位运算简介及实用技巧(一):基础篇

    去年年底写的关于位运算的日志是这个Blog里少数大受欢迎的文章之一,很多人都希望我能不断完善那篇文章。后来我看到了不少其它的资料,学习到了更多关于位运算的知识,有了重新整理位运算技巧的想法。从今天起我就开始写这一系列位运算讲解文章,与其说是原来那篇文章的follow-up,不如说是一个remake。当然首先我还是从最基础的东西说起。

什么是位运算?
    程序中的所有数在计算机内存中都是以二进制的形式储存的。位运算说穿了,就是直接对整数在内存中的二进制位进行操作。比如,and运算本来是一个逻辑运算符,但整数与整数之间也可以进行and运算。举个例子,6的二进制是110,11的二进制是1011,那么6 and 11的结果就是2,它是二进制对应位进行逻辑运算的结果(0表示False,1表示True,空位都当0处理):
     110
AND 1011
———-
    0010  –>  2

    由于位运算直接对内存数据进行操作,不需要转成十进制,因此处理速度非常快。当然有人会说,这个快了有什么用,计算6 and 11没有什么实际意义啊。这一系列的文章就将告诉你,位运算到底可以干什么,有些什么经典应用,以及如何用位运算优化你的程序。

Pascal和C中的位运算符号
    下面的a和b都是整数类型,则:
C语言  |  Pascal语言
——-+————-
a & b  |  a and b
a | b  |  a or b
a ^ b  |  a xor b
  ~a   |   not a
a << b |  a shl b
a >> b |  a shr b

    注意C中的逻辑运算和位运算符号是不同的。520|1314=1834,但520||1314=1,因为逻辑运算时520和1314都相当于True。同样的,!a和~a也是有区别的。

各种位运算的使用
    === 1. and运算 ===
    and运算通常用于二进制取位操作,例如一个数 and 1的结果就是取二进制的最末位。这可以用来判断一个整数的奇偶,二进制的最末位为0表示该数为偶数,最末位为1表示该数为奇数.

    === 2. or运算 ===
    or运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值,例如一个数or 1的结果就是把二进制最末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0,对这个数or 1之后再减一就可以了,其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。

    === 3. xor运算 ===
    xor运算通常用于对二进制的特定一位进行取反操作,因为异或可以这样定义:0和1异或0都不变,异或1则取反。
    xor运算的逆运算是它本身,也就是说两次异或同一个数最后结果不变,即(a xor b) xor b = a。xor运算可以用于简单的加密,比如我想对我MM说1314520,但怕别人知道,于是双方约定拿我的生日19880516作为密钥。1314520 xor 19880516 = 20665500,我就把20665500告诉MM。MM再次计算20665500 xor 19880516的值,得到1314520,于是她就明白了我的企图。
    下面我们看另外一个东西。定义两个符号#和@(我怎么找不到那个圈里有个叉的字符),这两个符号互为逆运算,也就是说(x # y) @ y = x。现在依次执行下面三条命令,结果是什么?
x <- x # y
y <- x @ y
x <- x @ y

    执行了第一句后x变成了x # y。那么第二句实质就是y <- x # y @ y,由于#和@互为逆运算,那么此时的y变成了原来的x。第三句中x实际上被赋值为(x # y) @ x,如果#运算具有交换律,那么赋值后x就变成最初的y了。这三句话的结果是,x和y的位置互换了。
    加法和减法互为逆运算,并且加法满足交换律。把#换成+,把@换成-,我们可以写出一个不需要临时变量的swap过程(Pascal)。
procedure swap(var a,b:longint);
begin
   a:=a + b;
   b:=a - b;
   a:=a - b;
end;

    好了,刚才不是说xor的逆运算是它本身吗?于是我们就有了一个看起来非常诡异的swap过程:
procedure swap(var a,b:longint);
begin
   a:=a xor b;
   b:=a xor b;
   a:=a xor b;
end;

    === 4. not运算 ===
    not运算的定义是把内存中的0和1全部取反。使用not运算时要格外小心,你需要注意整数类型有没有符号。如果not的对象是无符号整数(不能表示负数),那么得到的值就是它与该类型上界的差,因为无符号类型的数是用$0000到$FFFF依次表示的。下面的两个程序(仅语言不同)均返回65435。
var
   a:word;
begin
   a:=100;
   a:=not a;
   writeln(a);
end.

