Fibonacci数列性质的组合证明

    数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … 叫做 Fibonacci 数列。这个数列有很多神奇的性质,其中一个性质是,每一个 Fibonacci 数的平方与它前后两个 Fibonacci 数的乘积一定正好相差 1 。具体地说,如果把第 n 个 Fibonacci 数记做 Fn ,那么有:

      Fn+1 · Fn+1 – Fn · Fn+2 = (-1)n

    今天看到了这个定理的一个组合数学证明,觉得非常有意思,在这里和大家分享。


    Fibonacci 数有很多组合数学上的意义。比如说,用 1 × 1 和 1 × 2 的积木覆盖一个 1 × n 的棋盘,总的方案数恰好是 Fn+1 。下图显示的就是 n 较小时的一些实例:

      

    这个规律背后的原因其实很简单:给出一个长度为 n 的棋盘后,它的覆盖方案可以分成两类,最后边放的是一个 1 × 1 的积木,或者最后边放的是一个 1 × 2 的积木。前一类情况下的方案数也就完全取决于前 n – 1 个格子的覆盖方案数,后一类情况下的方案数则等于前 n – 2 个格子的覆盖方案数。因此,如果用 f(n) 来表示 1 × n 棋盘的覆盖方案数,那么正好就有 f(n) = f(n – 1) + f(n – 2) 。另外,由于 f(1) = 1 , f(2) = 2 ,因而接下来的数 f(3), f(4), f(5), … 也就恰好构成了 Fibonacci 数列。

      

    既然这样,那么用积木覆盖两个独立的 1 × n 棋盘,总方案数就是 Fn+1 · Fn+1 。我们有意把这两个独立的棋盘像左图那样摆放。类似地,用积木覆盖一个 1 × (n+1) 棋盘加上另一个 1 × (n-1) 棋盘的总方案数则为 Fn · Fn+2 ,我们把这两个棋盘放成右图所示的样子。左图的覆盖方案和右图的覆盖方案之间有一种非常巧妙的一一对应关系。

      

    对于左图中的任意一种覆盖方案,我们找出上下两块棋盘中所有位置重合的“公共分割线”,选出最右边的那条公共分割线,然后交换此分割线右侧的部分。这样,左图棋盘的每个覆盖方案就能变成右图棋盘的一个覆盖方案。根据同样的方法,右图棋盘的每个覆盖方案也能变回左图棋盘的覆盖方案,这就说明了 Fn+1 · Fn+1 和 Fn · Fn+2 是相当的。

    等等,那为什么当 n 为偶数时, Fn+1 · Fn+1 比 Fn · Fn+2 要大 1 ,而 n 为奇数时, Fn+1 · Fn+1 会比 Fn · Fn+2 小 1 呢?神就神在这里。这是因为,刚才所说的一一对应关系并不是真的完全一一对应的。当 n 为偶数时,左图棋盘有一例极其特殊的覆盖方案无法对应到右图的棋盘——因为这种方案中根本没有公共分割线。当 n 为奇数时,左图的棋盘就不再有如此特殊的覆盖方案了,但右图棋盘中却又多出了一例没有公共分割线的情况。这就证明了 Fn+1 · Fn+1 – Fn · Fn+2 = (-1)n

      

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