随记:我们需要怎样的数学教育?

    注:这篇文章里有很多个人观点,带有极强的主观色彩。其中一些思想不见得是正确的,有一些话也是我没有资格说的。我只是想和大家分享一下自己的一些想法。大家记得保留自己的见解。也请大家转载时保留这段话。

    我不是一个数学家。我甚至连数学专业的人都不是。我是一个纯粹打酱油的数学爱好者,只是比一般的爱好者更加执着,更加疯狂罢了。初中、高中一路保送,大学不在数学专业,这让我可以不以考试为目的地学习自己感兴趣的数学知识,让我对数学有如此浓厚的兴趣。从 05 年建立这个 Blog 以来,每看到一个惊人的结论或者美妙的证明,我再忙都会花时间把它记录下来,生怕自己忘掉。不过,我深知,这些令人拍案叫绝的雕虫小技其实根本谈不上数学之美,数学真正博大精深的思想我恐怕还不曾有半点体会。

    我多次跟人说起,我的人生理想就是,希望有一天能学完数学中的各个分支,然后站在一个至高点,俯瞰整个数学领域,真正体会到数学之美。但是,想要实现这一点是很困难的。最大的困难就是缺少一个学习数学的途径。看课本?这就是我今天想说的——课本极其不靠谱。


 
 
    这个我深有体会。最近两年,我一直在做初中数学培训,有了一些自己的看法。数学教育大致分成三个阶段,看山是山看水是水,看山不是山看水不是水,看山是山看水是水。

    最早数学教育就是,教你几个定理,告诉你它们是怎么证的,再让你证明一些新的定理。

    后来的要求就变了:光学数学不够,还要用数学。数学教育已经上升了一个层次:大家要把数学用到生活中去,解释生活中的现象。一时间,课本也好,中考题也好,全是与生活实际紧密联系的数学应用题,仿佛放眼望去身边真的处处都是数学一样。商场卖货,书店卖书,农民耕地,工人铺砖,再一次涌现在了课本、教辅书和考试题里。其实,数学可以解释生活,只是我们并不会这样去做。生活的变量太多,再强大的数学模型也不可能考虑到一切。对于平常人来说,真正能用到数学的地方,也就只有算算帐了。

    总有一天,数学教育会拔高到第三层:返朴归真,数学真正牛 B 的还是它本身。你会发现,那些伟大的数学思想,那些全新的数学理论,最初研究的动机并不是要急于解释我们身边的某某诡异现象,而是它本身的美妙。线性代数的出现,很大程度上要归功于神奇的 Cramer 悖论;群论的诞生,也是 Galois 研究多项式的解的结构时的产物;Euler 创立图论,源于那个没有任何实用价值的 Königsberg 蛋疼问题;非欧几何的出现,则完全是由于这个问题本身的魅力。微积分呢?它确实有非常广泛的实用价值,物理学的各种定义都依赖于微积分;但很可惜,它不是一种具有颠覆性的数学思想。

    初一课本讲负数时,反复说负数的实际意义,比如海拔、得分、温度、收支等等,把负数变成一种真实的存在。其实,这不是人们使用负数的主要动机。负数的价值在于,它可以把减去一个数变成加上一个负数,很多加加减减复杂到甚至需要分类讨论的东西都能够用一个式子统一在一起了。比如说小学的盈亏问题:如果每人分 3 个苹果还多 8 个,如果每人分 5 个苹果则还多 2 个,问有多少人多少苹果?解法是,两种分法多出来的苹果相差 6 个,这是每个人多分了两个苹果引起的,因此一共 3 个人,从而可以算出有 17 个苹果。但是,如果把问题改成“每人分 3 个就多 8 个,每人分 5 个就 2 个”该怎么办?上面的公式就变了,8 不能减 2,要加 2 。因此,小学讲盈亏问题会分“盈亏”、“盈盈”、“亏亏”三种情况讨论。其实,如果把“少 2 个”理解成“多 -2 个”,问题是一模一样的,之前的公式同样适用。负数这一新思想立即把三种情况统一在了一起,它们的本质变得一模一样了。

    这是我给初一学生讲负数时必讲的例子。这才是负数的意义。这才是课本里应该反复举例强调的。

    某次看到论坛里有人问,群论有什么意思啊?某人回复,群论很有意思啊,只是课本把它写得没意思了,比方说,讲群论怎么能不讲魔方呢?我不赞同这个回复。数学吸引人的地方,不在于它在生活中的应用,而在于它本身的美。为什么不讲 Lagrange 定理?为什么不讲 Sylow 定理?对于我来说,最能吸引我学习一个数学课题的,莫过于一系列非平凡的结论以及它的精彩证明了。

    科幻小说《伤心者》的末尾列举了很多长期以来未得到实际应用的数学理论,不过却没有说到一个更为极端的例子。数学中的皇冠——数论——2000 年来一直没有任何实际应用,是最纯粹的数学。直到计算机,尤其是现代密码学的出现,才让数论第一次走出数学,走进了人们的生活中。是什么在支持数论的研究呢?只能是数学本身了。

    在我给初中孩子出几何题时,我都尝试着给出一般性的问题,求证三角形中两边的平均长度大于第三边上的中线长,求证三角形三条高的倒数和等于内切圆半径的倒数,等等。即使是纯代数问题和解析几何问题,我也总能编出题目描述简单并且极具挑战性的问题。两数的和与积相等共有多少个整数解?把直线 y=x 沿 y=2x 翻折后得到的直线方程是什么?在感受结论之美的同时,他们也会因自己独立解决了一个真正的数学问题而激动。

 
 
 
    然而,这还不算教育的主要问题。某次与一个数学专业的同学聊到 Riemann 假设时,对方说她从没听说过 Riemann 假设。我大吃一惊,数学专业的人怎么可能不知道 Riemann 假设呢?随即明白,这也是拜数学教育所赐。翻开数学课本,总是成套的理论体系,先定义再证明,说得头头是道。可是,这些东西都是怎么来的呢?在得出这些东西的过程中,数学家们走了哪些弯路呢?课本上只字不提。课本里从来都只讲什么是对的,却从来不讲什么是错的。数学考试只会让你证明一个结论,从不会让你推翻一个结论。

    2010 年江苏高考数学题因为“太难”备受争议。其中最后一道大题如下:已知 △ABC 的三边长都是有理数,(1) 求证 cos(A) 是有理数; (2) 求证对任意正整数 n , cos(nA) 是有理数。其实这道题是一个非常漂亮的好题,描述简单,问题普遍,结论有趣,证明巧妙,中考题就该这么出。不过我觉得,如果再补上这么一个小问,这道题就真的完美了:证明或推翻, sin(A) 一定是有理数。当然,问题本身并不难,等边三角形就是一个最简单的反例。关键在于,推翻一个结论,寻找一个反例,也是数学研究的一个基本能力,而这是中学数学教育中很少重视的。

    于是,在教初中数学时,我布置的每道作业题都无一例外地以“证明或推翻”打头。偶尔,有些题目真的是需要学生们去推翻它。比方说,证明或推翻,周长和面积都相等的两个三角形全等。不同的人找到的反例不一样,有的简单有的复杂,有的深刻有的盲目。再用一整节课的时间逐一讲解并点评大家构造的反例,给孩子们带来的收获远比直接讲题要大得多。

 
 
 
    但是,我还没有讲到数学教育中最主要的问题。前段时间去图灵的作译者交流会,期间和刘江老师简单地聊了几句。刘江老师提到一个网站叫做 Better Explained 。他说,其实大家没能理解数学之妙,是因为教的时候没教好,数学本来可以讲得更直观,更通俗的。

    我非常同意刘江老师的说法。举个例子吧。如果有学生问,质数是什么?老师会说,质数就是除了 1 和自身以外,没有其它约数的数。不对,这不是学生想要的答案。学生真正想知道的是,质数究竟是什么?其实,质数就是不可再分的数,是组成一切自然数的基本元素。 12 是由两个 2 和一个 3 组成的,正如 H2O 是由两个 H 原子和一个 O 原子组成的一样。只是和化学世界不同,算术世界的元素有无穷多个。算术世界内的一切对象、定理和方法,都是由这些基本元素组成的,这才是质数为什么那么重要的原因。

    高中学复数时,相信很多人会纳闷儿:虚数是什么?为什么要承认虚数?虚数怎么就表示旋转了?其实,人们建立复数理论,并不是因为人们有时需要处理根号里是负数的情况,而是因为下面这个不可抗拒的理由:如果承认虚数,那么 n 次多项式就会有恰好 n 个根,数系一下子就如同水晶球一般的完美了。但复数并不能形象地反映在数轴上,这不仅是因为实数在数轴上已经完备了,还有另外一个原因:没有什么几何操作连做两次就能实现取相反数。比如,“乘以 3”就代表数轴上的点离原点的距离扩大到原来的三倍,“3 的平方”,也就是“乘以 3 再乘以 3”,就是把上述操作连做两次,即扩大到 9 倍。同样地,“乘以 -1”表示把点翻折到数轴另一侧,“-1 的平方”就会把这个点又翻回来。但是,怎么在数轴上表示“乘以 i ”的操作?换句话说,什么操作连做两次能够把 1 变成 -1 ?一个颇具革命性的创意答案便是,把这个点绕着原点旋转 90 度。转 90 度转两次,自然就跑到数轴的另一侧了。没错,这就把数轴扩展到了整个平面,正好解决了复数没地方表示的问题。于是,复数的乘法可以解释为缩放加旋转,复数本身自然也就有了 z = r (cosθ + sinθi) 的表示方式。顺着这个道理推下去,一切都顺理成章了。复数不但有了几何解释,有时还能更便捷地处理几何问题。

    一直对线性代数很感兴趣,于是大学选了线性代数这门课,结果收获几乎为零。原因很简单,本来期待着来一次大彻大悟,结果学了一个学期,我还是不知道矩阵究竟是什么,矩阵乘法为什么要这么定义,矩阵可逆又怎么了,行列式究竟表示什么。

    直到今天看到这个网页,才看见有人一语道破线性代数的真谛(这也是我终于决定写成此文的直接原因)。我终于找到了我那一个学期企图寻找的东西。就好像把 x 变成 2 x 一样,我们经常需要把 (x, y) 变成 (2 x + y, x – 3 y) 之类的东西,这就叫做线性变换。于是才想到定义矩阵乘法,用于表示一切线性变换。几何上看,把平面上的每个点 (x, y) 都变到 (2 x + y, x – 3 y) 的位置上去,效果就相当于对这个平面进行了一个“线性的拉扯”。

      

    矩阵的乘法,其实就是多个线性变换叠加的效果,它显然满足结合律,但不满足交换律。主对角线全是 1 的矩阵所对应的线性变换其实就是不变的意思,因此它叫做单位矩阵。矩阵 A 乘以矩阵 B 得单位矩阵,就是做完线性变换 A 后再做一次线性变换 B 就又变回去了的意思,难怪我们说矩阵 B 是矩阵 A 的逆矩阵。课本上对行列式的定义千奇百怪,又是什么递归,又是什么逆序对,还编写口诀帮助大家记忆。其实,行列式的真正定义就一句话:每个单位正方形在线性变换之后的面积。因此,单位矩阵的行列式当然就为 1,某行全为 0 的行列式显然为 0 (因为某一维度会被无视掉,线性变换会把整个平面压扁), |A·B| 显然等于 |A|·|B| 。行列式为 0 ,对应的矩阵当然不可逆,因为这样的线性变换已经把平面压成一条线了,什么都不能把它变回去了。当然,更高阶的矩阵就对应了更高维的空间。一瞬间,所有东西都解释清楚了。

    难以置信的是,如此令人兴奋的东西,我们所用的课本上竟然一点都没有说到!那些开篇就讲行列式定义的课本,为什么不先把线性变换下的面积当作行列式的定义,再推导出行列式的计算方法,再来补充说明“其实从逻辑上说,我们应该先用这个计算公式来定义行列式,然后才说行列式可以用来表示面积”?为了严密性而牺牲了可读性,太不值得了。写到这里,我真想立即拾起线性代数课本,用全新的眼光重看所有的定义和定理,然后重新写一份真正的线性代数教材来。

    高数课本同样荒唐。主流的高数课本都是先讲导数,再讲不定积分,再讲定积分,完全把顺序弄颠倒了。好多人学完微积分,虽然已经用得得心应手,但仍然没懂这是怎么回事。究其原因,还是数学教学的问题。

    我理想中的微积分课本则应该是先讲定积分,再讲导数,再讲不定积分。先讲定积分,不过千万不能用现在的定积分符号,避免学生误认为定积分是由不定积分发展而来的。讲自古就有的积分思想,讲分割求和取极限的方法,自创一套定积分的符号。然后另起炉灶,开始讲微分,讲无穷小,讲变化量。最后才讲到,随着 x 一点一点的增加,曲线下方面积的变化量就是那一条条竖线的高度——不就是这个曲线本身的函数值吗?因此,反过来,为了求出一个函数对应的曲线下方的面积,只需要找到一个新函数,使得它的微分正好就是原来那个函数。啪,微积分诞生了。

    光讲形式化的推导沒有用。这才是真正把微积分讲懂的方式。严格定义和严格证明应该放到直观理解之后。只可惜,我还没看到哪本课本是这样写的。

 
 
 
    说了这么多,其实总结起来只有一句话:我们学习数学的过程,应该和人类认识数学的过程一样。我们应该按照数学发展历史的顺序学习数学。我们应该从古人计数开始学起,学到算术和几何,学到坐标系和微积分,了解每个数学分支创立的动机,以及这个分支曲折的发展历程。我们应该体会数学发展的每个瓶颈,体会每个全新理论的伟大之处,体会每一次数学危机让数学家们手忙脚乱的感觉,体会先有直观思维再给出形式化描述的艰难。

    可惜,我没有找到任何用这种方式学习数学的途径。

    不过也好。既然没有捷径,那就让我自己把那堆形式化的定义和证明通看一遍,然后自己去体会其中的道理吧。这样看来,我们的教育也没错:先用考试逼着大家把该学的东西都学了,尽管自己也不知道自己学的是啥;等将来的某一天达到一定高度时,回头看看过去学的东西,突然恍然大悟,明白了当初学的究竟是什么。这无疑是一件更有乐趣的事情。我希望有一天能像今天这样,能悟出高等代数究竟在讲什么,能悟出范畴论到底有什么用,能悟出 Riemann 假设为何如此牛 B,能悟出 Hilbert 空间是什么东西,然后把它们都写下来。

    这恐怕得花我大半辈子的时间吧。

303 条评论

  • zeph肆

    沙了个发

  • Nafil

    难道是沙发么..