#include <stdio.h>
int main()
{
    unsigned short a=100;
    a = ~a;
    printf( "%dn", a );    
    return 0;
}

    如果not的对象是有符号的整数,情况就不一样了,稍后我们会在“整数类型的储存”小节中提到。

    === 5. shl运算 ===
    a shl b就表示把a转为二进制后左移b位(在后面添b个0)。例如100的二进制为1100100,而110010000转成十进制是400,那么100 shl 2 = 400。可以看出,a shl b的值实际上就是a乘以2的b次方,因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。
    通常认为a shl 1比a * 2更快,因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作请尽量用左移一位来代替。
    定义一些常量可能会用到shl运算。你可以方便地用1 shl 16 – 1来表示65535。很多算法和数据结构要求数据规模必须是2的幂,此时可以用shl来定义Max_N等常量。

    === 6. shr运算 ===
    和shl相似,a shr b表示二进制右移b位(去掉末b位),相当于a除以2的b次方(取整)。我们也经常用shr 1来代替div 2,比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用shr代替除法运算可以使程序效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的mod运算,效率可以提高60%。

位运算的简单应用
    有时我们的程序需要一个规模不大的Hash表来记录状态。比如,做数独时我们需要27个Hash表来统计每一行、每一列和每一个小九宫格里已经有哪些数了。此时,我们可以用27个小于2^9的整数进行记录。例如,一个只填了2和5的小九宫格就用数字18表示(二进制为000010010),而某一行的状态为511则表示这一行已经填满。需要改变状态时我们不需要把这个数转成二进制修改后再转回去,而是直接进行位操作。在搜索时,把状态表示成整数可以更好地进行判重等操作。这道题是在搜索中使用位运算加速的经典例子。以后我们会看到更多的例子。
    下面列举了一些常见的二进制位的变换操作。

    功能              |           示例            |    位运算
———————-+—————————+——————–
去掉最后一位          | (101101->10110)           | x shr 1
在最后加一个0         | (101101->1011010)         | x shl 1
在最后加一个1         | (101101->1011011)         | x shl 1+1
把最后一位变成1       | (101100->101101)          | x or 1
把最后一位变成0       | (101101->101100)          | x or 1-1
最后一位取反          | (101101->101100)          | x xor 1
把右数第k位变成1      | (101001->101101,k=3)      | x or (1 shl (k-1))
把右数第k位变成0      | (101101->101001,k=3)      | x and not (1 shl (k-1))
右数第k位取反         | (101001->101101,k=3)      | x xor (1 shl (k-1))
取末三位              | (1101101->101)            | x and 7
取末k位               | (1101101->1101,k=5)       | x and (1 shl k-1)
取右数第k位           | (1101101->1,k=4)          | x shr (k-1) and 1
把末k位变成1          | (101001->101111,k=4)      | x or (1 shl k-1)
末k位取反             | (101001->100110,k=4)      | x xor (1 shl k-1)
把右边连续的1变成0    | (100101111->100100000)    | x and (x+1)
把右起第一个0变成1    | (100101111->100111111)    | x or (x+1)
把右边连续的0变成1    | (11011000->11011111)      | x or (x-1)
取右边连续的1         | (100101111->1111)         | (x xor (x+1)) shr 1
去掉右起第一个1的左边 | (100101000->1000)         | x and (x xor (x-1))

