2005-07-22 13:38| 
25 Comments | 本文内容遵从 今天在cut-the-knot上看到一个东西很有意思。
证明：所有钝角都是直角。
在线段AC上向外做射线AB、CD，使∠BAC为直角、∠ACD为钝角。下面我要证∠ACD=∠BAC。
首先适当取B和D在射线上的位置使AB=CD，显然BD、 AC不平行。分别作出BD和AC的垂直平分线，交于点P。
那么△PBD和△PAC就是等腰三角形了。
于是，BP=DP，AP=CP，又AB=CD，所以△BAP≌△DCP。
因此∠BAP=∠DCP。又∠PAC=∠PCA，所以∠ACD=∠BAC=90°，证毕。
其实用同样的方法也可以证明“所有锐角都是直角”，这样，所有的角都是直角了。
看完后，有人或许会说，肯定证明过程的哪一步有问题。这不是废话吗？没问题的话，所有角都是直角了，那还得了？
我想起那个“所有三角形都是等腰三角形”的证明了，更经典，哪天也写出来。
25 条回复
您也随便说几句吧：
简单比画了一下,貌似俩垂直平分线不会相交......
回复：两条垂直平分线当然会相交。这不是问题的所在。
不会在那地方相交
应该在哪里见过。好像是因为作图不规范，垂直平分线不会在那个地方相交。
回复：的确是作图不规范。大家自己拿几何画板画一下就明白了。
这些类似的问题很多，不过，可不要被问题的人带入到几何问题里，因为本身这个问题就不可能出现，就如那个所有三角形都是等腰三角形，其实那个中点作的垂线是不可能和对角的平分线在三角形内相交的！
回复：这类问题确实很多，它们的破绽正如你所说的一样
小学老师告诫我们曰：画图要用格尺。。。
交点一定不会落在直线AB和CD之间
我们高中招生考试就出了这道题，当时我极其高兴，因为我看过。可是最终无奈的发现，写了和sofa一样的原因，回家看书发现后就怀疑是不是四月一……
P应该在BACD中
完毕
貌似证明全等时缺少条件，边边不能吧！
应该是PD不会穿过四边形ABDC
同意10楼,佩服楼主,开眼界了.
全等没有问题(SSS)
主要是图...
我都快晕死了
今天我在看那个所有三角形都等腰的证明,居然回复里面30%的人不知道直角三角形HL定理....更有甚者说全等ASA不可以...我快疯了...
懂了，看的时候感觉CD有点短，不过自己画图时只画了垂直平分线，没连BP，DP，所以自己没发现。。
两条张不会在那个位置相交的，交点应该在四边形ABCD之间
看到相交于P点就有点感觉不对劲，而且给的图上M偏左很明显
闭上眼自己想想，觉得BD的垂直平分线应该正好经过AC中点M才对吧？
P点应该在DC延长线的右下方吧~~~
∠BAP=∠DCP。又∠PAC=∠PCA，并不能得到 ∠ACD=∠BAC
∠BAP=∠DCP。又∠PAC=∠PCA，并不能得到 ∠ACD=∠BAC
立体几何问题
我见过证明任意两直线平行用的也是这个方法。。。
这个与所有三角形都是等腰三角形的证明很类似。
正确地画图，PD与AC不会相交。
用极限思考法，角ACD为180度时，PD与AC线段明显不相交，证明显然无效。
如果说把这看作一个立体图形，则“因此∠BAP=∠DCP。又∠PAC=∠PCA，所以∠ACD=∠BAC=90°”是否不成立？请m67要回答我呀，我想不懂
这个图画错了。不可能是这个形状的。其实直观看也知道这个图是欺骗了大家。
未证明直线PD与线段AC相交（实际上在线段外和直线AC相交），所以以下证明因为少了这个前提条件而全部错误
不应该说是图画错了，图一向没有准的，一定要根据已知条件来，应该说是证明过程有一处不严谨
△BAP≌△DCP是没有错，但是∠DCP小于180°的一侧实际在右面，也就是说此全等并非是一个对称式的，而是旋转式的。