  • zeph肆

    2l悲剧

  • billcc1988

    其实一直觉得有些教材是很烂,但还是不少教材是不错的,苏联的和国内的基本一样,美国,法国的数学书讲得就感觉比较好

  • kornna

    wikipedia讲的还好一些,一些图解很强大,很能让人茅塞顿开,比课本教材之类的可读性强太多了。

  • sx349

    M67大牛你作为文科生悲剧了…
    我是江苏的 理科生要学4选2 就是选修4系列的4本书《几何证明选讲》《矩阵与变换》《不等式选讲》《极坐标与参数方程》学2本 其中《矩阵与变换》一书讲的完全就是你所说的 “(线性代数)课本上竟然一点都没有说到”的内容。而且它明确给出了线性变换与矩阵之间的关系,举例子也用的都是几何图形,习题中总是说“请从几何意义来讨论这个矩阵/这个变换”

  • kornna

    看看地下室下面是什么。。

  • kentit

    你现在的体会,也是我一直思考的一个问题,但我学习的领域和你不同。我也想从历史的发展角度来学习一些东西。这个似乎象学中医,没有西医那么系统化、规范化,总感觉一团雾水,搞不清头绪。今年年初看了百家讲坛中罗大中讲解的大国医之后,有点茅塞顿开的感觉。一起努力~~~~

  • Ergodic

    数学是美,但大多数人把数学只是作为工具。教材不好,因为写书的老师本身也不是什么大家。我觉得数学的美是主要体现在两方面的,一是本身数学对于解释具体的问题所展现出来的强大的威力。但第二个是我认为最美的:数学在不断的抽象(可能目前在现实世界中找不到具体的例子),并进行形式化的推演,最后能得到优美的结果。而结果却有可能用我们非常熟悉的形式来表达出来。

  • Liana

    读《伤心者》我哭了……最后一部分虽然是将作品升华了,但确实最“不切实际”的一部分。真正能作出成就的人是凤毛麟角,绝大多数的肯于献身人都是何夕式的伤心者啊。前半部分才是真实可感的(尤其是江雪和老康),一升华之后何夕离读者就远了。

    回到这篇文章的主题,我感觉这充分体现了M牛文科生的身份——追求某一种纯粹的美。数学爱好者会这么做,纯粹的数学大师也会这么做,但从某种角度上说,当下的社会并不真正需要这样的人。他们真真正正需要《伤心者》里的老康和刘青,需要新一代用与前人同样的时间掌握数千年来的数学知识,然后投身建设——哪怕这么做有碍人类的长远发展。毕竟微分积分的思想自古就有,但直到十七世纪才突然出现了巨人(还是俩)将它们联系起来。让学生完全顺着前人的路径走,真不知何年何月才能真正学完微积分啊。

    正因为如此,我四脚朝天支持倒数第二段。

  • Netson

    矩阵就是变换……我一直以为是所有讲矩阵的书都会提到的……
    今天我最大的收获是这句话“行列式的真正定义就一句话:每个单位正方形在线性变换之后的面积。”

  • wecing

    看了这篇文章,很有感触。
    67推荐的betterexplained.com的网站标题旁边有这么一句话:LEARN RIGHT, NOT ROTE.
    我们是人,不是鸭子。

  • ancestor

    好文 收藏了

  • yh

    当时小学的时候用的书:《华罗庚数学学校数学课本》,不过后来似乎改版了,还叫这个名,但是印象里内容似乎差了很多。。。
    那老师也很强的。。

    不如先看看学第一门编程语言的教学方法吧。有些人就第一周讲输出,第二周赋值,第三周讲条件,第四周讲for,第五周讲while,但是这样基本上学的人就没啥希望了。因为这些根本不重要,语言本身重要的是提供一个“图灵完全”的逻辑,教育也是要让人在某个时候体会到“图灵完全”,让人知道语言可以能拿来做一切的事。语言是个整体,不是一个功能一个功能就能堆起来的。

    然后,就像图灵完全这种概念一样,我不认为数学的美在最开始的时候是可以教给别人的东西,应该只能让人自己发现吧。负数什么的大概也最好不要拖,快点讲过去然后直接给点题吧。我初中的时候微积分、矩阵之类的基本都没啥基础,直接看具体数学之类的书。然后不用特意去学,该感觉到的东西也都差不多自己感觉到了。有些东西不太会算但是常用的性质都能自己证出来。

    关于讲的内容,一个好的问题,不在于它简单还是困难,也不在于具体还是一般,而是能够引导人进行思考,培养一种通用的解决问题的方法。一个数学好的人不会只是把数学作为知识来记住,而是要把一些数学思想埋进基本的思维过程中。教育中不管是直接给严格的定义,还是一直强调所谓的“美”,都只是一种知识而已。还是要讲究方法,想办法让人在解决问题的过程中自己体会到这一点。另外应该注意,这种体会的方法有的时候书本根本表现不出来,有书了之后很多地方还需要老师来教,大概就有这种原因。

    极端的例子就是信息论,这个足够美,装逼神器,但是对解决具体的问题没有任何好处。根据信息论可以直接得到某些问题的某些性质,但是基本不用指望人能够通过这么难算的几个公式理解。只有在制造一个人工的问题解决者的情况下有用。

  • ppwwyyxxc

    也确实有不少数学家在想办法改变数学教育的现状了,像陈省身龚昇林群张景中,最先下手的也正是微积分,也写了不少好书.只是现状难改.
    刚学数分的时候我买了高等教育出版社的中国人写的数分,按数院一个朋友的说法那本是中国最好的之一了.后来买了本英文的apostol的数分,原来那本就再也没看过.
    像是有的书为了做题而存在,有的书为了数学的发展而存在.
    像GEB这样的书,把Godel不完全性定理讲的如此深刻,涉及计算机学哲学语言学逻辑学心理学生物学,这就叫better explained.看过GEB后找Godel当年的论文看了一下,简直是无比失望…即使Godel定理的内涵被人所发掘了,但在课本上写的恐怕还仅仅是Godel的原版证明吧.
    Klein写过那么多的跟数学教育有关数学书,从各个角度分析数学问题.是不是真的要到了他那种程度才能如此清晰的看待数学.
    高考后网上骂江苏题难我就反驳过,我说题不是难只是新而已,学生只会做题不会思考不会发现,稍微遇到点新东西就傻眼,不会用学过的东西去解决问题.这样的教育是失败的教育.

  • yh

    不小心写太长了

    另外从古人计数开始学起,这个绝对不可取吧。就像第一天学for第二天学while差不多了。现在的数学有很多高级的东西,也应该加以利用,有的时候从高级的东西里是可以反过来推基础内容的意义的。我是说,数学系统的某些部分有很强的整体性,不是只看一部分就能真正理解其意义的。

    另外我不觉得所谓“只是当工具”的人能真正把这种工具用到很好的程度。

  • yh

    呃,用15L的例子比较好,现代人学godel不完备定理,不如直接从停机问题推回去。对会写程序的人来说,定理和证明过程能编码成一个数字,都已经是显然的事了。

  • lxghost

    今天才知道什么是数学 = =!

  • pondering

    你能看到多远的过去,就能看到多远的未来
    想了这么久,怎么冒出这句话来⋯⋯

  • 梦里醉逍遥

    其实这样抹杀学习乐趣何止是数学教育!

  • kghost

    关于行列式的定义 你看下这个教授的讲解 绝对拍案叫绝 完全不同的思维方式
    http://www.youtube.com/watch?v=srxexLishgY

  • 纳米黑客

    让我想到了knuth的神书…各种历史啊什么的,讲heap的那一段大赞,从起源开始娓娓道来…看着过瘾啊过瘾啊…

  • shenheng

    有一套四册的《古今数学思想》说了些数学的来龙去脉,比较不错。

  • NetCobra

    当年要是有人这么指点我一下多好,我的线性代数就是完全没有学到东西,因为完全是学得云山雾罩的……

  • xiaodao

    。。(。爆发了呀。。。- -)

  • sodance

    话说清华大学编的《大学数学:代数与几何》就是从线性空间讲到矩阵再讲到行列式的,那才是真正的线性代数。这也是我们用的教材:)

  • sdyy1990

    此文强大。

    有幸听过pku王萼芳奶奶(就是那本简单的翠绿高等代数的编者)讲高等代数。确实,矩阵相乘的含义是线性变换,此奶奶上来就强调了这个,感觉很好。但是她自己编写的书里面倒不是这样写的。

    看来,现在的环境下,按照得出知识的推理思路而不是推理过程给出的课本,是难以有卖点的。

  • eaglefantasy

    强烈赞同!!!
    尤其是线性代数部分!!!
    不过如果你学的是物理专业的线性代数的话可能会稍微好点 老师在学期快结束的时候总算把线性代数是神马给讲清楚了。。。。。。

  • summerdawn

    严重同意,不顾数学本身的美,粗鄙的榨取数学的实用价值,感觉是把数学rape了似的。。。

  • francis

    虽然几个例子不太看的懂,但是觉得你讲的很有道理。然而我现在觉得我有没有再浪费时间,真的害怕把大号的时间都浪费去了。但是我无奈,╮(╯▽╰)╭。

  • qfoxzjd

    “写到这里,我真想立即拾起线性代数课本,用全新的眼光重看所有的定义和定理,然后重新写一份真正的线性代数教材来。”
    我也有所感触……我是学计算机的,所有的数学之前就是为了考试,就包括我们宿舍学数学的跨考到计算机的同学,他们对于我问的也很茫然。学数学好像就是考研的敲门砖,前两天上图像处理的课,用到了文中提到过的矩阵变换,我很奇怪大家那么木然的听着,甚至前些天上课提到的常见的分布函数都没多少印象了……我在想到底是教育的错还是学生思维的惰性

  • machlie

    推 sx349
    我也是江苏理科生,我们讲定积分的时候也练过那种化曲为直的计算方法,所以回过头看大学的高数课本,我就觉得幸好选了理科……上海的高中教材里是没有导数的,我总算是理解他们的迷茫了……

  • 严酷的魔王

    让我想起今天我在饭否发了一句:“线性代数没学好……”

  • shengge

    你写的太好了,其实不止是数学,所有自然科学学科都应该这样,以该学科的发展顺序来讲。一门科学的历史就是这门科学本身。

  • Paladin

    第一次留言,作为大学学了语言,现在在国外学商科的人,还是很怀念以前高中学数学的快乐,不过课本和老师一般罢了,想起来立体几何就是永远的痛啊,早点用向量方法讲不是很好吗?

    数学扔了好多年,现在学统计有点困难啊。

    希望将来博主能开办好的数学教育机构。

  • murphy

    说虚一点,知识的魅力在于具体和抽象。拿数学为例,具体时,能说明生活中的加减乘除等简单规则;抽象时,能将自然现象、思维意识用符号去表述。在寻找这两者之间的平衡时,老师应该教授的是如何能让学生自行独立在这两者之间转换。
    多数教育方式总是一开始就把抽象的内容带进课堂,而没有具体的思维体现,非得随着学生自己对生活有认识后,慢慢把这两者关联起来,而这段关联的时间却因人而异不同的漫长。
    教育如果能把这段时间尽可能的缩减到最短,就成功了一大半,剩下的则是尽量多传授先人的经验和教训了。

  • czsc2

    总结一下:
    35层楼,层层是牛人啊

  • error 404

    我希望有一天,数学能成为大众的艺术,而不是讨厌的作业和120分的考试试卷。有一天,数学和理性能贯穿到我们的生活中,而不是仅仅在45分钟的昏昏沉沉中飘过你模糊的记忆

  • lumos

    其实,你可以选一下丘维声的数思,真的很棒,你就知道高代究竟是讲什么的了~~

  • Andeling

    强烈re……
    也re一下eaglefantasy,物理这边的线性代数稍好,教我的那个老师还真讲了不少几何观点、以及代数学的思想。
    行列式与线性变换前后的面积什么的,其实高数里面就在用了,看Jacobian行列式。

  • free_POC

    印象中苏联有本数分教材就是从定积分讲起的,年代太久远,实在想不起十四年看看的那本书的名字了。

  • Malloc

    我们的线代老师蛮好的,她教的线性代数就是从线性变换开始说的。不过大多数童鞋还是对怎么快速计算出行列式的结果比较感兴趣……有些高校老师是想改变这种状况的,但是前12年的教育”成果“,让大家觉得弄好分数这种硬指标才是天经地义的。

  • junglerubik

    作为一个数学系的学生表示压力很大

    我很讨厌北航李尚志编的那本线性代数
    虽然它先将线性变换再讲矩阵
    但是后面的什么Jordan标准型什么的就纯粹在堆砌定义定理了
    那些定理背后的作用,之间的联系都没讲清楚
    看书看得非常痛苦搞得根本不想学

    很多数学系的学生其实根本不想学数学
    只不过是高考的悲剧才只能呆在数学系而已
    其实很多人高考完了之后都没搞清楚自己究竟想学什么就进了个莫名其妙的系开始被填鸭式的教育

    M67大牛没有考试的压力纯粹靠兴趣学数学当然很开心
    但是你学语文的时候开心么?

  • dreamrsdw

    在看到《具体数学》中将约瑟夫环问题最终归结为二进制串的右移问题时,深深为之折服,一个复杂的问题,竞有如此简单漂亮的解!数学之美在其简单性中充分展现。

    反观我们的数学课本,冷冰冰得不尽人情,威严得不容亵渎。在其中体会数学美感的一切企图注定都是不能得逞的。允许的是背背公式,做做习题。

    功利主义害了所有的人:作者没有写出传世之作的追求,读者只为考试而埋头苦读。社会的风气一天不改变,人人都为数学着迷的情形就不会出现。

  • sonullx

    五六十年代的理科自学课本很好,高中时就是抱着那个看的。

  • dan

    在這個體制下,不帶功利的學習是多麼難得啊

  • Ernest

    一篇让我激动的文章!!
    阁下对复数的看法也正是我的看法。
    线性代数应是很有趣的一门课程,矩阵的涵义也很好理解,可是很多人还是不知道每一章所讲的真正意义,让我惊讶和费解。

    顺便提一句,质数的“质”或者“素”对应英文的”prime”,都暗含“基本”“首要”的意思。

  • yummy

    赞成部分观点。反对部分观点。尤其赞成文中最后一段。因此以最后一段为论据就尤其反对其他部分的观点:
    现行的数学教育固然有很多弊端,但是它可以让学数学的人短时间之内将所学作为一门工具运用起来,至于理解,更重要的责任在于学习的人。就像你所说,回过头来发现原来所学东西是这么回事,体会数学之美,也不见得就比一开始就捅破窗户纸让人遗憾。

  • bigeast

    今天信号讲到Fourier变换,讲到正交函数系,感觉晕晕的,于是把线代复习了一下。发现去年学的几乎全都忘了。其实当初根本就没学到什么。也挺想把那些堆砌的定义和定理弄明白,可真的感觉时间不够,学工科的,老师整天说“从工程上说”什么的。老师说了你只要知道怎么算两个信号卷积,只要能根据定义解题就行了。而且,如果关于一些数学基础,确实课堂上没有办法讲,一个方面老师没有这个能力,课时也不够,还有就是现在感觉很多人都很浮躁,能考试得高分期末拿奖学金就行,不见得有多少人会对为什么要引入卷积、为什么要Fourier展开这类问题感兴趣。所以只有自己查资料了。

  • Kars

    能够回头再看的人,已经不多了、

  • osirpt

    不太同意楼主的观点。我觉得国内教材的通病是光深入了,没有浅出,总假设读者不仅智力高超而且什么都懂。楼主举的关于怎么理解线性代数的例子,做个类比,让我感觉像是所谓的物理直观或物理意义,然而没有更基本的物理规律和数学公式做铺垫,光介绍这些物理意义则是空中楼阁,看着听着过瘾,但想自己做一些假设或推演,基本没可能。所以问题不在数学教学中有没有给出这些“物理直观”,而是有没有对深刻复杂的问题配以浅显易懂的例子。

  • MathChief

    驚了!matrix67原來不是數學專業的,讓我們這些PhD情何以堪,LOL;不過話說回來,我身邊的很多人已經不熱愛數學了,或許他們也從來沒有熱愛過,真悲劇啊,我自己整理的數學筆記的LaTeX文件,也漸漸從精妙的證明,變成了讓論文變得更好看的tikz示範代碼……哎……

  • Quotation

    赞同你的观点,不知你有没有看过克莱因的《高观点下的初等数学》,和你的想法有些相通之处。克莱因也认为很多初等数学问题的提出其实是为了解决另外一个数学领域内的实际问题,例如e、复数,而课本上的介绍方式基本是填鸭式的。如果教师具有高等的观点,就可以在讲授初等数学时融会贯通,抓住本质。

  • marktrue

    我觉得数学的应用方面也挺有意思,如果缺少应用数学会是一个不完美的数学……当然其本身自然也有很大的魅力,两者都不能完全否定

  • iwtctw

    作为数学专业的小弱表示深表赞同~~虽然有讲这些的书,但真的太少太少了~当作教材用的更少。总能讲出这些内涵的老师也屈指可数

  • RIbbon

    呵呵,中国的数学教育的确很烂,虽然有很多又天赋的人。不过你说的对一些数学知识的认识也太肤浅儿科了。

  • p-膜

    在此推荐一下我们用的《几何与代数导引》,先讲线性空间,再讲线性映射,再讲矩阵,再讲行列式,写的真好……

  • Norschach

    回57楼,呵呵,你以前肯定有天赋。

    即使中国的数学教育很烂,如51楼所说,深入,教得深教得细,理解应用比较透彻,也就实用了。

    在国外某些中学教材里介绍矩阵,这样好吗?完全是背公式做练习应付考试的。

    还有,难道数学不是小儿科才好吗?

