借用点其它的东西,你或许可以三等分角

    大家都知道,我们永远不可能尺规三等分任意角。借助一些其它的工具是可以办到的,即使所借助的东西“微不足道”,“几乎可以不算”。下面提供四种比较简单的方法。

ONE~~~~~~~~~
    至今仍有不少人认为这种方法可以推翻“三等分角不可能”的结论。而事实上,这种方法仍然算借用了外物。
    尺规不能三等分角,但可以三等分圆(自己试)。也就是说,只用直尺和圆规可以画出120度的角来。现在给你一个任意角,那么你可以把它对应的扇形卷成一个圆锥,三等分这个圆锥底面的圆。还原成扇形后,你会看到这个角所对应的圆弧已经被平分为三份了。

TWO~~~~~~~~~
      
    把要三等分的角AOB放在圆中,作为圆心角。从B出发作射线交圆于D,交AO延长线于C,当CD等于圆的半径时角ACB就是角AOB的1/3。你可以试着自己证明一下。
    证明:设∠DCO=x。由CD=DO知∠DCO=∠DOC,于是∠DOC=x,进而∠BDO=2x。由DO=BO知∠BDO=∠DBO,于是∠DBO=2x,进而∠AOB=∠ACB+∠DBO=3x
    结论是正确的,可惜如果不在尺子上作标记的话图是作不出来的。

THREE~~~~~~~
      
    我们要三等分角BAC。作CD垂直于AB,垂足为D。作CE平行于AB。AE交CD于F。适当移动E的位置(仍然保持CE//AB),当EF=2AC时,∠EAB=1/3∠CAB。
    证明很简单:找出EF的中点后,于是EM=FM=CM=AC,那么∠CAM=∠CMA=2∠AEC,又因为CE//AB,所以最终可得∠CAE=2∠EAB,也即∠EAB=1/3∠CAB。和方法二一样,尺子上面没有刻度的话是作不出这个图的。

FOUR~~~~~~~~
      
    如果你手上有一张纸的话,你可以用折纸的方法三等分角。
    把角XAY(蓝色标明)放在纸的一个直角上,AY靠着纸的边缘。在纸的另一直角边上确定两点P和Q使得AP=PQ,过这两个点分别作平行于AY的直线。现在,把纸折起来,让Q点落在AX上,A点落在过P的那条平行线上,那么A和P的落点就确定了三等分线的位置(红色线段)。怎么证明呢?
    证明:为了便于叙述,我们把A、P、Q的落点分别命名为A'、P'、Q',折痕的端点分别为B和C。过A'作A'D垂直于AY。∠AA'D = 90°- ∠A'AD = ∠BAA'。又AB=A'B,于是∠BAA'=∠BA'A。加上A'D=PA=P'A',AA'是公共边,足以说明△AA'P'≌△AA'D (SAS)。这样,∠AP'A'和∠AP'Q'都是直角。又注意到AP=PQ即A'P'=P'Q',于是△AP'A'≌△AP'Q'。以A为顶点的三个直角三角形全等,也即对应的三个角相等。

做人要厚道
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14 条评论

  • 狗狗

    补充一点.
    第二个方法..貌似是老欧发明的…
    再补充..
    可以利用反比例函数…哈…..=.=…这可能更加不优美…

  • 竹子的叶子

    为什么证明部分要放那么多的和底色相同的东西呢?

  • 花生

    看不到证明过程,麻烦处理一下好吗?谢谢

  • ...

    回复花生:请按Ctrl+A

  • SSSSSSSean

    FOUR~~~~~~~~
    这个方法似乎并不能等分任意角。
    首先,该角不能大于或等于90度。
    其次,如果这个角的COS值大于1/3的话,Q点落不到直线AX上。
    最后,这也完全可以用尺规作出图来。没发现有任何难处。

  • SSSSSSSean

    Sorry, 额错了。以为BQ等于QP。

  • cervelo jersey

    为什么证明部分要放那么多的和底色相同的东西呢?

  • wyr1954

    顾森先生给出了三等分锐角的折纸方法,没有提供三等分钝角的折纸方法,本人经过思考,给出补充。
    先给出三等分直角的折纸方法,这是比较容易的,如图(2),已知直角∠XAY,将直角放在矩形纸张的一个直角上,在边AX上任取一点Q,按折纸法(2),把点A折到点Q上,从折痕得到AQ的垂直平分线,垂足为点P,且AP=PQ。按折纸法(5)过点A将点Q折到AQ的垂直平分线上得点R,,则折痕AR就是直角的三等分线中的一条,再按折纸法(3)将AR折到AX上,则折痕就是直角的另外一条三等分线。
    证明:由折纸法(5)知,AQ=AR,点P是AQ的中点,在直角△APR中,∵AP=1/2AR, ∴∠ARP=30°,∠QAR=60°,∴AR是直角∠XAY的一条三等分线。
    用折纸法三等分钝角。分析如下,如图(3),已知钝角∠XAY,反向延长AX,得到邻补角∠YAZ,用顾森提供的折纸法可得锐角∠YAZ的三等分线AB、AC,∴∠1=∠2=∠3,设∠XAY的三等分线为AD、AE,则∠4=∠5=∠6, 由于∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°,3∠3+3∠4=180°,3(∠3+∠4)=180°,∠3+∠4=60°。可见以AC为一边,在AC的左侧只要能用折纸法折出60°的∠DAC,就能得到钝角∠XAY的一条三等分线AD,而这个问题在用折纸法三等分直角时已解决,再按折纸法(3)将AX折到AD上,就可以得到另一条三等分线AE。
    本人给出的是间接折出三等分钝角的方法,抛砖引玉,希望能有人提供直接三等分钝角折纸方法。

    • X_ao_C_Lin

      最近正好在做关于这个的research,从这里学到了很多,看了以上的有了些想法,想了一个较为简单三等分任意钝角的方法。
      先对折,或者用尺规做出这个钝角的平分线,现在我们有两个锐角,用楼主平分锐角的办法,分别平分这两个锐角,然后我们有六个相等的角。每两个相邻的小锐角组成一个大锐角,这样就可以较为简单的平分钝角了。
      一般只潜水,不发言。但是特别感谢楼主和wyr1954,谢谢分享。❤️

  • rmy

    one 很强大

  • pongbigbig

    hey girl

  • 一張紙

    如果你手上有一張紙的話,你可以用摺紙的方法三等分角。

  • 沒有一張紙

    如果你手上沒有一張紙的話,你不可以用摺紙的方法三等分角。

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