    最后这一个在树状数组中会用到。

Pascal和C中的16进制表示
    Pascal中需要在16进制数前加$符号表示,C中需要在前面加0x来表示。这个以后我们会经常用到。

整数类型的储存
    我们前面所说的位运算都没有涉及负数,都假设这些运算是在unsigned/word类型(只能表示正数的整型)上进行操作。但计算机如何处理有正负符号的整数类型呢?下面两个程序都是考察16位整数的储存方式(只是语言不同)。
var
   a,b:integer;
begin
   a:=$0000;
   b:=$0001;
   write(a,' ',b,' ');
   a:=$FFFE;
   b:=$FFFF;
   write(a,' ',b,' ');
   a:=$7FFF;
   b:=$8000;
   writeln(a,' ',b);
end.

#include <stdio.h>
int main()
{
    short int a, b;
    a = 0x0000;
    b = 0x0001;
    printf( "%d %d ", a, b );
    a = 0xFFFE;
    b = 0xFFFF;
    printf( "%d %d ", a, b );
    a = 0x7FFF;
    b = 0x8000;
    printf( "%d %dn", a, b );
    return 0;
}

    两个程序的输出均为0 1 -2 -1 32767 -32768。其中前两个数是内存值最小的时候,中间两个数则是内存值最大的时候,最后输出的两个数是正数与负数的分界处。由此你可以清楚地看到计算机是如何储存一个整数的:计算机用$0000到$7FFF依次表示0到32767的数,剩下的$8000到$FFFF依次表示-32768到-1的数。32位有符号整数的储存方式也是类似的。稍加注意你会发现,二进制的第一位是用来表示正负号的,0表示正,1表示负。这里有一个问题:0本来既不是正数,也不是负数,但它占用了$0000的位置,因此有符号的整数类型范围中正数个数比负数少一个。对一个有符号的数进行not运算后,最高位的变化将导致正负颠倒,并且数的绝对值会差1。也就是说,not a实际上等于-a-1。这种整数储存方式叫做“补码”。

最后还有两句话
    Matrix67原创
    转贴请注明出处

106 条评论

  • Andriy

        有收获..
        建议下次写篇<Matrix67简介及使用技巧>_基础/提高/大牛篇.

  • yiyi

    不错不错,很基础&使用,期待(二).
    以及LS说的那篇~~

  • ConcreteVitamin

    今日下午在某 OI 群里得到了一个更直观的对 xor  的解释:
    xor 的意思就是 "是不是不一样"

    回复:是啊,所以说才叫“异或”嘛

  • Greedyguy

    >>对于一个整数a,-a和~a+1的值是相同的。

    这个是正确的么?
    我做了一下,
    根据定义有: Not a+1=upperlim-a+1
    那么原式化成: upperlim+1=0

    对于无符号类型(word,dword,qword)肯定是正确的。
    但对于有符号类型,如integer,upperlim=$7FFF,显然$8000<>$0000…………..

    于是我又写了一段程序,看看是怎么回事:

    var
      a:integer;
    begin
      a:=50;
      writeln(not a+1);
      readln
    end.

    答案是-50………

    那么integer的upperlim就不是32767了,那是多少?
    我又写了一段程序:

    var
      a:integer;
    begin
      a:=50;
      writeln(not a+a);
      readln
    end.

    答案是-1。

    这说明integer的upperlim是65535。

    这样看来,对于有符号类型的not运算的定义应该是:与该类型对应的无符号类型的上界与被运算数的差。

    不知道是否正确。请指教,谢谢。

    另外,希望大牛讲补码的那一部分准确一些,会误导初学者的。

    回复:位运算是在二进制位的基础上定义的,not运算的定义是把内存中的0和1全部取反
    对于无符号类型,取反后的效果就是把这个数在数轴上的位置“对称翻折到另一边去”,因为无符号类型的数是用$0000到$FFFF依次表示的。
    而对于有符号的类型,取反后最高位的变化导致了正负颠倒,又因为负数储存使用补码,所以效果就是变为-a-1。这与上下界没有任何关系

    P.S. 文章最后一段容易误导人,我把它删了

  • GreedyGuy

    理解了,谢谢matrix67。

    回复:文章重新整理了一下,删改了一些东西

  • Richardyi

    来挑错。。。0010(2)=2(10)。。。

    回复:谢

  • 逆铭

    看来没有机会在NOI前看完了……

  • voldemort

    把右数第k位变成0      | (101101->101001,k=3)      | x or (1 shl (k-1)) – 1

    wrong?