  • Abrocod

    其实国外很多教科书正是按楼主所想的那样写的
    我推荐一本我们学校大二数学书:analysis on manifold.

    另外,高及的数学分析并非用求和取极限的方法定义积分,楼主可以去看看

  • Abrocod

    用极限来定义积分不可避免的要用到无穷小这个从来没有严格定义过的概念

  • xxwzy

    = =一直看数学史的路过

  • DavidFeng

    楼主写得非常好,我是学化学的,个人感觉像化学和物理这种自然科学可能按照学科历史发展的思路写教材比较容易吧。

  • henrylovegood

    我马上就要升高三了,前天刚好做了那道江苏的高考题。的确在做第一问的时候就有想过关于sinA的问题,虽然第二问我没写出来…还有关于作者举出的虚数的例子我也很赞同,前不久在老师讲虚数时我就很疑惑为什么要定义这么一个奇怪的东西,书上也没有解释,看了作者的解释后我恍然大悟,很喜欢那个水晶球的比喻。我觉得科学最吸引人的就是它的和谐与自然,而发现其内在的统一便是最快乐的事情了。 虽然我还只是个高中生,懂的东西很少,但我希望以后能通过学习来了解世界的本质

  • aichi

    能感受到作者的心情, 不过我认为有些做法有偏激的嫌疑了.
    读者有不同的口味这是可以理解和尊重的. 但这是靠各种风格的书来满足. 换句话说, 如果您的口味比较特殊, 您应该选择自己口味的书, 而不应该太过苛责教材. 注意到教材们都是经过很多教学实践的.
    事实上, 我认为您作为教师如果能够帮助不同口味的学生选择不同的教材将会非常有益的. 而且从您透露的信息看,您也完全有能力按照自己的讲法给学生. 这正是老师需要作的事情.
    我记得自己一直特别热衷于注意观察各种书的不同讲法.
    另外一点是, 需要照顾那些弱势学生群体的感受. 有些东西用您所谓的fancy讲法固然好, 可能反而会让他们迷惑. 我相信经过这么多年的实践, 教材的大多数联系实际的处理都是比较合适的.
    –仅供参考.

    • jackgong

      这是从实践的观点来说的,
      确实,但是实际情况我认为更多人都会乐于接受更人性化的教育,
      大多人对于因果法来传授的知识更易于理解,而不是先给你果子再告诉你好吃吧?

  • aichi

    其实看到很多写的不错的书. 中国外国的都有. 需要的是老师介绍给学生.

  • Maink

    同感。记得我们老班对我们班几个尖子生[可惜不是我]说过这样一句话:中国的教育就是摧残学生。你们别太反感我的教学方法。可能我教过你们后,你们仍然不能同外国人流利交谈,但是高考的英语我保证你们高分。

  • 郗晓勇

    应试教育下的我们更像是妓女,那些所谓的专家就是嫖客。他们想怎么“玩”就怎么玩,根本不会理会我们的感受!

  • xiakexiake

    中国之大,对于数学有如此体验的人不在少数。M你更应该反思的是为什么自己没有碰到一个这样的人做你的老师。

  • masterplan

    关于行列式这个的确收获了。高等代数学得不好,和感觉到教材一大堆抽象的定理,没看到实际的思想也不无关系。

    国内教材是没有国外的书看着舒服。看书的时候感觉在和一堆机器对话,没有国外教材的人味儿。有时候自己看的抓狂,它还在那不急不慢地讲,就把定理什么的摆在那里,思维方法,该怎么理解 讲得不多。

    整体感受是 国内的作者没站在学生的角度写。我觉得这和国名性格也有关系。

  • snowmwm

    我高二的时候两个星期就看完了高数课本,虽然用来做题没问题,不过也一直是知其然不知其所以然。直到大一时看了牛顿当初使用的微分方法(我们现在都是用的布莱尼兹的符号体系),才瞬间领悟微积分的真谛。

    另外强烈推荐张景中《直来直去的微积分》这本书,这本书从常识性的平凡道理出发,不用极限概念也不用无穷小概念,直截了当地定义了函数的导数,证明了导数的常用性质;定义了定积分,推出了微积分基本定理。严谨而不失直观的推理,颠覆了微积分必须以极限概念为基础的传统观点。全书共18章,前10章用作者发现的新方法构建了一元微积分的逻辑框架;后8章阐述新方法与传统体系的关系和接轨的方案,以及一些重要的微积分知识。这本书化解了传统微积分教学的若干最大难点,为建立高中和大学的微积分新体系描绘了蓝图。
    (我直接复制的书的内容介绍,这算是打广告吗?)

  • Sencodian

    复数的引入的动机是解三次方程,而非使得数系更加完美。

    邹应的《数学分析》就是先讲定积分的。

  • whc

    atiyah: 越无知,越自信

  • tensor

      严重同意Matrix67的看法。
      Tristan Needham的《复分析——可视化方法》中极力推荐John Stillwell的”Mathematics and Its History”一书和这个关于教育的问题有关,我认为对于学习真正的数学有正面的帮助。
      Mathematics and Its History用现代的符号体系讲解从Pythagoras定理到Calculus到Complex Number、Differential Geometry、Topology、Simple Groups、Computation的数学发展的思路,涵盖了Undergraduate部分的数学(没有包括比较远离基础的Lie group和functional analysis),以人为主体,讲得非常清楚。比如Newton的微积分和Leibniz的微积分有什么区别,为什么牛顿没觉得积分不好做;Euler登峰造极的的级数操纵技术,以及Euler最早提出的zeta函数其实是素数的生成函数,后来被Riemann研究于是被称为Riemann zeta函数有了Riemann猜想;Bernoullis家族做的微分方程和Mechanics、continuum mechanics的关系,后来被Maxwell用来做电磁论;Fourier把Daniel Bernoulli研究弦振动微分方程提出的三角级数成功用到热理论上用得如此之成功以至于现在都称为Fourier级数。
      是非欧几何的出现导致人们觉得几何直观不可靠于是就转向各种几何中都有的逻辑系统,本来逻辑只是为了保证可靠一点而不是去放弃直觉,但是不知怎地后来把教育变成这样。当然人各有其风格,有的学派(比如基于结构主义思想的布尔巴基学派)就专门做严密的逻辑结构,这个我们也没办法。

  • Cheater Yan

    作为江苏学生……表示那道题只是附加题之一……而近年江苏高考附加题皆为送分题……真正为人们所诟病的最后一题是一道需要一点点灵感的题……强行计算的话要用到的高端技巧可以通过观察题目以避免……但是……考试还剩20分钟完全无法气定神闲的观察导致考试悲剧是完全可能的……

  • shilcare

    读完这篇文章的感觉:酣畅淋漓,痛快!

  • nesciemus

    以前看过一个叫做‘理解矩阵’的帖子,基本上讲了作者讲的线代的那些东西。
    个人不太同意丢弃形象和应用的看法:
    首先,小孩子未必懂得了那么多美,从小就懂得了那么多内在和谐美的,我觉得绝对是精英级别,我就直到刚上高中还觉得艺术就是装B。
    就像我过年回家给一个亲戚家的小孩讲数学题,我就告诉他那类运动类的都可以设未知数解方程,这样所有题就全部用速度乘时间得路程就行了,可是他偏不那样干,就喜欢一会乘一会除,而且还觉的这样更厉害。
    我觉得有些东西没有理解,那完全是还没有用到。
    初中的时候我们数学老师也说过负数可以使减法变成加法,但是我还是没有大悟啊,加负减正不都是一样的吗,说是统一了,但实际做得时候还不是要去看正负号。知道后来接触的更多,才体会到统一的标准型真的很有用。
    复数也是一样,即使不说出来,自己也能看得出有复数了至少二次方程会保证有两个解,但是如果只是针对解方程,我们实在不能理解为什么非要让n次方程有n个解呢,美,诚然,但是他要是仅为了美那完全是吃饱了撑的。我们老师当时好像是说这个在解一些复杂方程的中间过程很有用,然后我才释然了。然后直到后来学线性系统,才知道复数有啥用。
    我非常非常同意用历史去讲数学,但是有很多数学也是由实用而来的阿。比方说,如果是小时候的我,比起去解一些一般性的几何问题,我会更喜欢出去量影测高。
    而且作者前面说海拔、温度不好,后面又用原子来讲素数。
    我觉得所谓理解就是能联系的更多,为什么不要形象应用,我觉得应该都要。

  • laser

    “大学不在数学专业,这让我可以不以考试为目的地学习自己感兴趣的数学知识,让我对数学有如此浓厚的兴趣。”为这句话,佩服下楼主!

  • 小白

    可以做一个《数学发展史》来逐步演进每个分支,把数学的思想过程逐步体现出来。
    当然一个人写这样一个东西,估计一辈子都不知道能不能写完。
    但我觉得可以参考wikipedia/stackoverflow这样的wiki加评论网站,让每个人都可以贡献内容和添加评论。

  • mincomp

    虽然文章前面说数学最美在数学本身,可惜后面举得例子都是应用

  • 歪脖

    93年高考的非数学专业理工科毕业生,试做2010年江苏高考数学题,呵呵:

    因为余弦定理,所以cosA=(b^2+c^2-a^2)/abc,有理数加减乘除之后还是有理数
    因为(cosA+ i*sinA)^n = cos(nA)+ i*sin(nA),展开后能推出cos(nA)是cosA的多项式函数,所以还是有理数

  • poet

    这事,不一定能这么说。

    教学并不仅仅在于怎么教,还在于怎么学。有一个不争的事实是:中国小学与中学生的数学平均水平要高过美国同龄人,另一个可能有争议的论点是:中国学生的数学顶尖水平并不比美国学生的数学顶尖水平高。那么这是为什么?是因为中国的数学教育水平更糟糕,教材更糟糕导致的么?

    不,因为博主讲的那些方法,并不适合让不同水平层次的人都理解,只适合少数数学天赋好的学生理解。而中国传统的教学方法,却能够提高数学的平均成绩。嗯,我要说的就是这么多。

  • zonyitoo

    看了大牛的文章,确实醍醐灌顶!我感觉我之前一个半学期太肤浅了

  • shark888999

    这个靠个人的悟性了吧。这么教育只能教育那些很牛逼的学生,不适合大量教育。

  • eaglet

    确实线代很抽象,可能楼主看了线代与解几编在一起的教材后会感觉好点。个人感觉数学中具体有具体的美,抽象有抽象的美,没必要一定要让抽象的知识给出几何解释,虽然直观的东西是比较有趣对大多数人而言……

  • 喝水小熊

    某种角度上来说,数学教育像背唐诗,你小时候背下来的时候并没有什么特别的感觉,等大了之后有了一定的修养,才能回过头来品味那些千古名句美在何处。
    中学学了解方程,回头和小学应用题比一比;大学学了微积分,回头和中学的求最大最小值比一比;就能体会“高等”“抽象”的力量。但是最美之处还是在比微积分更高等更抽象的数学。可惜,只有少数人才能达到更高的修养并会回头去品味一番吧。

  • shi

    不论是文章还是评论都让我看的太爽了!!!
    现在的教课书都只能说是字典,公式大全。所以这些书是没有什么审美价值的,但不可否认的是它也有一定的实用价值——作为工具。
    既然现状如此,就只有靠自己去挖掘数学的美了。
    推荐一本正在看的小书:龚昇教授的《微机分杂谈》。

  • shi

    对不起,打错了是《微积分杂谈》

  • haw

    我很膜拜博主Matrix67,这是我的第一次回复。
    我赞同Matrix67,中学包括大学数学教学,各个分支缺少联系,缺少来龙去脉,因此数学变得很生硬。但是这确实是现实问题,很难解决。
    看来只有有兴趣的人能看透这一切了。。

  • Ergodic

    看了楼上的那么多有见地的意见,我觉得关于数学教育的问题并不只是数学教育本身的问题。数学对大多数人来说,并不是他所追求的东西。就像我的很多文科的同学,他们并不太关心他们是否懂很多数学,数学就好象是让他们知道了有另外一种认识世界的方法。而且有多东西,我认为并不是自然而然就蕴含着数学思想的。例如物理学家就经常用一些不太严格的“数学”。

  • Victor Luo

    太牛了!确实,我觉得现在的很多书本少了对读者的人文关怀,导致编书人高高在上,读者如临舆谷。

  • Ergodic

    数学教育这件事,matrix说的是很有道理。但像matrix最后说的,弄懂hilbert空间,Riemann猜想,范畴之类的自然的想法从何而来,这恐怕就不是像matrix前面说的那么简单了。数学到了这种高度抽象化的地步,只有真正喜欢数学的人才会想去弄懂它。弄懂这些东西背景的过程,实际上就跟你在做数学研究差不多了。而且我目前学数学的感觉就和matrix说的不一样了。因为数学越来越难,是因为抽象化的程度越来越深,而抽象化却恰好就是数学背景。这时,数学的背景就是这么枯燥。真正爱数学的人,我想大概就是那些因为不断的抽象而着迷的人了吧。

