某日凌晨4点多，网友Superwyh发来短信说，他梦到了这样一个颇具启发性的问题：如果我们能够证明两个数之间不存在其它的数，这是否足以说明这两个数是相等的？正好当时我还没睡，稍微想了一下，发现这个命题是成立的，因为它的逆否命题显然成立。倘若两个数不相等，那它们之间一定能够插入其它的数（例如这两个数的算术平均值）；反过来，如果两个数之间无法插入别的数，这两个数自然就应该相等了。
这个命题是相当具有启发性的。或许有人会想，能不能用这一思路去证明两个数相等呢？
关于两数是否相等的争论，最著名的就是那个关于0.9999….和1是否相等的问题了。这一问题理解起来简单，细想起来争议颇大，真可谓是一个全民化的数学争论，与著名的Monty Hall问题有得一拼。不了解极限概念的人可能会说，不管你在后面写多少个9，它都不能达到1的，量变和质变存在本质上的区别。因此，当高中数学课上老师明确指出0.9999….精确地等于1时，还是有不少人瞠目结舌，甚至高声反对。
如何让不懂极限的人相信这一等式呢？这是一个有趣的话题。我们可以用类比法来说服这些“保守派”的人。注意到1/9等于0.1111….，2/9=0.2222….，一直到8/9=0.8888….，我们很容易联想到9/9应该等于0.9999….。但是，9/9等于1，这就说明了两个数是相等的。
下面这个说法更具有说服力一些。令x=0.9999….，于是10x就等于9.9999….，两者相减可得9x=9，我们立即看出x实际上就等于1。
有没有什么更加严格一些的证明呢？Superwyh在短信中提到，直觉上看，0.9999….和1之间似乎无法插入其它数字，这很能令人信服两个数是相等的。事实上，我们可以严格地说明不存在x使得0.9999…. < x < 1。倘若有某个x小于1，这说明1-x是一个正数，虽然它可能很小很小。比方说1-x=0.0000000001，那么就有0.9999…. > 0.99999999999 > x；不管1-x有多小，只需要比到x的第一个非0位，0.9999….就已经超过了x。这样看来，任何一个比1小的数，也一定小于0.9999….，因此1和0.9999….之间不存在第三个数。根据前面的结论，我们立即得到，1和0.9999….其实是同一个数。
– – 其实也可以这么想象啊……
1/3 = 0.33…
0.99.. = 0.33… * 3 = 1
Superwyh……我就边跟这厮打电话边被拍了下来……
话说回来 Superwyh的手机号从手机键盘上看挺有意思的
1L的证明很好，貌似我原来也这么写过
自从某次开玩笑的证明了 根号 2=2 之后就没怎么在玩过此类问题了……
不过……要是用插数的方法证明的话……
是否可以得出以下结论
“0.999999……9=1；1=1.0000000……1；因此0.999999……9=1.000000……1”了呢，不过这显然不成立
这儿有个问题，就是1.000…01，不管有多少个0，这个数就不是循环小数，那它就是会比1大，0.999…也是一样
http://www.douban.com/subject/1707158/
这本书里面提到了关于“同一个数有不同十进制表示方法”的事情 就在前三章中 可惜我身边没有书
这个命题应该可以由戴得金分割直接得出
呃~~这类问题好像小学数学班就证过
高一时是这样想的
令x=0.111….1①,
则10x=1.111…1②,
②-① 得
9x=1
Q.E.D.
