Sangaku:颇具神秘色彩的几何游戏

    在几百年前的日本,人们定期用猪牛等牲口祭祀天神,以表达对上天恩赐的感谢。但这种祭祀方式花费很大,于是日本人想到在木板上刻画牲口的图案,然后挂在寺庙里祭祀上天。有一天,一位日本武士开始设想:除了猪牛羊马以外,我们还可以在木板上画点其它东西。他开始画一些原创的、美观的、有新意的图案献给天神。他用数学来祭祀,向上天表示自己的聪明才智。

    人们陆续在日本的寺院里发现了数百个这样的木板,上面写有各种几何问题和定理。后人把这些刻有数学问题的木板叫做Sangaku。木板上的文字大都是古代汉字,这些文字多是对图案的描述,不过现在已经很难理解了。一位叫做Hidetoshi Fukagawa的日本数学教师一直致力于搜寻、翻译和研究Sangaku。最近,Fukagawa和Princeton大学的Tony Rothman合作完成了一本叫做Sacred Mathematics的书,书里详细介绍了Sangaku的完整历史,还有不少的Sangaku照片第一次走出了日本。

      
    上图就是一个比较典型的Sangaku。画一个圆,随便做出一个内接多边形。从某个顶点出发,沿对角线将这个多边形剖分为三角形,作出每个三角形的内切圆。那么,所有内切圆的半径之和是一个常数,也就是说内切圆的半径之和的大小与你最初选的是哪一个顶点无关。
    绝大多数Sangaku仅仅给出了定理的描述和对应的图形,但没有给出任何证明。很多著名的Sangaku现在已经获解或得证,但仍然有一些Sangaku至今仍未解决。一个著名的Sangaku问题需要人们求解一个1024次方程。虽然不久之后有数学家把问题简化到10次方程,但次数仍然太高,人们至今还不知道应该怎样求解。
    大概从去年10月份开始吧,cut-the-knot介绍了大量的Sangaku问题。我从里面挑了两个自己认为好玩的放在下面和大家分享一下。
    

参考资料:
http://blog.sciencenews.org/mathtrek/2008/03/sacred_geometry.html
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Sangaku.shtml

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