  • 梁梓

    其实我看到矩阵的几何意义是在一本叫《3D数学基础:图形与游戏开发》的书上,于是回过头来选修《矩阵与变换》感觉它什么都没有说……

  • qirenrui

    matrix67的这个帖子太知心了。我听说中国数学界钩心斗角的事很多,更何谈教育?我们生活在这样一个年代,数学的美感似乎已经丢失了许多,悲哀!上次听说了那本proofs from the book,通过看这本书,我感到了数学极大的魅力。正如您所说的,数学的博大精深远远不止如此。很小很小的时候我曾立志当一名像Euler、Gauss那样伟大的数学家。我一直为此而努力,但我逐渐地意识到,in China,即使想在数学上小有建树,我们也很难做到,(虽然我只是一名高中生,见识不广)。我认为数学竞赛也许会帮助我。在学习数学竞赛的过程中,我发现了一些漂亮的证明,有空说说。我也是一名数学爱好者(若您是打酱油的,我不知道该如何形容自己)。最近发现了一个网站mathlinks.ro。我妈叫我写作业去了~

  • boj

    我们正学线性代数,就是从线性空间开始讲,再到行列式、矩阵的。个人感觉线性代数和数学分析都是非常精妙的体系,感觉很多巧妙的东西放在一起,使得整个理论天衣无缝,具有很强的概念一致性,仿佛出自同一位智者之手。这些定理(引理)很漂亮,但更漂亮的是发现和证明它们的过程。
    现在的课本确实有很多是堆砌概念,忽视内涵的。非数学系的高数和线代基本是计算,完全糟蹋了数学的本质。数学系的好一些,但也缺少能揭示思维本质的锻炼。
    想起正在上的一门“数据结构与数据库”,开学到现在基本就在讲栈、队列、树、图的存储结构和程序实现,很多同学说半个学期只学了一堆概念和如何使用链式存储结构。看到他们忙着背诵概念和算法,我感到无言的悲哀。
    这么有趣的东西,为什么到了课堂里就成了这样?为什么不讲这些数据结构的应用,也不讲为什么要采用这些数据结构?讽刺的是,在作业里有一次我用优化了的线性表代替链表,还有一次用位运算代替复杂的算术运算,结果被判了错,理由是没有使用正在学习的数据结构。
    天才没出在象牙塔里反而来自草根,我觉得很多东西值得整个教育体系反思。

  • zc

    回帖太多了,没有看完。我觉得10楼讲得很对!以前我和软件专业导论老师和高数老师交流的时候表达过相似的意思,发现其实他们都不觉得这样有什么不好。比如,高数老师的意思说,我们是学工科的,学数学的目的是为了建设,即使不很理解数学的原理,它对我们来说仍然是一个很好的工具。毕竟,工程师从建设中获得乐趣,与数学家从数学美中汲取乐趣都是一样的!这样看来,数学教科书只是精简地取了工程师和数学家需求的交集而已,至于怎样解释这些数学,就看老师自由发挥了!

  • zc

    看到92楼也是同样的意思。

  • burea

    看到那个行列式有1列全为0……那不是三体里的维度攻击吗……

  • jasonhere

    很同意楼主的看法,我觉得直观的思维很重要,很多时候对一个抽象或者新的事物的理解都是基于一个已知事物,然后进行迁移,再组织。我觉得打个比方。
    我想在 http://befunwiki.com 弄个数学概念专版, 不知道楼主及各位大牛是否有兴趣参加?

  • cartman

    曾经有过这样的想法,为什么数学书都这么自虐啊paper不是给人看的啊之类的。知道后来慢慢接受了能够再多短的时间内以此为基础领会精髓构建起知识体系是衡量人的数学能力标准这样的说法。

    关于行列式。。再说一点
    懂一点外代数什么的就知道,行列式是唯一满足:1.线性 2.反交换 3.把一组标准基映到1 的(Rn)n->R的函数。这个才是好玩的地方。。

  • SloPeky

    其实在高中教材里面有提到矩阵对一个图形的变换作用:伸缩、旋转……抱歉我用词不是很恰当。但仅仅是一个探究。

  • Carly90

    读完全文又回去看了你第一段的注,相对于谦逊,我感受到的更多是你对这篇文字的重视和无比的认真。其实我从小就听了不少人说教材有多么差,听到高二了,反而自己会偶尔发现课本里也有些精彩科学的事情,于是倍感欣慰。教材也是有其存在意义的,可能就是配合老师,而非学生的水准编的。所以在学校学学写写之后在这里看你的blog,才会更加赞叹不已。也许这还是意外的快乐呢。谢谢你的一直在谢,也谢谢google让我找到了这里。

  • xiaq

    关于矩阵我也来凑一凑热闹吧。
    我觉得矩阵的一个意义在于把一元的结论推广到多元后,可以保持形式完全不变。还是说那个最无聊的例子,线性方程组,
    Ax = B x = B * A^(-1)
    当 A, B 为一阶矩阵的时候分别退化成实数,方程组也就退化成一元线性方程。这样的例子在多元的微积分中也能举出不少。

  • bobbielf2

    呵呵,没错,可以为了数学美学数学,但是为了别的学数学也没什么不对的
    数学的美是吸引人的,数学的应用同样是吸引人的,只要喜欢,为了什么原因又有什么所谓呢~

    文章提到的题都挺有趣的~~比如关于cos(nA)是有理数那题:
    证:
    cos(n+1)A=cos(nA)cos(A)-sin(nA)sin(A)
    cos(n-1)A=cos(nA)cos(A)+sin(nA)sin(A)

    因此cos(n+1)A=2cos(nA)cos(A)-cos(n-1)A
    由数学归纳法得证

  • 就等你出书了。希望你不要等到万事俱备,一切都完美的时候才出。

  • woplin

    我是学水文的本科生,算是工科,遇到降雨扩散这些东西就是微积分,但是我们微积分方面又没跟上,微积分课上强调的是计算而非思想

  • bravebin

    数学本是来源于事物,又抽象出新的深度,独立发展出新的高度。它本就是不同层次呈现出不同的美丽和魅力!
    对你说到教学问题,确实也深感。我们学工科的,更多是把数学作为工具,对其中更深层次的理论也是一枝半截,课题数学老师讲得也很教条化。想起去年课堂听的泛函,除了感觉到一种理论的统一性外,好像其他方面就没太多印象和感悟了。
    想起有回听过学校李尚志教授的报告,还是讲得很深入浅出~教学要做到深入浅出就行!

  • dLeemath

    Finally I feel the power and beauty of mathematics after reviewing basic Algebra, Topology, Analysis from last quarter. Just as your said,看山是山看水是水. For instance, we use free algebra and tensor product to compute probabilities. And tensor product, Hilbert Space and Stone-Weierstrass relate Algebra and Analysis. Local rings at function or polynomial form topology. Anyway, confusing (you can not distinguish there courses ) but exciting. I thought the vital problem for our mathematical education is that sometimes we treat math equiv problem cracking skills

  • 3141527828

    很感激高中的数学老师,讲立体几何的时候就说过行列式是体积!另外Strang的课实在好:
    http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/

  • xxwzy

    dLeemath是国外留学生么?

  • Ergodic

    Arnold谈到了数学教育中的一部分,喜欢下面他讲到, 让数学尽可能更直觉直观,摘取一段.
    直觉的思维越来越困难,我们要依靠越来越多的数学工具帮助理解越来越抽象的数学概念.或许Arnold的想法也越来越不现实.

    一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的(定向的)体积,这个多面体的每条边就对
    应矩阵的列。如果学生们得知了这个秘密(在纯粹的代数式的教育中,这个秘密被仔细地
    隐藏了起来),那么行列式的整个理论都将成为多线性形式理论的一部分。如果用别的方
    式来定义行列式,则任何敏感的人都将会永远恨死了诸如行列式,Jacobi式,以及隐函数
    定理这些鬼东西。

    一个群又是什么东东呢?代数学家们会这样来教学:这是一个假设的集合,具有两种
    运算,它们满足一组容易让人忘记的公理。这个定义很容易激起一个自然的抗议:任何一
    个敏感的人为何会需要这一对运算?“哦,这种数学去死吧”--这就是学生的反应(他
    很可能将来就成为了科学强人)。

    如果我们的出发点不是群而是变换的概念(一个集合到自身的1-1映射),则我们绝
    对将得到不同的局面,这也才更像历史的发展。所有变换的集合被称为一个群,其中任何
    两个变换的复合仍在此集合内并且每个变换的逆变换也如此。

    这就是定义的关键所在。那所谓的“公理”事实上不过是变换群所具有的显然的性质
    。公理化的倡导者所称的“抽象群”不过是在允许相差同构(保持运算的1-1映射)意义
    下的不同集合的变换群。正如 Cayley证明的,在这个世界上根本就没有“更抽象的”群。
    那么为什么那些代数学家仍要用抽象的定义来折磨这些饱受痛苦的学生们呢?

    顺便提一句,在上世纪60年代我曾给莫斯科的中小学生们讲授群论。我回避了任何的
    公理,尽可能的让内容贴近物理,在半年内我就教给了他们关于一般的五次方程不可解性
    的Abel 定理(以同样的方式,我还教给了小学生们复数,黎曼曲面,基本群以及代数函数
    的monodromy 群)。这门课程的内容后来由我的一个听众 V. Alekseev 组织出版了,名为
    The Abel theorem in problems.

    一个光滑流形又是什么东东呢?最近我从一本美国人的书中得知庞加莱对此概念并
    不精通(尽管是由他引入的),而所谓“现代的”定义直到上世纪20年代才由Veblen给
    出:一个流形是一个拓扑空间满足一长串的公理。

    学生们到底犯了什么罪过必须经受这些扭曲和变形的公理的折磨来理解这个概念?
    事实上,在庞加莱的原著《位置分析》(Analysis Situs)中,有一个光滑流形的绝对
    清晰的定义,它要比这种抽象的玩意儿有用的多。

    一个欧式空间R^N 中的k-维光滑子流形是一个这样的子集,其每一点的一个邻域是
    一个从R^k到R^(N-k)的光滑映射的图象(其中R^k 和 R^(N – k) 是坐标子空间 )。这
    样的定义是对平面上大多数通常的光滑曲线(如 圆环 x^2 + y^2 = 1)或三维空间中
    曲线和曲面的直接的推广。

    光滑流形之间的光滑映射则是自然定义的。所谓微分同胚则是光滑的映射且其逆也
    光滑。

    而所谓“抽象的”光滑流形就是欧式空间的允许相差一个微分同胚意义下的光滑子
    流形。世界上根本不存在所谓“更抽象的”有限维的光滑流形(Whitney 定理)。为什
    么我们总是要用抽象的定义来折磨学生们呢?把闭二维流形(曲面)的分类定理证给学
    生们看不是更好吗?恰恰是这样的精彩定理(即任何紧的连通的可定向的曲面都是一个
    球面外加若干个环柄似的把手)使我们对现代数学是什么有了一个正确的印象,相反的
    是,那些对欧式空间的简单的子流形所做的超级抽象的推广,事实上压根没有给出任何
    新的东东,不过是用来展示一下那些公理化学者们成就的蹩脚货。

    对曲面的分类定理是顶级的数学成就,堪与美洲大陆或X 射线的发现媲美。这是数
    学科学里一个真正的发现,我们甚至难以说清到底所发现的这个事实本身对物理学和数
    学哪一个的贡献更大。它对应用以及对发展正确的世界观的非凡意义目前已超越了数学
    中的其他的“成就”,诸如对费马大定理的证明,以及对任何充分大的整数都能表示成
    三个素数和这类事实的证明。为了出风头,当代的数学家有时候总要展示一些“运动会
    式的”成就,并声称那就是他们的学科里最后的难题。可想而知,这样的做法不仅无助
    于社会对数学的欣赏,而且恰恰相反,会使人们产生怀疑:对于这样的毫无用处的跳脱
    衣舞般的问题,有必要耗费能量来做这些(彷佛攀岩似的)练习吗?

    曲面的分类定理应该被包含在高中数学的课程里(可以不用证明),但不知为什么
    就连大学数学的课程里也找不到(顺便一下,在法国近几十年来说有的几何课程都被禁
    止)。

    在各个层次上,数学教育由学院的特征转回到表述自然科学的重要性的特征,对法国
    而言是一个及其热点的问题。使我感到很震惊的是那些最好的也是最重要的条理清晰的
    数学书,在这儿几乎都不为学生们所知(而依我看它们还没有被译成法语)。这些书中
    有Rademacher 和 Tö写的 《Numbers and figures》;Hilbert 和 Cohn-Vossen
    写的《plitz, Geometry and the imagination》;Courant 和Robbins 写的《What is
    mathematics?》;Polya 写的《How to solve it》 和 《Mathematics and plausible
    reasoning 》; F. Klein 写的《Development of mathematics in the 19th century
    》。

    我清晰地记得在学校时,Hermite 写的微积分教程(有俄语译本)给我留下了多么
    强烈的印象。我记得在其最开始的一篇讲义中就出现了黎曼曲面(当然所有分析的内容
    都是针对复变量的,也本该如此)。而积分渐进的内容是通过黎曼曲面上道路形变的方
    法来研究(如今,我们称此方法为Picard-Lefschetz 理论;顺便提一下,Picard是Herm
    ite的女婿--数学能力往往是由女婿来传承:Hadamard – P. Levy – L. Schwarz – U
    . Frisch 这个王朝就是巴黎科学院中另一个这样的范例)。

    由Hermite 一百多年前所写的所谓的“过时的”教程(也许早就被法国大学的学生
    图书馆当垃圾扔掉了)实际上要比那些如今折磨学生们的最令人厌烦的微积分课本现代
    化的多。

    如果数学家们再不睡醒,那么那些对现代的(最正面意义上的)数学理论仍有需要
    ,同时又对那些毫无用处的公理化特征具有免疫力(这是任何敏锐的人所具有的特征)
    的消费者们会毫不犹豫的将这些学校里的受教育不足的学究们扫地出门。
    再来一段:
    一个数学教师,如果至今还没有掌握至少几卷Landau 和 Lifshitz 著的物理学教
    程,他(她)必将成为一个数学界的希罕的残存者,就好似如今一个仍不知道开集与闭
    集差别的人。

  • error 404

    如果M67写出了这样的教材,我会很乐意当做我的大学课程,以艺术的角度来学习,美爆了。

    但是你要考虑中国的国情,对于大多数人,不理解科学的美,不理解数学的严谨和美妙,你从本质上去教导,只会适得其反,因为他们只需要知道怎么用而已。重实用轻理论,重技术轻科学,自古以来就是中国的优良传统。这种优良传统,自然也就催生了更加优良传统的教育制度。

  • hillwhite

    你在哪里教课? 我让我儿子来听你的课

    虽然他还不到一岁,但我有百分百的信心你能让他爱上数学理解数学

  • bravebin

    112楼Ergodic 是哪位高人?

  • zalazan

    最好看bourbaki的数学原本,另外,严谨是数学的特色,为了追求理解而放弃严谨会害死人的。

  • Point3251

    讲得真好,让我茅塞顿开

  • lx

    矩阵那个例子二维的可以解释,三维的也可以类推,那么矩阵要是4*4或更高, 又怎么去理解它的意义呢?

  • pingz

    @error404
    113楼,“中国”还有一项优良传统,只会大而化之的抱怨前人做的如何如何差,国情如何如何差。指出具体的问题者少之又少,着手去改进者更是少之又少。

  • kavin

    大家能否评判一下,到底哪个课本比较好,我正想重新学一下线性代数,大学白学了,后来重新看了几次也没能完全弄懂,更没能够把整个线性代数完全看一遍了。

  • Ben

    112 楼的 Ergodic 是亮点~

    大神至少有 70 高龄了吧?