    1 shl (3-1) = 000100
    000100 or 101101 = 101101
    101101 – 1 = 101100

    Is this right??

    回复:谢谢提醒
    新加的,没验证,果然写错了;改过来了:
    把右数第k位变成1      | (101001->101101,k=3)      | x or (1 shl (k-1))
    把右数第k位变成0      | (101101->101001,k=3)      | x and not (1 shl (k-1))

  • voldemort

    问一下:怎样取右数第k个数?
    e.g:
    101101 , k=4 , ans=1
    101101 , k=5 , ans=0

  • voldemort

    我自己想到了

    x[i]:=(x shr (i-1)) and 1

    回复:不错!我把这个加进去了

  • xiaobai

    不愧是matrix67大牛啊!

  • Ronice

    取末k位               | (1101101->1101,k=5)       | x and (1 shl k-1)
    Wrong

    回复:sorry,没看到哪里有问题;取末5位时第5位上的0是前导零,我省略了

  • Ronice

    抱歉——没看到是0[muteness]
        有点用余光看文章…… – -||||

  • camily

    取右边连续的1         | (100101111->1111)         | (x xor (x+1)) shr 1

    发现一个更有意思的计算:
    取右边连续的1         | (100101111->1111)         | x – x and (x+1)

    回复:有意思;但是这个减法……耗时了

  • 人贱合一

    谢谢了,
    位运算有个质的飞越…

  • 逆铭

    觉得也许有必要介绍C++的bitset…

  • 方力

    补充一下什么叫原码,反码,补码,
    原码,二进制中第一个数表示是正数还是负数(如matrix67所说) ,剩下的数表示所要表示的数的绝对值.
                  比如,0010=2,  1010=-2
    反码,因为原码在计算机中不方便,引入了反码,反码就是负数在二进制中除了第一个数表示符号外,其他的数都
          依次取反,比如127=01111111,而-127=10000000;
    补码,虽然反码方便但是在计算中会错(正数和负数的计算),因为0000=0,1111=-0=0;有两个数表示
          同一个数,所以在计算中会少一,补码就是在负数的反码上加上一。
          比如-5=11111010(反码),补码为-5=11111011。
          

    回复:不错,谢谢补充!

  • ergyioreya

    取末k位               | (1101101->1101,k=5)       | x and (1 shl k-1)

    依然觉得这句话有问题,上面说取末K位,且K=5,为什么转化后只有4位
    应该改成是 x and (1 shl (k+1)-1)

  • ergyioreya

    SORRY
    没看到下面的人已经问了,一时头脑发热,我说的那个错了,Matrix67 正解

  • xia0ji

    请教一下
    procedure swap(var a,b:longint);
    begin
       a:=a xor b;
       b:=a xor b;
       a:=a xor b;
    end;

    procedure swap(var a,b:longint);
    var
       t:longint;
    begin
      t:=a;
      a:=b;
      b:=t;
    end;
    那个快一些呢?

    回复:自己写一个循环运行10000000次的程序来测一测吧

  • csf

    果然牛!学习了!

  • fafeymao

    [smile],谢过

  • lychees

    = –
    快排里的swap用
    a:=a xor b;
    b:=a xor b;
    a:=a xor b;
    会出现a和b代表相同元素的情况交换出‘0’

  • XeCycle

    对ls:
    我用C++写的这个总有一个是0:
    inline void swap(long& a,long& b) {
    a^=b^=a^=b;
    }
    可就是想不通……

  • goleenuoer

    a shl 1比a * 2更快 应该是a shl 1比a^2更快吧?忙碌的matrix67打错了…..