@光与暗の奏鸣
错，这成立的。
既然我们依据的原理是正确的，推理没有错误，那么结论必然也是正确的。
（个人观点）
他们应该都是1.吧
不像是更严格的
只能说是另一种证明吧
0.99999……这个表示法需要如何严格定义是一个问题……
@光与暗の奏鸣 1=1.0000000……1不成立吧
@Zx.MYS
那这样表达是不是一样: 2-0.9999……
这个是不是1.00000……001呢？
本来想扯淡呢……
但是网突然断了……
没保存上……
是不是也可以这么想：有这个方程：X=0.9+0.1X
0.99999……和1都是这个方程的解，所以相等……
那个貌似《Mathematical Analysis》里面确实有这个内容……
感动死了……
如果1.00000……1中有无限个0，那么就不能找出在1.0000……1和1的数
所以按照刚才的命题，这个是成立的，因此1.0000……1=1
而0.99999999……9（之所以写这个末尾，是为了形式对称）=1因此
1.0000000……1=0.9999999……9 但是……中间还有一个1
当然已经证明 三者都相等那 1和1 之间当然是没有任何数的……但是……如果推广下去……那么所有的数都是相等的了
“楼层: 地壳 | 2009-01-31 21:27 | multiple1902 说： 既然我们依据的原理是正确的，推理没有错误，那么结论必然也是正确的。
”
这样还能说原理是正确的么
如果这个理论是存在的话就不存在1.0000……1或0.99999999……9这种数吧……
这么中间就存在别的数字了……
突然发现说的是凌晨4点多……ORZ一个
@Superwyh 14楼
我觉得有道理。1次方程有1个根这点没错，那么那两个数相等了。
不过我们在这里扯数学似乎一点意义都没有，是就是是，不是就是不是，轮不到我们讨论呀。
dedkin貌似定义的就是0.9……=1
0.9……=sum{9*10^(-n)} n=1
所以0.9……=1
囧大了……
但是，“如果我们能够证明两个数之间不存在其它的数，这两个数就是一个数”这个说法是没问题的吧……
@光与暗の奏鸣 15楼
“如果推广下去……那么所有的数都是相等的了”
你推广给我看看……我觉得没法推广。就0.999……、1、1.000……1
楼层: 20楼 | 2009-01-31 22:18 | multiple1902 说：
你推广给我看看……我觉得没法推广。就0.999……、1、1.000……1
关于这个推广……其实我想说的是……那个我们平时理解的是“无限有限论”即把无限的思想基于有限数据计算的理论来进行计算
即使计算0.9999999……+1.000……1的时候我们还是想像成它们各有有限位，一个末尾是“9”一个是“1”（该死的输入法……又给我改符号……）
这样我们就计算出 “2”的结论（这是论点1）
我们说0.000……1是无限位‘0’后面加个‘1’
那么我们是否可以说无限个0.0000……1相加就等于‘1’呢（论点2）
如果论点1错，那么整个证明的前提就不成立，貌似就没有计算无限位数的算法
如果论点1对论点2错，那么无限个0.0000……1相加等于多少？
如果都对，那么是否可以推导出任何有理数都是由不同个0.000……1相加的得到呢
（抱歉用的理论很简单……难了我也不会…请大牛们多多指正）
看看这个：http://www.straightdope.com/columns/read/2459/an-infinite-question-why-doesnt-999-1
找了半天终于找到了……
999~ doesn’t really represent a number, then, but a process
令x=0.9999….，于是10x就等于9.9999….，两者相减可得9x=9
正解
1-0.9999…=0.0000…
=>
1=0.9999…
是否可以得出以下结论
“0.999999……9=1；1=1.0000000……1；因此0.999999……9=1.000000……1”了呢，不过这显然不成立
为何这显然不成立?
我觉得有个问题, 存在1.000000……..1这样的数吗?
0.999999999…….后面是无穷无尽的, 1.0000000………1难道说中间的0是无穷无尽的? 那么无穷无尽后面又多了一个1, 然后又怎么是无穷无尽了?
不知道是不是我的理解有误..
用长除法做1/1,第一次的时候先不要除掉而是先写一个0,
这样在小数点后面除的时候每次用的都是9来减掉被除数的10
就可以很容易的发现1/1 == 0.999999999 == 1了。。
0.99….