  • Andy

    我一同学买了套日本一个叫做欧姆学社的丛书,用漫画的形式来讲数学啊物理啊什么的,每个小领域一本书,讲的非常清楚,漫画的情节设计完全不是那种插图式的糊弄,确切的说漫画与知识半壁江山。他发现书中漂亮小萝莉的个数与这一小个领域的知识难度成正比…我很粗略地看了他一本讲线性代数的(只有一个萝莉),挺形象的…至少向着这个目标迈进了一步吧。。

  • 我还是匿名吧

    楼主关于线性代数课本的论述,我是深有感触的。反过来想想,也不能只是把责任归到书上,还是应试教育的问题。学线性代数时,我一直不明白为啥花那么多时间只是为了计算一个行列式,全因试卷上市这种破题。

  • geka

    微积分的推导就是这样的

  • geka

    [什么是数学]微积分的推导就是这样的

  • pickup112

    呵呵,看到很多回复,收获也颇多。不像那些“顶“的回帖。
    我们得承认国内很多教学没有太多内容,枯燥无味,但是,我也在想,普通的教育不可能有那么多数学大家来做,而真正喜欢数学热爱数学的人还是能够接触到数学之美的,既是我们过来看这篇文章的原因,又是你写这篇文章的原因,还是你培训孩子们的目的。数学会记得你的爱的。

  • luoshuifish

    同意matrix牛的一些看法,我当时学矩阵时也是一点都不了解,心想这玩意究竟是什么有什么用呢,后来学本专业的时候用到了矩阵,即描述一个向量在两个坐标系中的表示关系和两个向量在同一坐标系的表示关系,由此慢慢对矩阵也有所了解了.
    数学之美不只在于实用,其实更基于抽象的美,我的理解是无论是几何公理,还是集合论中的公理,由几条简单的公理竟然构造了一个体系,这个过程真是很令人兴奋的.
    最后对matrix牛小小崇拜一下,以前觉得以matrix牛的智商,为什么不去做纯研究呢,而热衷于解一些迷题之类,现在才理解其实无论是做程序员,还是做研究,只能影响一部分人,但是matrix牛对数学和编程的热爱确影响了我们更多的人(至少在我们学校就有很多人都关注了你的博客),我就是由一个叶公好龙者(对数学)转变为一个爱好者,你的博客是我订阅的所有博客中最好的,没有之一。

  • onlygalois

    我不是很同意M牛的某些观点,因为我不记得是哪个人说过:如果你用形象直观的说法去给你的读者解释某个事物,你是让读者在偷懒,并且他不一定有收获。数学本身是抽象的,你必须让他自己越过某个困难。理解是多样化得,几何化形象化的描述可能使一些人更能掌握某个概念或证明,但是像我和我认识的一些人里面却偏爱严谨形式化的描述,因为这样更直接,更深入本质。中小学的数学教育必须让学生更快的进入抽象化,形象化往往只能起到花里胡哨的作用。比如M牛喜欢的分形,如果只是一些图形化,确实很美,又有几人能明白分形的本质,只有在测度论的基础上才能更好的理解,一些分形书东一抓,西一耙的,似乎内容很多,只是流于表面,只有从分析,测度的角度才能本质的理解分形。当然我不反对形象化,但只能作为辅助。这只是我个人的看法,欢迎拍砖。

  • orange8637

    不以考试为目的学习自己感兴趣的。希望我也能做一只大学自由鸟,学习目的不可太功利

  • orange8637

    不以考试为目的学习自己感兴趣的。希望我也能做一只大学自由鸟,学习目的不可太功利 2

  • onlygalois

    再接着说M牛所举矩阵理解的例子,在我学习高等代数的时候,我是先学习的解析几何(射影几何,二次曲线与曲面),这对学习高代很有帮助,很自然的我会回过头来用高代的结果反过来去理解解析几何,但我更喜欢的是其中的结构美,在学习了群,环,域的抽象代数之后我们可以更高的观点去看待线性代数,事实上,有几本书就是从结构的观点去阐述线性代数的。如果仅从形象的几何观点去看待矩阵是片面的,我认为结构才是反映矩阵的本质,并且这样更有利于学习抽象的李群,矩阵群是李群的特例。

  • Comzyh

    2010 年江苏高考数学题因为“太难”备受争议
    中考题就该这么出
    到底是中考还是高考?
    ;-)

  • qingterbao

    线性代数这门课,我相信是目的为了教授计算的技法,所以它可能很少会讲到线性空间,映射,同构这些东西。所以从效果上来说,虽然学起来更乏味,但数学专业学着代数、分析课出来的学生,动手算积分矩阵的能力(是的,包括符号计算)往往不如工科学生,甚至不如其他理科专业的学生。

    我也想像过,如果能事先了解数学思想,在学每一门的数学课程时也许不必为适应与记忆各种怪异的定义与风格迥异的学科体系所反复折磨。但是我对这些数学思想的理解,都是在学过相应课程后,结合起来的回想与反刍。所以我也只能推测,而无法实证地了解,到底在缺乏具体知识的全景了解前,这样做对增加理解力会有什么程度的帮助。上面回复的一些反对意见,我觉得有一定道理,因为你似乎没有把直观和实例化与数学思想区分开来。搞物理的人写数学时更喜欢举实例出来,数学家喜欢更抽象更一般的概念,但他心中总会有一个具体的例子,这是增强记忆的理解力。不是“为什么”的理解力。
    不过,我相信教材对“为什么”的一笔带过确实是一个问题。即使在技能性的数学教学中提及一下,也是有益的。

  • wcj

    行列式这样理解很难体现其多重线性性和反对称性吧,而且为什么会存在负的行列式值呢?二维的行列式det(A B)对应A,B向量张成的平行四边形的有向面积,三维的行列式det(A B C)对应A,B,C向量张成的平行六面体的有向体积,而有向体积这一个概念应该满足一个多重线性和反对称这两个性质,再定义单位面积(体积),推广到n维,事实上所有满足这三个条件的Rn->R函数就是我们现在所说的行列式。

  • Sakura.

    “先用考试逼着大家把该学的东西都学了,尽管自己也不知道自己学的是啥;等将来的某一天达到一定高度时,回头看看过去学的东西,突然恍然大悟,明白了当初学的究竟是什么。”
    感觉很多时候都是这样的。

  • Sakura.

    先用考试逼着大家把该学的东西都学了,尽管自己也不知道自己学的是啥;等将来的某一天达到一定高度时,回头看看过去学的东西,突然恍然大悟,明白了当初学的究竟是什么。

  • gally

    照作者这么编数学教材才是悲剧,其实无论是小学初中高中甚至大学,95%以上的人学数学根本不是为了学数学本身,只是为了掌握一门工具而已。你让95%的跟着5%的人本身就是不合理。就像学语文难道是为了培养语言学家?按照作者编篡数学教材的逻辑,我们学语文应该从说文解字开始,以汉语拼音为博士生论文为止。我是化学专业,学数学就是为了公式计算,你数学公式怎样推导干我何时?这你要我蛋疼的学数论,这不是乱来么。归根到底,作者你的抱怨不过是选拔数学人才机制不合理而已,和教学一毛钱关系都没有

  • Solo L

    治学先治史

  • hillwhite

    137楼,你不理解数学的本质,又怎么能掌握它用它做工具? 靠背公式吗?
    你这种治学态度,只能让人认为你学化学也不会有所成就。

  • 哈凌大侠

    高中的数学选修课本矩阵就是这么讲的啊!的确是讲到了旋转什么的,很清楚的说了相关运算的意义啊!

  • 芋头

    我也喜欢数学,可是现在是程序员,总是感觉自己没时间去静下心来看数学证明,唉

  • Galax-fkws

    @137楼
    个人感觉你比作者还偏激,而且语文和数学不一样(其实何止是不一样),汉语言文字是一群极富想象的古代人造就的复杂系统,几千年来很多人都在致力于简化它,所以现在拥有的教学顺序合情合理。但数学不一样,从古代人的1,2,3…… 到现今的各种美丽的抑或实用的数学分支,数学一直在发展,所以应该从数学的最初本质讲起。你有权讨厌数学,但无权任意指责。
    个人认为作者说的很对,虽然有些偏激。我初一时读那本绿色的高数课本时,遇见导数定义的那个图时,我直接将其无视了。而定积分那个图我立刻就记住了。所以数学应该是直观的。
    @M67
    我现在正读初三,而且数学不错,说点有关作者关于中高考观点的看法。如果中考能靠这种简单但难答的题,好像对中学数学还是好事,因为它的“选拔作用”一定会比那些不着四六的综合题高(还有,今天又考完了一次模拟测试,数学那叫一个惨,全考场考的那叫一个碳化,只有一个人答完。)
    还有,如果真有作者所希望的那种“尖子式”数学课本,我一会想办法去学。但我们东北那里教材没东南那么丰富,基本都是不抱希望的人教版。因此这仅仅是梦想。
    谢谢作者提供的网站。
    看在我是个打字极慢的初中生,还是第一次回帖的份上,各位大哥大姐请尊重点。M67最好给个回复。谢谢。
    好了,不说了,去写作业去了。

  • gally

    139楼你说的很对,我在化学研究上一点建树都没有,实际上现在我在做化工用品的买卖,离科学研究有十万八千里那么远。但是你忽略了一点,我,乃至大部分人没有建树是再正常不过了。要是要求学了数学、化学、物理等学科不说全部,30%以上有建树,人类早灭亡了。这个世界需要多少化学家,物理学家乃至数学家?化学家和物理学家里需要多少个掌握数学发展史的牛人?所以我说,真要按照作者的逻辑来教数学,浪费的就是全世界所有非数学家(而且是研究纯理论的)的时间精力。
    微积分重要吧,它也只需要一个发明者(虽然现实中也许是两个)。而且这种发明无关从业者的基数。一亿个庸才的努力顶不上一个天才的灵光闪现。
    至于说数学和语文不同的同学,这两样东西在非专业人士眼中都只是工具,工具只要掌握就行了,人人都去研究工具,那工具的应用谁来搞?

  • liuyanghejerry

    我觉得楼主和我一样,属于形象数学的脑子。这种脑子能够很好的理解数学的各种抽象概念,但是却没法和考试卷子做斗争。今年刚上大学,一考试就XX,如果LZ对高数有比较好的理解方式的话,倒挺想学学的。

  • 硕鼠

    我终于有点开始明白线性代数了
    数学的美感在数学教学中消失的一干二净,直接导致我到现在都对数学有一种痛恨的感觉

  • zwhzjh

    那个构造反例证明周长和面积相等的三角形不一定全等的题目很妙,但套用文中的一句话,如果加上“还加上另外一个什么条件就能全等(举2-3个情况)”就完美了,因为这个还和能快速构造出反例三角形的原理有关。可以证明,两个直角三角形就全等,有一条边相等的两个三角形亦全等。所以最快能构造出的反例是底边不相等的两个等腰三角形(而且不能出现正三角形)。

  • Zoom.Quiet

    所以,高德纳得了图灵奖哪!
    将一件事儿,真正认真说明白了,就是真人了…

  • 牛百叶

    选择什么目的地是一回事, 如何到达目的地又是另一回事.

    先抛离形象化, 经过适量做题, 也就是被人诟病的传统方法, 然后再有意地点拨学生, 或许是真正到达数学之美的彼岸的途径. 而一上来就给学生打比喻剖析本质反而可能适得其反.

    换而言之, 真正有条件领悟的学生, 都可以领悟的, 只是时间早晚而已. 没条件领悟的, 或许扎扎实实教授一点做题本领对他们更好

  • matcxf

    你都是学了线性代数,高等数学才有这样体会的。
    数学教材就是讲基本理论,有些东西要自己体会。
    比如你体会到了所谓“线性代数的真谛”、“线性拉扯”。
    这是几何上的一个解释,我相信还有其它解释,也许还没发现。
    我觉得教材不易把这些“解释”写进入,而要读者自己体会,
    说不定有些读者还有更高明的体会。写死了,限制了思维。

  • lipte.com

    人学习新知识都是要走弯路的,不同人的基础知识不同,导致理解新问题时困扰点也不同,教材只能做到系统和完整,没必要过于偏激
    认知就是这样,该学会的人,早晚都会学会,教材只是辅助工具罢了
    再好的教材,也不可能把本身存在巨大复杂度的东西缩减下来,只是延缓一下认知曲线不至于太陡峭

  • tivon

    我终于可以负责任的说一句,数学没学好不是我的错

    不过有个地方没想明白
    |A·B| 显然等于 |A|·|B|

    如上所述,|A·B| 是对正方形做了两次拉扯之后的面积,|A|·|B|是分别做了两次拉扯的面积之积,这两个不应该相等啊

    简单说,假如A B都是把正方形拉成菱形,那么A·B应该拉成一个很扁的菱形

    嗯 也许真相等,但是没明白显然在哪里

  • iceblade

    博主可以翻翻龚昇的《简明微积分》

  • pcoat

    m67大牛 好像国外的很多经典课本顺序就非常自然 peter lax的线性代数, 里面就是先介绍linear mapping, 然后说矩阵, 核心问题就是映射而不是计算 微积分的书柯郎的那四本介绍积分就很不同与国内, 不是先写导数。 但问题是这些好书都不适合第一遍学习,可能会让人读懵了; 我觉得得看不同的课本比较才能学的透彻

  • xyfd

    咱初三,只能看《数学是什么》了

  • hillwhite

    143楼,你把应用和对原理的理解人为对立了起来。我最奇怪的一点就是,如果一个东西你不理解,又能如何去应用呢?别的不说,就说你大学这高数和线代学下来,现在你还记得的有多少?如果你真的能理解这些原理,你还会忘吗?现在很多人上大学,都觉得没有用,一方面是因为课本上的知识不能和实践结合起来,另一方面是因为没有建立一个理解的体系。直白的说,就是记不住。等需要用的时候,就拿不出东西来。没理解的东西,强记当然记不住了。

    我是非常推崇Matrix的想法,其中一个很大的原因就在于,我发现我过去的学习历程,一直在花很大的力气走弯路。那些反对楼主的人,你们自己回忆一下,在大学里学完了线代,你们能建立矩阵和图形的关系么? 我看不行吧。因为大家早就被那些行列式啊,基啊,线性无关啊搞的云里雾里了。我倒是觉得,Matrix的办法才是适合大多数人的学习方法。如果你是天才,你当然可以从直观飞跃到抽象符号推理。但我们大多数人,在理解一个事物的时候,还是要从我们能理解的直观出发。而美感,比如对称,是非常贴合我们的直观感受的。

    至于科学家,我倒是觉得太少了,如果我们能有更多的物理学家,数学家和化学家,或许当前的各种全球性问题,如地球变暖等,都不再是问题。

  • Wiksy

    基本赞同,但是并不完全同意应该为了可读性牺牲严格性。
    当时上数分的时候我们的老师说过,好的数学应该是vigor和rigor兼备。既要有活力,让人看得赏心悦目,同时也不应失去严格性。
    当然这不是那么容易做到的就是。

  • 靓纤胶囊

    文章太长了,没有细看,但感觉很专业,以后常来受教。

  • 神仙

    你大概是想达到罗素写《数学原理》的境界???