  • goleenuoer

    能请教一下a and -a怎么理解么?
    前面添一个”-“怎么理解??

  • tinge4

    26楼,你真牛, a << 1 本来就是 a*2 的意思。

  • kkkk

    末k位取反: | (101001->100110,k=4) | x xor (1 shl k-1)

    算出来是33=100001
    怎么算出来不对??

  • kkkk

    ,,我的错。
    没注意优先级。

  • ssxyh

    楼层: 20楼 | 2007-11-10 15:14 | xia0ji 说:
    请教一下
    procedure swap(var a,b:longint);
    begin
    a:=a xor b;
    b:=a xor b;
    a:=a xor b;
    end;

    procedure swap(var a,b:longint);
    var
    t:longint;
    begin
    t:=a;
    a:=b;
    b:=t;
    end;
    那个快一些呢?

    回复:自己写一个循环运行10000000次的程序来测一测吧

    我测试了30000000的操作,xor明显较慢,这个是为什么?是不是赋值操作比xor运算快些。

  • viva

    用+/-swap两个变量a、b的值,在a+b阶段若两个数很大,容易超界,如果适用xor会比较安全

  • liwei

    “有时我们的程序需要一个规模不大的Hash表来记录状态。比如,做数独时我们需要27个Hash表来统计每一行、每一列和每一个小九宫格里已经有哪些数了。此时,我们可以用27个小于2^9的整数进行记录。”

    这样的话就只能记录哪些格子已经填了,但是没法记录填入的数字。

  • EZ_ray

    应该是有temp的算法快一些吧
    两种都有3次赋值, 而诡异的多了3次xor运算

  • R

    记得在初二那会儿刚学编程,准备10天后参加noip初赛,给的初赛资料上就有反码跟补码,记了半天,结果5年来noip初赛都没考过……
    不过初二刚学10天就过了初赛感觉还是不错的

  • OiBLtx

    M67大牛,能不能用位运算先算出某个十进制数的二进制有多少位?如果能的话我们以后输出十进制数的二进制不就快多了吗?

  • starwakeup

    谢谢一下 M67

  • cyclone77

    很有收获 位运算可以解决哪些问题?

  • DearBear

    写了这么多年。碰到就来查查。呵呵。好用。
    M67 干的不错。

  • DearBear

    写了这么多年。碰到就来查查。呵呵。好用。
    M67 真干的不错。

  • DearBear

    啊! 42层! 是银河系漫游指南的终极答案吧! 呵呵! 第一下没有反应过来! 第一次注意到42楼这个彩蛋。。 赞M67。赞道格拉斯~!

  • lxzxcc

    有帮助,谢了

  • 未知

    很详细……很佩服 看后收获很大

  • Ray

    强大!学习了!

  • daep25

    确实不错,只是用处不是特别大

  • OIer:liyue

    Orz Martrix67 神牛…………
    明天就NOIP2009了

  • Aule

    取末k位 | (1101101->1101,k=5) | x and (1 shl k-1)

    这个有歧义 左边k位还是右边k位

  • 海盗

    取末k位(1101101->1101,k=5)为x and (1 shl k-1)
    我认为应该有点儿问题
    1 shl 4 = 10000
    那么: 1101101 and 10000 =1101101 and 0010000 = 0000000 = 0
    而不是 1101

  • SHvsMK

    取末k位 | (1101101->1101,k=5) | x and (1 shl k-1)
    这里的k应该是4吧!

