2005-09-23 16:13| 
17 Comments | 本文内容遵从 今天在MOP上看到一个比较有意思的东西，楼主在109楼证明了圆比直线长。
任做一条直线和一个圆，把直线平移使它和圆相切。直线和圆上的点都有无数多，我们怎么比较呢？于是，想到了把直线上的每一点和圆上的每一点建立一一对应关系。对于直线上的每一个点，我们都能经过它做出圆的切线，这个切点就可以和直线上的那个点对应起来。好，现在好玩了：圆上有一个点是永远也不会切到的（就是和原直线相对的那个点）。于是结论出现了：除了这个点之外，圆上的其它点都能够找到直线上相对应的点。也就是说，圆比直线长。长多少呢？就长一个点。
17 条回复
您也随便说几句吧：
不错，这种比较两条曲线谁的点多的问题我还没搞太明白，似乎都是构造一种映射来证明等或者不等。同样可以证明直线上的点和不含端点的圆弧上的点一样多（从弦的中点作射线穿过圆弧和圆弧外侧平行于弦的直线），是不是圆只比圆弧多一个点呢？
回复：我个人认为，圆比直线长的说法是错误的。根据康托的集合论，直线和圆（甚至一切平面图形）都具有相同的“势”，都可以建立一一对应的关系。无穷的东西只能用势去比较，比较长短的说法是无意义的。比如，区间[0,1]和区间[0,2]相比，后者显然更长。但它们的势是相同的，因为从0到1的实数可以和从0到2的实数建立一一对应关系（乘2除2）
太经典了～～～
回复：涉及到无穷的东西都很有意思
圆的切线与过切点的半径垂直吧,这样的话,一个圆最多只有360条切线,那直线上只需要多于360个点就长了
回复：一个圆最多只有360条切线？圆上的点是连续的吧
再画另外任意一个圆，同理可证比直线多一个点，所以所有圆都一样大
回复：不用这么证了，直接把两个圆作成同心圆，圆心的射线使两圆的点一一对应。
点……有长度吗？点多就说明长度长吗？这应该和说某个原子的温度如何一样是没有意义的吧...
圆的长度应该是有穷的吧（因为根据定义半径只能为长度有限的线段），而直线长度当然是无穷的
看来我没看懂这个讨论的题目-_-
有点意思
那个人显然没把长度的定义弄明白。
[confused] 看过一本科普书介绍过一个方法。然后试了一下该是直线比圆“长”，糊涂了……
假定一个单位圆，
它上面任意点的坐标显然满足x^2+y^2=1，那么将x每个小数间隔开，然后将y的每个数位插进去，这样能得到对应直线（数轴）的一个数。显然直线上每个点未必能对应得上圆上的任意点（需满足x^2+y^2=1），那岂不是和这个帖子相反了。 [sad]
另外说一下好像验证码在 firefox 里不太好使，我是 Ctrl + F5 才刷了一个正确的出来的。[loo]
还有呢。任作相切的一圆一直线，将圆沿直线无摩擦地滚动一周，使圆再次与直线切于圆上的同一点。此时，两个切点之间的距离就是圆的长度，显然比直线小。
如楼上根据两种不同映射法则得到圆自不相等
不过用势的话很好解释也就有限长和无限长线包含点相等
圆是直线的单点紧致化
S1=RP1
在（0，1）上任取点，求倒数之后均可以在（1，无穷大）中找到对应的点，显然（0，1）与后面的任意一个单位开区间长度相等，矛盾出项。所以最后，我想说的是，这个证明算是伪证。无限之间的比较与有限比较是不同的。
可以证明 圆周长的1/2 = 直径
所以得出∏ = 0.5
哈哈
反演变换
[...] Matrix67 神牛的 旧博 的时候偶然看到了这么一个证明： [...]
too old