  • 棕发少女

    太恐怖了,居然这么多留言,我觉得你该多写点这种连数学白痴到如我都能看懂大概的文章。114楼好可爱,虽然和你同龄,但其实我都好想当你的学生。哈,很希望你成为一个出色的教师或者研究人员。
    另~为什么迟迟不发你的地址给我呢?[源代码]都送不出了啊???

  • lightest

    我正在做這一方面的研究,重構數學教育. 其實文中很多東西, 書上不是沒有, 而是用一種隱晦的方式說出來了. 我學習的時候還比較着重數學的意義, 所以線性代數的確就是按你說的方式學會的. 但越往高處, 越抽象, 這種數學的”教育形式”便越難得到, 所以只好犠牲了不適應抽象的學生, 剩下那些天生有着數學嗅覺的0.5%. 但其實這是不公平的, 我相信有更多的人有着數學的想像力(比如你), 也能欣賞高級的數學. 我們期待着數學教育的解放.

  • Yao

    从文中可以感受到作者对于数学的热爱和积累,让我想起我曾经有一段时间也曾想不是为了考试而学数学,而是为了将来搞研究而学,即使是拿着传统的数学教材,我也感受到了数学的巧妙和强大。
    文中作者也提到想要以自己的理解和全新的角度写几本数学教材,我完全支持,我也完全相信你的数学教材会受到大家的欢迎。

  • Ergodic

    @115
    我只是个学生。我是以前在网上搜arnold的时候看到的arnold关于数学教育的一点看法。所以就在粘在这里,给大家一起看看。
    @121
    我只是个学ergodic theory的学生。现在是因为学数学越来越有意思,但发现数学基础很差。现在再来反思以前自己的学习态度和接受的教育有哪些问题。所以看到matrix的这篇文章才有了讨论的兴趣。
    @116
    我想严谨固然重要,但理解数学本质才是最重要的。另外,布尔巴基学派的书,我想没有人会有兴趣看到。离开了很多直观的表现,数学之美将会大为逊色的。

  • puregauge

    我想也许是因为过去教科书严重的收到实践指导一切思想毒害吧,强调一切都来自实践,而且不是科学实验,必须是普通劳动人民日常生活,最好是老农民种地,至多能触及数学最原始的样貌(勾股定理、中国剩余定理等)……

    不过另一方面,数学似乎也有很多地方强调例子,不光注重抽象和证明,而是用例子和反例来抓住概念背后的深刻内涵,比如拓扑和分析中的各种反例们

    最后,后头说啥要花大半辈子有点太自卑了……

  • 代孕

    这样学的话,9年的义务教育根本学不完啊,还要考虑学生的接受能力

  • Pt-Cr

    心声啊~~楼主太伟大了……

  • perseawe

    这是我看过的m67的文章中回复最多的一个了…

  • 御手洗破

    完全同意……
    怎么看这才是真正的教学方式,现在的教育太死板了……
    只有知道为什么,才能知道怎么做……现在的方法都只是告诉你怎么做,连为什么会有这种都不解释,所以才会让人厌恶……

  • jackfengji

    我大一的线性代数老师讲课讲得跟你想要的逻辑差不多,是以线性代数的发展来讲的,会一步步引导我们去明白为什么需要这个定理,然后才会讲这个定理的证明,讲证明的时候也不单单是抄书。

  • 学夫子

    我学习数学,基本上没有考虑过他有什么实用价值,我沉迷其中的,是他美妙的结论,对于你所说,线性代数是做什么的?我一直以来,都把线性代数里面的行列式看成N维空间的维度积

  • dan

    你的許多“一語道破”令我茅塞頓開

  • cgy4ever

    一本不好的教材或者没有讲述自己理解的老师是可怕的。
    我从接触微积分到大学上完一个学期之后仍然对chain rules理解得很不好。(见笑了……)
    直到下一个学期学习电路原理后想了很久才恍然大悟,一下子对很多以前不理解的东西产生了强烈的直观认知。
    不过这倒告诉了我们,要多读一些不同的课本或者其他材料,不能仅仅抱怨自己课堂上学的教材不好或者老师不好。

  • mjj_ljh

    完完全全的同意您观点,您就是Felix Klein二世。

  • 小池

    很厉害,很好,很激动。这就是我想要的数学 啊 !!!!!!

  • cs.aero

    很赞同你的观点。不在那一行少受毒害

  • xhinker

    如果有一个老师,在教学的时候,给我们一个场景,一个难题,然后让学生自己去尝试解决,去做实验,去获取数据,然后循序渐渐找到那条先人走过的道路,那条道理。当我们的头被苹果砸到,在老师循循善诱的教导下发现了万有引力定律后,再翻开课本,再想到牛顿,那种像水晶一样清楚的感觉一定是舒爽宜人的。做题?背定理?这些是摧残人性的东西。

  • 晓而不语

    这个数学太好了!!!
    当时我小学二年级就看完了一本介绍高中数学知识的手册,还记下来了(一元函数)连续和极限的定义(都是从直观理解的,六年级才知道为什么一定要严格定义)。
    没想到现在的高二课本把它砍掉了——!!!
    今天看到M牛的矩阵讲解,觉得这才是本质,只懂得公式的家伙都是渣渣!!

  • 竹轩_math

    首先,与你相同的是,“最能吸引我学习一个数学课题的,莫过于一系列非平凡的结论以及它的精彩证明了”。我毫不关心数学与实用有什么关系,我仅仅是喜欢那么纯粹的结合逻辑与技巧的证明,这种数学特有的简单的美,却总能让内心得到平静与安宁。
    其次,不同的是,我是一个数学专业的学生,并且从小到现在一直热爱着数学。事实上,我也深深感受到中国数学教育的悲哀。对,只有不断地告诉你什么是对的,有哪些结论,却不告诉你那些定理产生的根源和历史。对于这个问题,我想,真正热爱数学的人会知道,一本数学史或许可以解决自己的疑惑,看得更清楚。M.克莱因的《古今数学思想》或许是不二选择吧~
    再次,关于你的最后一段话,我想说的是,数学更多的是一种源自挚爱和执着的修行吧。甚至是苦行,虽然我在崇尚佩雷尔曼的同时依旧欣赏陶哲轩。事实上,我也曾不止一次想过追求熟习数学里各个分支,站在所谓的最高点,高屋建瓴于数学之美。可是,时间真的很有限,我们只能在某一个邻域内享受这种乐趣。这么说,并非意味着要放弃追求去专攻某一个分支。相反的,恰恰是要将不断进行这种追求,因为追求的这个过程才是最重要的。说起来,还是蛮悲哀的,即使在CAS这样的地方,还是继续着填鸭式的就业式的教育。一批批本来真正热爱数学的人慢慢变成论文产生器而不自知,并且悲哀一代代延续。事实上,还是有点羡慕你的,真正热爱数学的人本应该学习数学的,可是中国这个特殊的环境下,倒是不把数学作为专业的或许更好一点,更自由一点,虽然还是遗憾不能更多接触数学的机会。
    最后,还是希望乐观一点。毕竟我还是觉得自己心安就足矣。赠上自己最喜欢的一段话:
    世界上有两种美:
    一种是简洁而深刻的方程;
    一种是你略带倦意的微笑。
    并引用林群院士常说的一句话:共勉。

  • 有同一理想的小弟

    matrix67 你到底是谁?清华高手 or 不是人的人 我qq759075871
    求加

  • 帮帮 182楼

    帮帮 182楼 我为他感动

  • wirx

    如果作者希望利用更理性的数学教育,来发挥数学本身的智慧教育作用,是一件很美妙的事

    但是呢,如果是真的求知者,还是启迪为主,让其自己去理解拓展较好,人类的这些东西,还远没有达到可以定型定性的地步

  • knight

    高手好多~~数学小白希望能尽快学完数分。。

  • 木木

    期盼你在自己选定的道路上坚定的走下去,最后做出成绩。一个老数学爱好着。

  • Thinker

    非常同意楼主观点;现在才发现代数居然可以用正方形的面积变换来形象地理解,回望课本上的一堆莫名其妙的定义现在也有了新的认识;以前一直以为代数纯粹就是一个计算的工具,现在终于有了全新的认识。还好我现在才刚学高代,没有被教育毒害地太深,决定以后要追随自己对数学的感觉而学数学,而非单纯为了学分。说起现在的大学教育全是以学分为主,没绩点一切都是白搭,看着一堆人啃着习题集、模拟试题;我常常想,这样的教育真的能培养出杰出的人才吗?

  • jjx01

    》……负数的价值在于,它可以把减去一个数变成加上一个负数……

    减去一个数变成加上这个数的相反数……

    》其实,质数就是不可再分的数,是组成一切自然数的基本元素。 12 是由两个 2 和一个 3 组成

    的……

    0和1怎么办……

    》其实,人们建立复数理论,并不是因为人们有时需要处理根号里是负数的情况,而是因为下面这

    个不可抗拒的理由:如果承认虚数,那么 n 次多项式就会有恰好 n 个根,数系一下子就如同水晶

    球一般的完美了。……

    “根号里是负数有意义”和“所有的n次方程恰好有n个根”是一回事吧

    》 难以置信的是,如此令人兴奋的东西,我们所用的课本上竟然一点都没有说到!

    高中数学人教版A版选修4-2《矩阵与变换》……

    》光讲形式化的推导沒有用。这才是真正把微积分讲懂的方式。严格定义和严格证明应该放到直观理解之后。只可惜,我还没看到哪本课本是这样写的。

    没必要这样写……先微分后积分和先积分后微分就像出门先迈左脚还是右脚一样……倒是现在高中很有创意,不教极限,教微积分,没穿裤子直接出门

  • stan

    这篇文章蛮深刻了
    国家也许有自己的考虑采用苏联的教材
    部分很同意博主的观点

  • zjhken

    非常同意你的丢弃应用而直接看数学之美的观点。

  • zfei

    话说我虽然是学数学的,仍然对一些课很不满意,想高等代数和常微分方程,讲的很蛋疼的,只能自己去图书馆找书看了,想找到几本很好的书也不容易啊,我一直认为,开篇就定义,然后证明定理的方式很不好,我也很不喜欢

  • MoMo

    一时间想不明白,从你的行列式的理解出发,为什么: |A·B| 显然等于 |A|·|B|,这个意思是说:单位正方形在两次线性变换后的面积,显然等于两个单位正方形分别做这两个线性变换面积的乘积,怎么“显然”法呢?

  • Tesla35

    M
    你说的微积分应该先讲定积分再将微分最后讲极限定义的书市面上是有的~~
    这就是龚昇老师写的《简明微积分》
    龚老师大概是年前去世了。惋惜。。
    这本书真的很独特。估计龚老师对数学史很有研究

  • 小192

    “其实,行列式的真正定义就一句话:每个单位正方形在线性变换之后的面积。”

    线性代数课本编者,你敢把这句话写在课本封皮上么?

  • 小192

    线性代数课本的下一版只用添加一句话,那就是:
    “其实,行列式的真正定义就一句话:每个单位正方形在线性变换之后的面积。”

  • stars9999

    花了两个多小时看完了这个帖子的全部,很赞同M的观点。我学计算机的,数学学得一塌糊涂,打算学好英语,看一些英文原著还是比较有用的,国内写得好的数学书不多啊。听说牛顿创造了无穷小量,却一次也没有用过,特斯拉的所有发明中都没有用过微积分,真的很讽刺。继续关注M牛的博客。

  • trustno1

    作者,你说的那个微积分的教法,可以去看陶哲轩的几乎和你的设想的教学方法是一摸一样的。但是他是从自然数构造开始的。

  • 语翔

    M67,您说的很对。我在上学期学习复分析的时候就读过Needlam的《Visual Complex Analysis》,感觉就像你对矩阵、线性变换、行列式的说明一样,我对复数也有了一个深刻的了解。

  • 刘雪

    高校的课本就是一个笔记,而讲解的形象化要靠老师,但现在某些老师却在念更加简化的ppt,个人俗见,望指正

  • Hemrione

    浙江学生也来推荐高中教材《矩阵与变换》了……

  • mathiq

    呵呵,你的观点很普遍。和 Reimann’s Zeta function 的作者Edward 观点类似。不过数学越来越多,现代的数学教育肯定和以前不同啊。直觉只有靠自己挖掘。

  • 6TY44RF54TH46

    GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG

  • 美形男

    我个人的观点。 愚蠢的人不需要知道这些形象的东西。 聪慧的人会自然的悟出那些道理。 比如你所说的 行列式。 这实际上就是一个体积的概念(或者叫啥了悲歌测度)。 这个其实是可以自己看出来的。 空间思维能力需要视觉皮层的参与 并且这玩意还需要雄性激素。也就是说 某些男性觉得很直观很简单的东西。 某些女生就是很难懂。 而大学教育是面对大众的 直接的讲述这些几何的概念 可能班里的女生就都退学了。 所以不能因为男性好懂就按照直观的讲。

  • Paradoxian

    强烈赞同!!
    不仅是数学,理化生都是这样,课本上就丢一个定理出来给人用,根本没让学生把来由弄清楚。我的不少同学都觉得,那些定理是理所应当存在的,那些结论都是石头里蹦出来的,他们根本没有管中间碰了多少壁、做了多少实验、发现者的思维是如何运转的,然后就想当然的用它做题,而且也只能把这且用来做题了……真是悲催……

  • fischer

    非常喜欢这篇,看了好几遍,最喜欢“数学吸引人的地方,不在于它在生活中的应用,而在于它本身的美”,赞!

  • Taro

    看得太感动了,忍不住动了几题。这些生动的描述真是太合我口味了,一句话描述。我一定要转载它~

  • 中国教育下的鸭子

    真希望遇到你这样的老师。。我现在该上高三了,但考试分数不是很突出,有些时候当我真想去探究某个不能理解的问题,但每每问老师时,总是被老师痛批——教我们拿分最重要!!。。或许在中国不得不这样吧

  • grants

    反正觉得有些人是故意这么教的,怕你懂

    209楼说:“愚蠢的人不需要知道这些形象的东西。 聪慧的人会自然的悟出那些道理。”
    这句话,前半句是对的,后半句是不对的。

  • RAMBOO

    说的太好了,真心希望数学教育能这样发展!

  • PerSeAwe

    这个楼真是越来越高了。
    我觉得科学应该分两种,朴素的科学和实用的科学。
    就如同我们编写的软件应该有两种模式:面向程序员的高级界面和面向普通用户的傻瓜界面。
    还是物质决定意识,意识反作用于物质。

  • yu

    今天无意中看到了你的博客真是很大的收获,本来到这只是找用迭代法求平方根的,却收获了更多,谢谢。

  • eagle_yin_yu

    完完全全一样的想法的驱使下找到一本好书,Linear Algebra Done Right (中文是《线性代数应该这样学》),建议大家看看(matrix67估计不用看了,差不多都会了嘛。。。)

  • trek jerseys

    恩 理解 也想出方法了

  • 青山绿水

    我刚刚完成了《虚数揭密2011》一文,方便时请去看看,定有收获

  • JJ哥

    文盲路过…膜拜大牛

  • 稷下

    图灵数学统计丛书中的第12《线性代数及其应用》第三版这本书讲的顺序就非常好,第三章才开始行列式,前面是线性变换矩阵跟向量~翻遍图书馆微积分倒是没找到讲的通彻的一本,不过线性代数好歹还是有这么一本…

  • Dersu

    我还不太能完全理解你说的每一句话,得慢慢消化。感觉到读完此文,对我的人生是有重大影响的,特来留言,原来楼层已经穿到地球的那一面了。

  • probox

    文章的作者,您好!您的文章很有启发意义。我们正在开发一个数学学习的网站项目。如果您方便的话,我们可否做一个沟通。请与我们联络。email:probox@vip.163.com
    谢谢

  • oldmath

    不讲线性变换的线性代数不是线性代数!

