2009-11-14 17:29| 
16 Comments | 本文内容遵从你相信吗？对于任意一个可数集，总能找出不可数个子集，使得从中任取两个集合，其中一个都是另一个的真子集。乍看之下，这似乎是不可能的。如果任两个集合之间都具有“其中一个是另一个的真子集”的关系，那它们就能构成一个“集合序列”（准确地说是全序关系），使得每个集合都是由它前面那个集合添加进若干元素得到；换句话说，我们能通过不断往一个空集中添加新的元素依次得到所有这些集合。但是如果这些集合中的元素就只有可数个，那这个“集合序列”中怎么会有不可数个集合呢？然而，涉及到无穷的问题总是那样违背直觉。下面我们只用三行字就能说明，这个命题的的确确是成立的。
由于可数集与可数集之间总存在一一对应的关系，为了证明原命题，我们只需要说明命题对某个特定的可数集成立即可。对于全体有理数集Q来说，该命题是成立的。对每一个实数r，令集合S_r = {q|q∈Q且q<r}。根据这个定义，我们得到了不可数个形如S_r的集合，显然从中任取两个集合，其中一个都是另一个的真子集。
来源：http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/NestedSubsets.shtml
这次真的sofa了。。
悲剧啊
原来全体有理数集Q也是可数集。。
可是S_1.1和S_1.2是相等的，不存在谁是谁的真子集啊。
mark
to mym|stephen:
1.1和1.2之间是存在有理数的，所以S_1.1是S_1.2的真子集
mark
S={S_r;r属于Q}怎么了就不可数了
[...] This post was mentioned on Twitter by 阳阳猪的 GR Share, Yifang Li. Yifang Li said: 经典证明：任何可数集都含有不可数个嵌套子集 http://j.mp/12kemK [...]
Dedkind分割……
问题还不太明白，证明也不明白。那个那个包含嵌套集合的集合是无限集还是有限集？如果是无限集的话我想到一个证明，不过不知道有没有逻辑上的错误：
首先可以用对角线化方法证明无限长的0，1串是不可数的（类似证明无理数不可数的方法）。然后建立一个从无限长01串到嵌套子集的一一映射。假设这些无限长串有左端点，右端无限长，它的第i位是1就表示集合里有i这个元素。这样串的左起前i个1所对应的元素就表示第i个子集，这样任取两个集合i，j，如果i<j，那么集合i就是集合j的子集。
这个证明太经典了，呵呵
Dedekind分割+1
其实公理化集合论里实数的定义就是这么来的……
“对于任意一个可数集，总能找出不可数个子集，使得从中任取两个集合，其中一个都是另一个的真子集。”如果这个可数集是自然数集N，那么我取两个集合{1,2}和{3,4}，这怎么可能一个是另一个的真子集呢？
说的有道理！
回复2011-01-25...“总能找出”是“存在”，“可以找到”之意思，不是“任意找到，随意选取”。证明方法巧妙地选取了
连续不可数的r和具有稠密性又可数的Q
可数集的子集是不可数个。因为对于任何一个元素，子集里可有可无，即子集的个数是2的阿列夫0次方，即阿列夫1。