  • MwindyT

    高手 我正备战NOI 希望matrix67牛提供一些noi的资料(关于编程技巧,与一些可以优化时间的方法)

  • ljz1989

    如前面所说,取末k位(1101101->1101,k=5)为x and (1 shl k-1)
    好像有问题,应该是取末k位(1101101->1101,k=4)为x and sum( 1 shl i-1))(i:k->1)

  • ljz1989

    哦 原来那个也对 不过应该加括号吧 优先级问题 应该加上括号吧 即
    取末k位(1101101->1101,k=5)为x and ((1 shl k)-1)

  • john

    感觉上,
    去掉右边第一个1的左边部分
    可以写成
    x and -x
    貌似会快一点…

  • comzyh

    经证实,在C情况下
    Xor交换是变量交换用时2.97倍
    另外发现
    __int64运算速度是int的2倍

  • 灰天飞雁

    貌似最新版本的FP会将shl 1直接替换成 *2

  • Lance6716

    必须顶~

  • Joe

    Xor 的 Swap若在a=b时会a=b=0

  • sai

    把末k位变成1 | (101001->101111,k=4) | x or (1 shl k-1)
    这里好像不对..

  • sounover

    在SWAP运算中,实际我们还是用了第三个参数,那就是那两个数与它们的异或运算的关系,这两个关系很巧,刚好是一样的。所以我想XOR在这个运算中并不算独特,用两个数的平均运算,一样能够达到这种效果。

  • fly

    文章最后整数类型的存储pascal的代码用Free pascal运行不过啊

  • Lamdy

    a<<1|1
    a<<1+1
    a<<1^1

  • jianglijs

    太感动了!楼主..

  • Lamdy

    功能 | 示例 | 位运算
    ———————-+—————————+——————–
    去掉最后一位 | (101101->10110) | x shr 1
    在最后加一个0 | (101101->1011010) | x shl 1
    在最后加一个1 | (101101->1011011) | x shl 1 or 1
    把最后一位变成1 | (101100->101101) | x or 1
    把最后一位变成0 | (101101->101100) | x and -2
    最后一位取反 | (101101->101100) | x xor 1
    把右数第k位变成1 | (101001->101101,k=3) | x or (1 shl (k-1))
    把右数第k位变成0 | (101101->101001,k=3) | x and not (1 shl (k-1))
    右数第k位取反 | (101001->101101,k=3) | x xor (1 shl (k-1))
    取末三位 | (1101101->101) | x and 7
    取末k位 | (1101101->1101,k=5) | x and (1 shl k-1)
    取右数第k位 | (1101101->1,k=4) | x shr (k-1) and 1
    把末k位变成1 | (101001->101111,k=4) | x or (1 shl k-1)
    末k位取反 | (101001->100110,k=4) | x xor (1 shl k-1)
    把右边连续的1变成0 | (100101111->100100000) | x and (x+1)
    把右起第一个0变成1 | (100101111->100111111) | x or (x+1)
    把右边连续的0变成1 | (11011000->11011111) | x or (x-1)
    取右边连续的1 | (100101111->1111) | (x xor (x+1)) shr 1
    去掉右起第一个1的左边 | (100101000->1000) | x and -x

  • wx

    M牛~请问如何得到一个二进制数的最高位啊。?比如 10010001我就需要一个10000000

  • jier

    楼上
    and 取某一位的值
    or 设置某一位的值
    b <- a & 10000000

  • logic

    阿拉~你的关于not演算的C语言代码是错误的… 应该是prinf(“%hun”, a); 然后就是C++标准没有规定负整数必须用补码存储。

  • motopig

    我是来看42楼的

  • Qwerty

    那个诡异的swap很不错啊!而且a=b时也是没有问题的。

  • Tanky Woo

    在最后加一个1 | (101101->1011011) | x shl 1+1
    不知道pascal中优先级如何,不过貌似C/C++中
    +的优先级比<<高

  • jie

    此程序有个小bug:
    procedure swap(var a,b:longint);
    begin
    a:=a xor b;
    b:=a xor b;
    a:=a xor b;
    end;
    如果,a == b;则结果
    a 为 0;
    b 为 0;

  • jie

    写错了,在c实现的过程中:
    void swap(int *a,int *b)
    {
    *a = *a ^ *b;
    *b = *a ^ *b;
    *a = *a ^ *b;
    }
    如果这样调用
    int a=3,b=3;
    swap(&a,&a); //出错
    swap(&a,&b); //正确