  • E7

    期待大牛出线代,预订一本先!

  • slice

    66楼的是傻逼,方法不正确再生动有个鸡巴屌用,2货,蠢鸡巴

  • slice

    83楼的也是猪,给人类文明拖后腿的垃圾

  • 百另湖

    难怪我学数学时从后往前学反而更容易。

  • Garry

    是的,我们的数学教育很是误人,大批的大学毕业生找不到工作,而我们的高科技企业到处找不到有用的人才,即使是起码的合格人才都难找。关于线代的学习,我知道有一本书稿叫《线性代数的几何意义》上册,推荐给大家。百度文库可下载。

  • Peter Pan

    Matrix67,你可以写一本好的教材啊~

  • mingchaoyan

    基本同意
    但对线性代数那部分保留意见;
    我是工科的,至少我用的教材中多次讲到了“如此令人兴奋的东西”,仔细阅读的话。

  • moonkey

    我想说的是如果数学教育都已经达到了您的理想状态,是不是也是一种遗憾。。。我的意思是,没有一般的叙述方式,如此之美的叙述便无法在对比下凸显出钻石般光辉了。。。

  • The_Roast_Duck

    新的教育需要更好地教育水平和制度,如果仍按照这样的来,反而会更加僵化。比如按照我们的教学方式,如果真的按照数学发展史教,那教早期成果的时候我们就只能按照早期数学家们的思维走,还影响得分,这样反而会更死板

  • 90年代上大学,但完全没学懂高数的人

    很开心。
    1. 楼主的文章给了我很多启示
    2. 下面跟帖的朋友没有完全一边倒地站在楼主一边,很多对立的意见也值得思考。
    3. 我是属于 形象思维稍好,抽象能量很差的普通人,因此,我更适合楼主的这种入门方式,半理解的接受,等到了一定的阶段再严格反思,总比一开始就碰得头晕放弃入内的强。

  • JWZH

    一直都在盼望M67牛的书。。。

  • Easoncxz

    若干时间之前,第一次读这篇文章时,不知线性代数为何物,不知微积分的意义。略有了解之后,再搜索回来读,感觉甚是有帮助。感谢matrix67作为一位数学爱好者对数学初学者们的引导!坐等≪matrix67-第一集≫!

  • roger

    数学专业毕业的路过,当我的课程都是各种数学理论时候,我感觉没精力研究为什么….专业课里让我觉得最有意思的还是数学史

  • 题叶

    莫非屏蔽链接 – -! 重新写一遍了
    关于漂亮的数系, 想烦楼主过目下”双平衡三进制”
    没有链接, 百度和知乎有部分内容在的

  • sepwolves

    博主太神奇了,景行行止

  • Svein

    LZ的想法很好,虽然从来对数学专业没有兴趣,但作为化学学生的我也一直试图对数学和数的本质和发展过程进行探索。
    不同意为了美可以牺牲严密性的说法,数学的根基,是分析,分析就是严谨的数学思维,数学只要稍有不严谨,其美学便荡然无存毫无意义,学自然科学的人都讨厌明显的错误,错,就摒弃,美便无从谈起。
    教材是针对大众的,LS很多人对一些不赞同LZ教材观的人怒斥,这是很有问题的。作为理科生,喜欢数学的人,觉得LZ的想法很好,就应该让我们从本质出发。但是不喜欢数学,逻辑思维能力不强的人呢?现有的教材至少降低了难度,对于大多数人来说不需要掌握得很深,只要会基本的计算就行了,帮人打工一般够用了,又不做科学家工程师,数理思维不行就不要追求了,精英是少数人,自己是精英何必要求其他人都是精英!文科生学的数学要求就低,而且若中小学像LZ的思路这样断然没有高中毕业前分文理科的可能了,理科思维很弱的擅长文史外语的MM将表示很痛苦
    数学教学按照这个思路,仅仅适合数学专业教学和理工科高层次选修课(可以覆盖必修的高等数学线性代数,如果有兴趣可以修读)

  • pf_d

    真正热爱学习的人不会被外界所困扰,会为获取知识感到极度高兴,我就是这样的!
    可是,在现实中,我发现这种人太少了,没有人能真正的去交流,探讨问题,总是为了分数去学习,从不追求真理.
    这也许是,出现这种现象的原因吧.
    我只是一名普通的高中生.

    另外,M67牛您的大名,我还是在接触OI有一段时间以后才了解的.
    我感觉这些教材编写的不错啊,线代,高数,概率论这三本都是互相联系的.当然,我的学习并不是局限于书本的,这也许是我有这种感觉的原因吧.

  • 破格

    行列式变化那里没看懂呢?

  • zhoumo01

    博主你说的其实是学习的途径的问题。就是讲知识应当是构建的还是灌输的。像你说的,要通过线性变换理解矩阵,要通过让n次方程n个解引入复数,这个就是你自己的知识建构。当然,最好的知识总是个人建构的,而那些灌输的知识往往成为进一步思考的束缚。这个事情不只在数学里存在,而且在物理的教育里也存在。
    在ted里有个wolfram关于数学教学的视频,他讲的就是要通过计算机交给孩子“数学思想”,而不是只是。举得例子就是说要教给为什么能通过正多边形逼近圆周长,而不是圆周长究竟有多长,这样就把逼近的想法很早放到小孩心里了。你放一个圆周率在他心里,作用并不大。
    还有,我不太同意你说的数学学习就是纯数学学习。没有形象的辅助,很多理解会很慢的。纯粹的东西只有到有足够的经验积淀以后,才能变成实际。这中间是个审美力逐渐提升的过程。而且,和直观形象联系,可能有助于很多对数学问题的灵感。彭加莱就提过直观和抽象两种数学家的风格。

  • 空灵影

    不要小看中国学生。
    咱中国的学生,小学觉得数学还算有意思,中学开始觉得数学越来越没劲,最后对数学失去兴趣。原因其实并不是我们理解不了数学的本质,而是老师根本不教。老师不教,我们自然只能死记硬背,于是到最后,我们便失去了理解数学本质的能力。
    很幸运,我喜欢数学,于是老师不教,就去自己找资料,自己去理解。可是,为什么我一开始会喜欢数学呢?是因为小学的数学竞赛让我坚信数学不是教材上那么多装B的公式摆在那,而是真正很美、很自然的思想。
    真正理解数学的人,学数学很简单,起码比死记硬背更快、更好。可我们这样的教育模式,却让绝大多数人,丧失了真正理解数学的机会。
    当然,国家有自己的想法,我们只能接受。
    维持现状,那么整体水平大概是70分,可只有10%的人真正懂数学。
    进行改革,那么至少会有几届的学生成绩受到极大的影响,而且会失去“中国数学远远超过外国”的虚荣,也会让那些RP不好的数学家们失去装B的资本。
    我也不知道应不应该进行改革,但是,我真的希望改革。
    我们理解教育的困难,但是,说真的,教育把学生心目中的数学毁了。

  • WinL

    今天看到这些文字,忽然就感觉到心中一沉,
    然后一口气地看完,感慨良多。
    我想起小学的时候,天天和整个学校的同伴一起学奥数,那时的感觉,数学真的很美,当第一次列方程解题,画出交叉行程图通过交点数确定相遇次数,还有按规则画出一组直线看到一条曲线出现在边缘的时候,满心的兴奋感觉现在忽然想起依然那么真实,而这种感觉很多年没有过了。
    我还记得第一次听到π是无理数的时候,我们一大群人感觉不可思议而跑去和数学老师争论半天的情景;而现在,判别式,复数,导数……什么东西老师讲了也就记下来,几道题目一做熟练了,那就这样用吧,就这样从初中到高中,一直这样。
    我觉得自己的理科思维是感性的,小学做奥赛的时候,几乎没用过方程,每道题都是完全地用现在的说法来讲就是“模拟”出来,数字,行程,图形等都在脑海里舞动,然后列式,答案早在心中……那是怎样的一种快乐!就是陶醉在这样的美中,我得以在小学的那几年尽情的扑在数学当中,然后去奥赛,先拿了一等,再去集训选拔,再去省队,再去总决赛……每每想起那时几乎一马平川的数学经历,现在数学常不及格的我,总不觉要落泪。
    可是我真的感觉不到一点数学的美!!导数只有运算运算!复数三节课一上,知道i方是-1就可以考试了,满黑板都是什么叫加法原理,什么叫乘法原理,什么叫排列,什么叫组合……最令我感到心寒的是,我们老师居然说伽罗华是在法国大革命时被砍头的,哥德巴赫猜想简称“1+1=2”……我很早以前就知道哥德巴赫猜想叫“1+1”,它的意思是什么,怎样从“9+9”到“1+2”……可是我在高中的课上竟然会听到这种几乎是道听途说想当然的话从老师的口中说出!这让人几乎心碎!!!
    我不知道自己还有没有机会在数学的世界重新爬起,现在的OI是我的寄托,但随着今年省选结束,我的OI生命就几乎结束了,我为自己没能把一个梦做完而感到羞愧,懦弱的我!
    无论如何,我还在挣扎。

  • edo

    我多么希望你是我的数学老师啊

  • sky

    数学系的偶表示很赞同。。。今日得此,幸事啊!

  • Hilbert

    只有傻瓜跟白痴才会把数学很难学的原因怪到教材上面去。
    数学本来就是很高深的东西,想把高深的东西变成很简单让凡人看懂本来就是不可能的,你还没有看过巨牛数学家的著作,如《自然哲学的数学原理》、《几何原本》之类的牛书,这些本来就很难懂,但是却开创了一个新的时代。现在的教材相比这些书来说算是很easy的啦。真正的数学家都是看巨著,看得津津有味,觉得这才是把数学说得很清楚。凡人们看那些教材看不懂,就觉得要这样要那样。所以数学家是数学家,凡人就是凡人。自己蠢就不要怪别人,说那么多废话。记住,数学家从来也不是因为看什么好教材才起作用的。你们看书看不懂,只能说你们自己笨。。。没有那个资质却想奢望做有资质才能做的事,也只能说明你们太贪心了

  • 无知门外汉

    中学的那些数学“应用”根本不是应用,都是就着所学的定理公式鬼扯附会上去的,地球人根本没见过那种应用。它还是第一阶段。

    看到负数那一段了,回头再看。

  • afeimao

    你好,我是华中师大数院大三的学生;作为一名准数学老师,读了你这篇文章感受颇多。虽然其中一些观点在数学教学论中有所涉及,但是你几乎每个论点之后都会有一个实例,这让我理解得更为清晰。非常感谢你的这篇文章,谢谢

  • afeimao

    你好,我是华中师大数院大三的学生;作为一名准数学老师,读了你这篇文章感受颇多。虽然其中一些观点在数学教学论中有所涉及,但是你几乎每个论点之后都会有一个实例,这让我理解得更为清晰。以后的教学过程中,如果能尽量做到你所要求的那样将是我的奋斗目标。非常感谢你的这篇文章,谢谢

  • 米机飒飒

    呜呜呜,我也是个不知道“为什么是这样”或者“为什么要这样”就打死都记不住的孩纸啊。。。有方向有推动力的数学看起来貌似好理解多啦!sooooo~~~~delicious!要是当初学数学的时候就有你这么个老师那该有多幸福!!!

  • 绿茶

    个人感觉没有任何系统性的教学能让我们明白更多,课本只是给我们更多绕弯的途径了。 像是被洗脑了。。囧

  • 你好厉害

    看到复数这一部分的时候,我感觉有点悟了。。。虽然不是很懂,但是感觉很牛逼的样子

  • WinL

    “255条回复”,呃,那么这么和谐的位置就由我来填充了。
    说真的,已经彻底对学校里的数学没有念想了,虽说为了考试还得捏着鼻子把所有的必修选修课本给过一遍,无奈,自己微薄的数学感觉还不足以让我可以蔑视damn数学考试。
    论彻悟,书本给我带来的还不如看您的blog所得到的。

  • WinL

    ps:其实我更喜欢255.

  • imissangle

    虚数的定义:http://www.ruanyifeng.com/blog/2012/09/imaginary_number.html

  • hqcola

    作为现役初中数学教师,荣幸地告诉博主:现在的初中数学教育也开始强调“举反例”了 :)

  • Leah

    分享一段话来解释lz的困惑(其实也是我自己的困惑)
    “This common and unfortunate fact of the lack of an adequate presentation of basic ideas and motivations of almost any mathematical theory is, probably, due to the binary nature of mathematical perception: either you have no inkling of an idea or, once you have understood it, this very idea appears so embarrassingly obvious that you feel reluctant to say it aloud; moreover, once your mind switches from the state of darkness to the light, all memory of the dark state is erased and it becomes impossible to conceive the existence of another mind for which the idea appears nonobvious.” — Gromov

  • cervelo

    看到了Matrix67大牛关于我们需要怎样的数学教育的一篇文章,有感而发。在数学方面,我确实不怎么样,但是数学公式在很多地方还是能派上用场的。

  • 开开

    什么操作连做两次能够把 1 变成 -1 ?一个颇具革命性的创意答案便是,把这个点绕着原点旋转 90 度。转 90 度转两次,自然就跑到数轴的另一侧了。……把数轴扩展到了整个平面

    =============
    这个想法太漂亮了!