—–
1/10
9
——-
10
9
——-
………
不知道上面的这个格式会不会乱掉。。
反正写一个长除法的式子，第一次先不要除就可以了。。。
晕。。果然乱掉了。。关于这个东西的证明，小学的时候有段时间超级迷这个东西，一直不知道为什么会这样。就不断的去找证据去证明它们两个相等。。。那个(1/3) * 3的，还有那个10倍的0.1111….减去0.1111的都有想到过…但是我觉得还是上面这个长除法的证明让我自己最满意，也是最能说服我自己的一个证明，当时想出来的时候太意外了，很高兴~~~
关于这个东西：“如果我们能够证明两个数之间不存在其它的数，这是否足以说明这两个数是相等的”
就是高数里面关于极限定义的ε-δ语言
记得以前学高数的时候课后就有一个要求用
ε-δ语言证明0.999…9 == 1的题目
忘记了是在课后的题里面还是吉米多维奇的数学分析习题集里面的题了。。。
所有这些方法我们初中的数学老师都说过了
这个证明维基百科是有的。我在那边看过。
至于一楼郭晓旭大牛的证明……我三年级就证明了-_-|||当时得到这个惊人的结论，没人跟我说为什么……
其实我一直以为的是
0.999……+1.0000……1=1.9999……而不是2
因为有无限位的进位……它永远也进不上来
阿奇里斯(Achilles)悖论
“ 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。 ”
—亞里士多德, 物理學 VI:9, 239b15
如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑”数学派”所代表的毕达哥拉斯的”1>0.999…, 1-0.999…>0″思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的”1=0.999…, 但1-0.999…>0″思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的”1-0.999…=0, 或1-0.999…>0″思想。
实际上我觉得0.999…可以从很多个角度去证明=1
但是我一直没有找到那些证明1的过程(总不能看上去不一样就不一样吧)
@纳米
…..后面是无穷无尽的, 1.0000000………1难道说中间的0是无穷无尽的? 那么无穷无尽后面又多了一个1, 然后又怎么是无穷无尽了?
无穷位循环小数后面的所有东西可以略去。前提是后面的东西是有限个。
这本质上不就是极限的epsilon-delta定义嘛:)
我是对3楼的说法所说的…我始终觉得三楼所说的1.000000……..001中夹着无限多个0这样的数的存在表示怀疑
世界的本质是离散的。
33L 35L正解。我就是想说这个来着
我保送面试的时候被问到这题
用求极限的方法搞定的……
0.999999…*10=9.99999..
0.999999…*100=99.9999..
两式相减
0.999999…*90=90
所以0.99999…=1
这个问题很有意义,解法很多.
但楼上几位的留言却颇见地.
额…这个有趣的问题让我回想起了我的小学数学老师章老师..
1.00000…1是有理数还是无理数？怎么证明？
我觉得它不是数……只能用来进行文学创作
以前被人质问过：用长除法表明之后肯定剩一个1阿～
0.99….
—–
1/10
9
——-
10
9
——-
1
现在明白了～
…就是lim（n－>oo)
所以
0.0…1=lim(n->oo) 10^(-n)=0
设x=0.999…, 则2x=1.999…;（即x+x=1.999…) 3x=2.999…; ….; 9x=8.999…; 10x=9.999…; 等，本质上和x=1是同类极限问题，不能通过其中某个等式来证明另一个等式。
要承认axiom of choice才有相等的结论
“如果我们能够证明两个数之间不存在其它的数，这两个数就是一个数”这个要打个问号
用数学来证明数学的确是“自洽”的 但其正确性却会被封闭 所以不妨换个角度想想
0.999…和1其实都是两个被观察对象 是独立存在的 你不能说你两个搂在一齐挤不下第三个人 你两个就是同一个人- -||
极限也只不过是数学处理罢了
denvi,你的疑问是不存在的
实数是稠密的而人不是 拿人和数来排队插队是站不住脚的
严格的证明，是那个用数的表示方面的什么东西证明了。
不但要证明10进制 中是如此，也要证明其它进制是如此
泛函还是数学分析中有
用这种方法可以证明2-0.9999….=1 又因为0.9999…=1 所以2-0.999999…=0.9999999…. 但这两个之间能插入一个数1
但这并不妨碍原命题的正确性 因为逆否命题是正确的 通过以上例子应该可以说明原命题的逆命题和否命题是错误的
光与暗の奏鸣：
任何一个学过微积分的人都应该了解，你的推广不存在。当一个无穷小的数乘以一个有理数，还是无穷小；一个无穷大的数乘以一个有理数，还是无穷大；但是，一个无穷小乘以一个无穷大，是没有意义的，因此你的无穷个0.00000…1相加是没有意义的。
另外，说 0.9999…9 和 1.0000…1 之间还存在 1，这相当于说：0.9999…9 < 1 < 1.0000…1，而这个不等式是不成立的！因为我们之前已经证明过，0.9999…9 = 1，1 = 1.0000…1。等号在数学中是绝对的！因此0.9999…9 = 1.0000…1 !!!