    • Ricky

      Four score and seven minutes ago, I read a sweet artceli. Lol thanks

    • carinsurance

      They need not set a deductible with each forall up, and so forth. In the event when it comes to teen drivers fail to buy or sell or insure a car accident, you cannot afford not to be liabilitya quote, they will not let that happen luckily do not have auto insurance coverage on your project car and hand signals. It is important is comprehensive coverage. This type repairspreferences. What this means you’ve just passed your test. Listen to the company, it is still a cosmopolitan place with some amazing savings through the car owner should also be ofto maintain your credit card can be an impossible task anymore. Just shrug-off any worries you could find yourself in harm’s way? The answer is yes. There are academic websites offersare fairly neutral to their home or car, and agree to sign the check. Bonus – you could get me in this day and many other areas of confusion is parteye for fraudulent claims. When you approach this kind of a British-based international hotel chain business, they should consult with a specialist auto insurers decided to switch. More and more therethe minimum amount of your car hire deal can be done. Optional coverage can help you save time should be your fault, having this coverage is just a click you eachthe advantages and disadvantages, you need towing?” they ask. Some sales agents would not be the science of climate change are all living longer Here is some good discounts and theand medical bills or the home.

  • NOP

    回复第63楼,
    没错!
    “把末k位变成1 | (101001->101111,k=4) | x or (1 shl k-1)”
    可能加个括号更清楚。
    x or ((1 shl k) – 1)

    • Kenisha

      That’s more than senlsbie! That’s a great post!

    • automobile insurance

      Your options are priceless. Choose health, you will only drive your very Ifbetter, you can take your time to determine which gender is a relief to get such information. On a new driver then you will be protected. Be it car or ticketthe profits. This is another issue that the driver or are planning to insure, that local brokers can often be disconcerting. This is crucial to your benefit because discounts will mentionedthe most expensive options are for the minimum personal injury and property can be resolved in a year, get free auto insurance company loves to ride with an insurance agent setIt’s going to traffic violation. After considering the amount of new variations of policy provided by the house. Check regularly that is restoring classic muscle car, then you will need createof coverage that you plan to store the entire market the products are nearly the same way, can your premium quotes with just one company has been illegal to drive carsoptions to you during uncertain times you wash your windshield and other deals. The phrases ‘2-4-1’, ‘two dine for 10’ and ‘buy one, get one. Gap covers the other sites. providescompare about 4-6 major insurance companies to protect it from $250 to $500.

  • DiaoSi

    对一个知识点的学习,你是如何能够这样的,即系统全面,又比较深入,而且对一些重要细节又不致忽略?

  • Delete

    Matrix67大神,你的取末k位 | (1101101->1101,k=5) | x and (1 shl k-1)错了吧,如例子中,取末5位,即
    1101101
    & 10000
    ——-
    0
    但答案应该是0才对啊
    是不是应该改成x and ((1 shl k)-1)这里有减法,会慢些,或者Matrix67大神再给个改正的?

  • cervelo

    你是如何能够这样的,即系统全面,又比较深入,而且对一些重要细节又不致忽略?

  • fucumt

    再加上两个:
    将最右边的1变成0 : x&(x-1)
    将最右边的0变成1 : x|(x+1)

  • fucumt

    将最右边的1变成0 : x&(x-1)
    可以用于计算一个数有多少个二进制的1

  • 某个

    不错不错!

  • kinglone

    id 为 153 文章链接挂了,看来这篇文章写之后才美化的url

  • lvable

    来看看,顺便看看评论

  • Rothchild

    是否能具体解释一下树状数组中x and(-x)

  • 123123

    常见位运算变换操作没注意优先级吧,我用C语言打,<>的优先级比减号优先级低

  • GerJCS

    1314520 xor 19880516 = 20665500
    请问这里的异或是怎么得出来的结果呢

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