，划过的轨迹应该是圆弧。
  于是发现30楼也发现这个结论了。
  希望知道三角形是怎么滚动的。

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  楼层: 32楼 | 2012-04-13 20:20 | Seitran 说：

  给大牛赞一个。话说这个滚动的定义应该是滚动到下一个稳定的状态。圆被看成了正多边的极限情况。

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  楼层: 33楼 | 2012-04-13 23:15 | G 说：

  今天居然也是13号星期五

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  楼层: 34楼 | 2012-04-14 10:43 | Kagamia 说：

  如果把三角形的滚动诡异也定义成弧线的话
  感觉会殊途同归的得到相同的n边形近似解....

  一节课的时间试着用积分推导出圆的摆线面积
  圆心对应x可以推出点坐标(x-r*sin(x/r), r-r*cos(x/r)) x∈[0,2πr]
  构造积分式∫(0→2πr) r-r*cos(x/r) d(x-r*sin(x/r)) = 3πr²

  剪铁皮还真是流氓啊....

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  楼层: 35楼 | 2012-04-15 0:00 | AAaa 说：

  偷懒的伽利略

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  楼层: 36楼 | 2012-04-15 21:19 | Before 说：

  终于等到了新的文章,一个月阿

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  楼层: 37楼 | 2012-04-15 21:25 | sky 说：

  这里的数学比书上的好玩多了啊！看完能肯定的是我给别人肯定解释不清楚

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  楼层: 38楼 | 2012-04-16 17:05 | jimdt69 说：

  都喜欢装b吗，怎么没有人来回答我的困惑和疑问？

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  楼层: 39楼 | 2012-04-18 23:40 | dy 说：

  38l
  观察红色区域的底边，都是多边形的一条边，共计n-2，条。最外侧两个蓝色三角形是等腰，腰长也是是多边形边长。
  相邻两个蓝色三角形的邻边是相等的，故可以合并。合并后共计2+n-2条边，且各边相等。
  证毕

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  楼层: 40楼 | 2012-04-19 10:47 | Lo 说：

  听闻你是研究语言学滴~~ 小女子对反义词很感兴趣，觉得一对反义词中蕴含了很多辩证的思维。学习数学十多年，觉得数学关键在于一个转化上。你觉得呢？你如果有空的话，能否研究下含有反义词的成语或词语？如以少胜多，大智若愚，以柔克刚，深入浅出……虽然数学不太好，还是从你的博客不论是内容还是形式，都学到很多，小女子万分感谢~~

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  楼层: 41楼 | 2012-04-19 10:53 | Lo 说：

  听闻你是学习语言学滴，小女子冒昧想请求您研究下含有反义词的成语~~因为我觉得反义词很有趣，蕴含着丰富的辩证思维，同时我觉得数学的关键就在转化，未知转化为已知，繁化简，加减乘除转化……若博主有空的话，希望博主能满足小女子的小小心愿，虽数学不好，但是在博主的博客上还是学到了很多，小女子万分感激~~

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  楼层: Answer to Life, the Universe, and Everything | 2012-04-24 20:22 | haruhi 说：

  这个方法证明的确很独特，不会轻易想到，赞一个，个人觉得还是用微积分求导更方便

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  楼层: 43楼 | 2012-04-29 19:56 | 心灵意向终结者 说：

  真是相见恨晚啊，博主！！真心话！真想不到你的博客所发布的大多数内容都是我本人这几年业余时间日夜思考研究的问题！全部有关宇宙维数，科学哲学，量子力学，空间几何，视觉错误，人择原理，智慧生命体的有限理性....等等诸多有针对性的思考研究，也深入精读过不少相关著作，历经3年多的思考研究，我大体有了个“个人的大一统理论”即：时空本源论。一言难尽啊，道友！！一直感觉身边很少有人理解我，如果不耽误阁下时间的话，真心求交流！！QQ：935532030，我今后会常常拜读阁下博客！

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  楼层: 44楼 | 2012-05-03 15:00 | 腾云 说：

  哎 你的照片拍得太囧了 (小顾) 哈哈哈哈哈哈哈哈

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  楼层: 45楼 | 2012-05-03 22:04 | zop 说：

  请问第一个GIF所用的软件叫什么名字啊？谢谢。

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  楼层: 46楼 | 2012-05-07 19:30 | Denny 说：

  我也想知道这些图用什么画的，是MetaPost么？

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  楼层: 47楼 | 2012-05-12 21:51 | qwqd 说：

  非常神奇的结论：假设正多边形的外接圆半径为 r ，从外接圆上任意一点出发，依次与该多边形的 n 个顶点相连，则这 n 条连线的长度的平方和等于 2n · r2，好像不对吧！！！

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  楼层: 48楼 | 2012-05-12 22:32 | Yuhta 说：

  最后一步要先证折线段一致收敛于旋轮线，不然极限和积分不能交换

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  楼层: 49楼 | 2012-05-14 12:37 | df 说：

  听说书快出了,请校对.图灵之前出的几本科普书,勘误较多.--读者

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  楼层: 50楼 | 2012-05-14 17:36 | yang_bigarm 说：

  好久没有更新啦，是不是为了忙着写书啊？

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  楼层: 51楼 | 2012-05-15 17:10 | disnoir 说：

  jeez，算错了，积分积成2 Pi r^2

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  楼层: 52楼 | 2012-05-21 17:41 | www.v5man.com 说：

  好久不更新啦～嗯学习了！

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  楼层: 53楼 | 2012-06-10 14:03 | 海晓 说：

  想知道第一张图是用什么工具制作的.

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  楼层: 54楼 | 2012-07-10 16:07 | countrysnail 说：

  精妙啊，又看懂一个！

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  楼层: 55楼 | 2012-07-15 15:15 | Ruki 说：

  图中不是只转了n-1次么。。。怎么就回到原来位置了。。。不对吧。。。

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  楼层: 56楼 | 2012-07-20 11:38 | wordworth 说：

  想请教大神
  1 第一个图是用什么做的 很高级的样子 想学习
  2 关于蓝色三角形拼成A 和红色三角形部分的证明 可否有更详细点的证明 我一下子看不出来
  谢谢

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  楼层: 57楼 | 2012-07-20 13:04 | wordworth 说：

  好吧 我撤回第二条 是我自己没看懂 orz

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  楼层: 58楼 | 2012-07-26 15:56 | aye小食 说：

  错了 多边形的摆线也是弧线 不是直线

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  楼层: 59楼 | 2012-08-06 18:21 | walnuty 说：

  博主你的插图是用什么软件绘制的？

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  楼层: 60楼 | 2012-08-10 17:07 | Matrix67: My Blog » Blog Archive » 贴着另一枚硬币旋转一周则自身转了两周：不同的解释方法 说：

  [...]     写了这篇文章后，我习惯性地开始用正多边形逼近的思路去分析一些与圆有关的一般性结论。在准备一份初中几何问题的材料时，我突然想到了上述问题的一个简单而漂亮的解释方法。 [...]

• 
  楼层: 61楼 | 2012-12-13 10:36 | cervelo 说：

  这个方法，很简单，做出来也漂亮。

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  楼层: 62楼 | 2013-03-20 23:42 | 七秒记忆小鱼 说：

  找到一个好的博客

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