denvi:
正如bi9v所说，实数是稠密的，是连续的，可以无穷分割的，而人是量子化的，这二者不可类比。
哈哈，我也来扯两句。
在某种层面上，0.9999….表述的是一种“变”，1表述的是一种“定”，两者是相互依存的，没有了“定”的描述手段，便不足以表达“变”，没有了“变”的描述手段也不足以表达“定”；
这里说0.9999….“等于”1，这只涉及形式符号本身，但他和1“等于”1的“等于”所属的“范畴”是否相同呢？
这是高数上数列极限的定义：设|x[n]|为一数列，如果存在常熟a，对于任意给定的正数ε-δ（不论它多么小），总存在正整数N，使得n>N时，不等式|x[n]-a|a(n->∞)
n->∞
这里表达数列极限并没有用到“等于”这个词，而“=”这个符号也是必须和lim等连用的，这样便不至于使“等于”发生歧义了。
对此，23楼言简意骇阿
晕…发上去符号就走了样
“如果我们能够证明两个数之间不存在其它的数，这是否足以说明这两个数是相等的？”
这个是跟数域有关系的,比如自然数域就不存在这个性质.
至于稠密,是指集合的概念,假设数域X,有子集A,如果A的闭包是X,那么称A是X中稠密.比如实数域中的有理数集.
嗨 我这里也有篇类似的文章
那些列出数学公式的人们都是想证明0.9999999999…=1，从多维度、多角度去证明。
是什么力量促使你们相信0.9999999999…=1，然后背负着这个“极为热忱的相信”，花这么大力量去证明。你们真的非常清楚地认识自己的行为和它的来源么？
人类社会的进步伴随着巨大的愚蠢，所有这些行为都来源于：人总是相信愿意相信的东西
楼上
geek们都是相信事实的.
其实问题在于 0.999… 的精确定义是什么。不要说是什么0点9, 9无限循环。因为这不是一个精确的数学定义。没有定义，更无从谈相等。我唯一能想到的定义是通过无穷级数－－－定义它为那个无穷级数的极限。而这个极限等于１。
这是由区间套表示实数1时第一步选取整数为0的产物
0.9999……这是由区间套表示实数1时第一步选取整数为0的产物
实数系统中，说0.999…是无限循环小数，无线循环小数是有理数，那么有理数必然可以表示为m/n的形式，m和n都是整数。那么0.999…如何表示？而是用无穷级数的话，0.999…和1之间总差一个无穷小量。在数学上，严格意义上来说无穷小量不能被忽略。然而根据定义在实数上的加法等运算可以证明到0.999…=1。这是一个让人很尴尬的问题。
我们有理由怀疑实数公理是否完备。
恩.. funny
关于 1=1.000…..1 这个问题..
我觉得 不成立啊..