  • mickeylili

    大学数学和中学算术的区别就在于严格定义和严格证明,这是现代数学的精髓,也是大学数学课要教给学生的思想方法,从而培养学生科学研究所必须的素养。

    至于文中所说的直观理解,那不是体系的一部分,只是帮助学生学习的手段(当然这些手段对帮助理解很重要,但不应过度强调)。而且微积分、线性代数这种基础课经过上百年的千锤百炼,其实相关的“直观理解”有很多种,并不局限于文中所说的这几个。一般的微积分或线代教材都会写一些直观理解来引出某些概念,但由于教材作者的理解层次、专业背景、教学理念的差别,不是每个教材作者都会遵从本文作者的观点。

    比如,以矩阵这个概念为例,最本质的当然是从线性映射的描述这个角度来引入(我是这样做的),但有些老师会认为让大一学生一来就接触线性映射太抽象,所以喜欢从线性方程组的系数矩阵来引入。不能说谁对谁错,这只是一个教学理念的差别而已,不管自己的老师选择哪条路,只要学生自己认真学,最终总是能完全理解这些东西的。

    最后回答一下本文作者最后的问题:“我希望有一天能像今天这样,能悟出高等代数究竟在讲什么,能悟出范畴论到底有什么用,能悟出 Riemann 假设为何如此牛 B,能悟出 Hilbert 空间是什么东西,然后把它们都写下来。”——是这样的,你说的这些东西(除了Riemann假设以外)在现代数学里都算是很基础的概念,你之所以不觉得要花“大半辈子”才能理解是因为你站的层次不够高。要透彻理解数学里的任何概念,你需要做的事情都不是纠缠于这套理论本身,而应该主动去学习更高层次的课程,然后再回头来看这些基础的概念,就一目了然了。举个例子,想要彻底知道高等代数在讲什么的话,你需要做的不是翻来覆去啃高代或者矩阵的书,而应该去看Basic Algebra、Rings and Categories of Modules这类更高层次的书,这样高代里的那些东西你就会觉得很自然了。

  • kkk

    “行列式为 0 ,对应的矩阵当然不可逆,因为这样的线性变换已经把平面压成一条线了,什么都不能把它变回去了.”
    这句话是不是有问题?
    行列式为零不代表某一行全为零。

  • joyside

    作为数学极差的高三文科生,表示即使看了这篇文章还是不懂行列式和矩阵是怎么回事,我倒是热衷于用计算机算出来。。

  • penguinss

    初中和高中一路保送?买糕的……最近我才意识到数学是我真正热衷于的一门学科,可是我已经高一了,之前没有参加数学培训的经历,目前似乎也鲜有机会参与其中,似乎还是自学比较靠谱,可我又没有很系统的学习流程和方法。请问大哥能否给点建议呢?

  • 小绿

    我真的很爱数学,我是文科生。但是我们的特别喜欢数学,。。。学文以后又没法学数学专业。。我一开始喜欢数学是因为做数学题特爽。。后来慢慢发现,数学真的教会我们很多思考问题的方法。嗯,很爱数学的。。可是文科数学学得很少啊,看到理科的题有好多定理我们都没有学到过。。以后考上了大学一定会钻研的!

  • cynthia1230

    真正好的教育是让学生可以脱离了教材和老师最终自己发展出学习能力,而再也不需要外在的辅助和指导。你这样看重教材,我觉得作为一个职业教师来说,是不应该的。好老师是不受教材束缚的。你不能等着教材帮你准备好一切。编教材的人并不一定是教学一线的人,他们的首要任务是对国家课程标准负责。而作为教学第一线的教师,应当拥有根据学生实际情况整合教学素材的能力。

  • cynthia1230

    不过你这种对数学教育的热情关注还是很了不起的!

  • 呜呱星人

    我同意263楼,数学真正厉害的就是那些不直观甚至反直觉的东西,而数学的思考应该是抽象的。

  • thunder

    我爱好的是物理。最喜欢的做的事情就是在接完题目之后得到结果后用一句话把这个结果解释清楚。去除各种推导和演算和纯粹语言解释。数学的证明与演算看懂又怎样?不知道为何而来自己之恩能够越学越呆。遇到问题只知道去往现成的东西里面找答案,这样永远做不出开创性的工作。数学是需要形象思维的,是需要想象力的。我做数学题或者物理题,又或者写一个软件的时候,绝对不会一上来就拿各种精细的原理来做,我就想一想我要做成个什么东西往那些方面做,然后从脑袋里拿出一个可以解决这问题的工具,然后假设自己已经做完,先做验证的工作,验证成功之后再动手解决问题。看似解决问题是从头到尾,实则我是先知道了答案,才知道了为什么。如果没有形象的思维,这种思路就完全走不通。因为我会纠结在过程的严密性和正确性上。
    很奇怪为什么国外的学生在高中还是一只只小菜鸟,到了大学就变成了战斗机,上天入地无所不能。我想这和他们先结果后过程的教育模式是有关系的。我的口味和楼主差不多。就是希望能够一步想到结果。不知道自己在干什么才是最悲哀的事情。看了这篇文章,引起了自己的共鸣和对自己初衷大的唤醒。

  • 执着的人

    数学是高投入低产出的学科,特别是抽象数学,追求就靠一种执着的信念。263楼说的不错,当了解了更高层次的知识后,回过头来对原来的东西会理解的更深,特别综合了各分支的内容后,帮助会更大。

  • _MatrixCr_

    看完泪奔……

  • Sun

    你试过用微分几何看高数微积分么?微分是对偶矢量那些东西。另外,我想知道你对概率论和统计学的看法。还有模糊理论你认为是数学么?

  • felix

    同一个事物,一些人会看到它的表面,一些人会看到它的本质,表面和本质无对与错之分,但看到表面的人,A is A, B is B, 而看到本质的,A 既是 B ,亦可演化为 C, D。

    知识是一种网络

  • chopin

    最近买了本数学大师,不得不说看中国人翻译过来的英语著作真辛苦

  • 徐超君

    其实如果按照这种近乎“重演律”的方法来讲解数学的话,可能会出现两极分化的情形:热爱数学的人不断得到动力,厌恶数学的人更加厌恶……

  • Korall

    教科书基本就是一系列手册,若要学数学原理,光靠手册是不成的

  • 守中

    博主和我想的是一样的~感觉好有成就感~~不久前我开始摒弃无聊的教科书,我觉得学习一门学科应该首先学习其历史!!!这样俯瞰一门学科的成长,才能更好地认清楚这门学科,也容易让自己知道自己在学的是什么!因此学佛先看看《释迦牟尼佛传》,再看世尊灭度后佛法的发展;学数学就看看数学史;学哲学就看看哲学史……不过之前应该具备基本知识才能看得懂,因为写史的基本上是该领域大牛,不时会冒出专业术语,不过其实不了解也可以凑合

  • 东方不败

    很多次想过这个问题,中学时每当新学的数学定理或者式子我都会去考究这究竟代表什么?却总是发现这些全靠自己想,从课本根本得不到些许启发,全是些无关的证明之类。后来上了大学没好好学了到最后只能死背些式子去考试根本来不及搞清楚这些,真是惭愧,而今我选择出国留学,重新修本科数学,就是为了弥补这个遗憾,想好好地把数学搞清楚。最后想问下博主,是否有比较好的这方面的教材或是网站可以推荐,非常感谢。

  • wmr

    期待楼主编著数学教科书..

  • Cheukyin

    <>这本书就是按文中所提到矩阵是线性映射这个观点来讲述的 ,而且整本书的内容都是围绕线性映射开展的.

    另外,楼主的按历史发展进程教授数学的想法也是Kline所推崇的,Kline所著的<>正是按历史讲述整个数学体系,楼主可以一观

  • Mathematicas

    如果一个孩子从小就被灌输数学可怕的观念,我想他是学不好数学的。现在社会上和学生群体中普遍存在一种对数学的抵触情绪,并且似乎以厌恶数学为荣,以至于葛军把高考卷出难了就遭到千万网友的炮轰。在这样的社会大背景下,热爱数学的学生似乎成了边缘化的群体,在中国以班级为单位的教育体制中很难找到知音(同类?)。
    其实纵观数学发展史,对数学的美的追求还是有的,否则人们也不会追求不用计算机的四色定理的证明,也不会将物理学逐步地向数学归纳靠拢,也不会有“除了傅立叶变换,其他数学都是狗屁”这样的观点。

  • 123

    好像《什么是数学》的微积分讲解顺序跟你那个差不多。

  • 什么是数学

    给白春礼院长
    白春礼院长:您好!
    中国科学网是中科院下属的一个网站。
    现科学网张明伟总编辑在科学网上有一转载的博文:
    http://blog.sciencenet.cn/blog-39308-223927.html
    数学天才伽罗华之死(转载) 2009-4-2

    【(伽罗华)他一劳永逸地发现了一个折磨了数学家几个世纪的谜团的答案:在什么条件下一个方程有解?】

    白春礼院长。
    不知道现科学网张明伟总编辑对与伽罗华相关的数学理论的了解是多少?

    【(伽罗华)他在黎明前那些绝望的最后时刻写下的东西,将会使一代代数学家忙上几百年】?

    白春礼院长。
    伽罗华他之后几百年的数学家还能够做一些什么样的工作?

    白春礼院长。
    中国科学院数学与系统科学研究院研究员程代展在科学网上写博文科普伽罗华的工作。
    见http://blog.sciencenet.cn/blog-660333-668963.html
    其中有:
    (1)(x^5-5x-2)=0是一个没有根式解的方程。
    (2)规矩三等分任意角无解。

    白春礼院长。
    程代展在http://blog.sciencenet.cn/blog-660333-672807.html的博文中,因为【有网友留言置疑:“一般五次方程无根式解”真的证明了吗?】,程代展因此“豁命放胆”——“愿为真理轻荣辱”。

    白春礼院长。
    伽罗华的相关理论是“刀枪不入”“无可挑剔”的?
    (x^5-5x-2)=0是一个没有根式解的方程?
    那么:
    (x-2)(x^5-5x-2)=0 —————这个一元六次方程有根式解还是没有根式解?
    (x-2)^2(x^5-5x-2)=0 —————这个一元七次方程有根式解还是没有根式解?
    (x-2)^3(x^5-5x-2)=0 —————这个一元八次方程有根式解还是没有根式解?

    规矩三等分任意角无解?
    判断规矩三等分任意角无解的理论依据是:以“已知有理数”为出发,经有限次加减乘除以及开平方所给出的数是可以用尺规法作出来的。
    作为比较:
    规矩二等分任意角是有解的!
    如果用伽罗华的相关理论判断“规矩二等分任意角有解的理论依据”只能是:以“已知数”为出发,经有限次加减乘除以及开平方所给出的数是可以用尺规法作出来的。

    这里:“已知有理数”与“已知数”两个概念有“大小”与“强弱”的差别。伽罗华的相关理论可以在同一个尺规作图问题中使用两个判断准则吗?

    白春礼院长。
    程代展已经在科学网上“豁命放胆”有两年多了,程代展的命还在,可是东西没有豁出来。
    白春礼院长。
    程代展即使在科学网上“豁命放胆”二百年,东西同样是豁不出来的。
    白春礼院长。
    从华罗庚到程代展,中国数学界在这方面缺少的是独立判断的能力。

    白春礼院长。
    http://news.sciencenet.cn/htmlnews/2012/8/268712.shtm
    吴文俊以为数学研究:“不要总跟在别人后面跑”
    白春礼院长。
    这场讨论与数学基础有关,希望中国科学院数学与系统科学研究院能够珍惜。
    http://president.cas.cn/submit.jsp
    中科院白春礼院长的信箱。
    谢谢白春礼院长的观看!
    谈泊

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    此内容公开在
    http://www.sciencenets.com/thread-437-1-1.html处。

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    上面内容的要点是:
    伽罗华的相关理论是“刀枪不入”“无可挑剔”的?

  • 我要当学霸

    写的真好,但我不是太明白“每个单位正方形在线性变换之后的面积。”这句话

  • CCUEoV49

    膊,跟着陈潇走了出去。夜晚的小镇依然有不少人在外头行走,客栈和酒馆都挂起了灯笼,这种灯笼是一种依靠水钻点燃的。只要在里面放置一 西宁的泪沟填充美容医院效果怎么样 枚水钻,灯笼就能够持续亮着,而且可以亮好几天。费用 西宁的泪沟填充美容医院那家好 低,亮度足够。 看着如此热闹的小镇,薇薇安第一次见到,所以难免会有一些激动。陈潇带着她去了一家酒馆,酒馆里的食物比较丰富,各种西宁的泪沟填充美容医院效果怎么样灵兽仙兽肉竟然都有。只不过,价格可就不一样了。灵兽肉起步在五十黑钻以上,而仙兽的肉则在一紫钻了。如此昂贵的价格让薇薇安忍不住咂舌。 “那就来几份仙兽肉吧,我倒要尝一尝有什么不同!”陈潇呵呵笑道 西宁的泪沟填充美容医院那家较好 。 “这……这么贵,还是算了吧!”薇薇安可是很节约的,一盘肉吃掉自己要辛辛

  • 古庙游吟诗人

    握手 这也是我一直在想、认为是天经地义、可是却从来不曾见诸现实的问题
    恐怕受教育者就要分成两种 一种是你这样的人 一种就是适合灌输记忆应用的人
    对于前者 我认为应该把数学(也包括科学)当成一种技艺 如同木匠、音乐家一样去培养技艺
    当然 伟大的人物是要出自于此的 可是世俗的大多数却无理由受此种教育
    这恐怕也是为何这种方式不见诸于古今主流教育的原因
    因为这永远是、不管是古今也是、同一类人之间的传递
    这种技艺和知识的获求 永远是需要这一类人自己去求 相互之间去‘神会’
    其中之妙处 自不必、也不能对芸芸大多数去述说
    夏虫不可语冰,如果不是此道中人(与是不是数学专业工作者无关),你去和他们说话,无异于自取其辱,正如老子曰:不笑不足以为道
    但是你去和志同道合者交流 或者是去通过书籍的记载 自己去和古今的有识者交流 自然会有望向同一片天空的感受
    愿以此与君共勉。

  • keyeechen

    那个线性代数的观点,说到心坎里去了。

  • ericxu1983

    你写的复数在数轴上的表示来源看的我觉得太精彩了,原来是这样。” 我理想中的微积分课本则应该是先讲定积分,再讲导数,再讲不定积分”,这个《数学是什么》作者就是这个思路介绍的,所以我到现在还记得定积分是什么,导数是什么,从而彻底理解了概率论中的概率密度函数(分布)的意思。 可惜这个作者没有介绍线性代数,你写的线性代数的介绍我还是没有领悟,真希望你真能写本线性代数的书,能像《数学是什么》这本书一样。我33了。

  • ericxu1983

    ” 矩阵的乘法,其实就是多个线性变换叠加的效果”,看了《线性代数的几何意义》,终于明白了

  • tigeralone

    楼主想要找的微积分教材是有的,龚昇教授70年代末编写的《简明微积分》就是按照这个思路:先讲定积分,再讲微分,再微商(导数),……不定积分……极限理论……
    俺们就是学的这个教材。

  • 西桑

    高中课本讲三角函数的时候,还是讲了一下源流的。还讲了一下用对数可以求sin1之类的值(至于具体怎么讲倒是没有说…)。
    解析几何至今处于(完全)混沌状态,做不来考题。。。但是高二学导数的时候,用定积分求出来$v_{max} = v_{平均} * /sqrt2$还有椭圆面积$S = πab$的时候,还是高兴了好久。这些东西,学校确实应该讲一讲,不过考试总是在考求点 求直线 求最小面积之类的,也可能是我真的对图形不敏感,找不到那个突破口。

  • mathr

    文章我觉得有点逻辑问题。作者能搞懂的东西,比如小初高的数学,就希望从数学之美的角度,不要从应用的角度来学习和教育。
    作者没搞懂的东西就希望从实用的角度来教育。
    比如线性变换和矩阵,开始怎么也弄不清楚教材中说的矩阵是干嘛用的。严谨,但是空洞,没卵用。
    最后发现矩阵是从一个空间变换到另一个空间的映射。这种直观的从应用角度阐述矩阵,虽然不完备,但是让人醍醐灌顶,茅塞顿开,极大降低了理解难度。

    那一个新事物,新知识,究竟按哪个方式教育效果更好呢?
    显然还是用例子或者现实理解概念,然后抽象升华,最后再进一步追求数学之美,是普通智商的较好的学习方式。

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