因为 这就不是循环小数
是个有限小数吧…
有限小数就和 极限扯不上了吧…
由于我们从小就见过数字、小数点、省略号，我们就以为这些东西是天生存在的，我们也就忽略了它们背后的使用规则。这样的后果就是，我们随意把这些符号进行组合，然后对这些造出来的“数字”进行讨论。可惜的是，这样生造出来的“数字”并非都是合法的！“0.9999……9”、“1.0000……1”就是一些典型的例子，这些数字在标准实数系里都是不存在的！当你学习了无限小数的定义后就会有更深刻的认识。
顺便回答下63楼的问题。在标准分析中，无穷小量这个概念已被抛弃。我们完全用不着这个概念。
1/9=0.1111111….. 循環小數的意思就是除不盡 所以這不能算是一個算式 只能算是一句概念性的陳述 這就像威尼斯商人的困擾 沒有明確的量就無法下手
所以你只要一用0.1111…..去做運算基本上就只能是個error
不会有个0.00001的差吗 有木有
如果0.999…和1不相等,则两者的算数平均值必然和这两者都不相等
(0.999…+1)/2
=1.999…/2
=0.999…
显然,只要1.999…后面的9无限添加下去,除以2后的商0.999…后面的9也会无限延伸
也就是说,0.999…和1的算数平均值与他们自身相等
因此0.999…=1
显然1.000…1这种数不存在，既然0有无穷个，那么最后那个1在哪一位？
即使1.000…1这种数存在，它也等于n趋向于无穷大时1+1/10^n的极限。它显然等于1，所以0.999…=1.000…1，不能武断地说它是错的。
况且1.000…1根本不存在呢？
显然1.000…1这种数不存在，0都有无穷个了，后面的1在哪一位？
即使存在，它也是n→∞时1+1/10^n的极限，它等于1
所以0.999…=1.000…1，是正确的，不能像地板那样说它是错误的吧……
况且1.000…1最后的1根本不可能存在。
对于一个函数，f(x),f(x)在x=1时是断点，那么可知f'(1)不存在。如果1=0.999..那么f'(.999)也不存在？明显是错的
74L说的有问题
博主讨论的是0.99999极限是1
而你说的是函数的左右导数问题，我绝对更严谨的应该说0.99999…..是1-，无限接近于1，而且函数在x=1的左右导数存在与否还真不好说
“如果我们能够证明两个数之间不存在其它的数，这是否足以说明这两个数是相等的？”
是实数系和有理数系等的特性,整数就不行,说数有点笼统了
1.000…1这种数不存在，既然0有无穷个，那么最后那个1在哪一位？
即使1.000…1这种数存在，它也等于n趋向于无穷大时1+1/10^n的极限。它显然等于1，所以0.999…=1.000…1，不能武断地说它是错的。
况且1.000…1根本不存在呢？
无穷小数 不是不适合加减乘除四则运算的吗？
能用 10x-x 这个模式来证明？
实际上0.999…可以不等于1. 两者相差一个超实数, 也算过得去. 两者相等实际上依赖一个定理: 如果有一个非负数小于一切正数, 那么这个数只能是0. 再来, 实数的定义实际上来源于几何概念, 就是直线上的点. 所以从几何可以证明, 无法再插入这样的点了, 也就证明了实数的完备性.
这个问题看上去很简单, 实际上涉及实数的定义, 而定义的根源来自于直觉. 从形式上来讲, 两者显然是不等的. 这是实数表示的不完备. 所以我们信赖的小数四则运算法则是有很大缺陷的, 所运算出来的循环小数实际都是没有除干净的, 所谓无限小数其实不是真正的无限, 只是一种近似. 反映了我们教育中的一知半解现象.
0.9循环是否属于开区间（0,1）？显然1不属于，那么如果0.9循环属于，就说明二者不相等咯？
我觉得0.999999……≠1，上面有证“ 下面这个说法更具有说服力一些。令x=0.9999….，于是10x就等于9.9999….，两者相减可得9x=9，我们立即看出x实际上就等于1。”但是10x=9.9999……0，就是无论x=0.9999……小数点后有多少个9,10x都要在它后面加个0，所以10x-x=9x≠9，所以0.9999……≠1（以上只是个人意见，仅供参考O(∩_∩)O~）
首先我们的知道加减乘除，小数，十进制等的严格数学定义。
還可以這樣說0.999999…和1之問沒有其他數所以是成立的
0.99999…＜a<1 9和0之間没有数字。所以 数値a是不存在的。0.99999…=1