二分图最大匹配的König定理及其证明

    如果你看不清楚第二个字母,下面有一个大号字体版本:

二分图最大匹配的König定理及其证明

    本文将是这一系列里最短的一篇,因为我只打算把König定理证了,其它的废话一概没有。
    以下五个问题我可能会在以后的文章里说,如果你现在很想知道的话,网上去找找答案:
    1. 什么是二分图;
    2. 什么是二分图的匹配;
    3. 什么是匈牙利算法;(http://www.matrix67.com/blog/article.asp?id=41)
    4. König定理证到了有什么用;
    5. 为什么o上面有两个点。

    König定理是一个二分图中很重要的定理,它的意思是,一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。如果你还不知道什么是最小点覆盖,我也在这里说一下:假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边,你需要选择最少的点来覆盖所有的边。比如,下面这个图中的最大匹配和最小点覆盖已分别用蓝色和红色标注。它们都等于3。这个定理相信大多数人都知道,但是网络上给出的证明并不多见。有一些网上常见的“证明”明显是错误的。因此,我在这里写一下这个定理的证明,希望对大家有所帮助。

    假如我们已经通过匈牙利算法求出了最大匹配(假设它等于M),下面给出的方法可以告诉我们,选哪M个点可以覆盖所有的边。
    匈牙利算法需要我们从右边的某个没有匹配的点,走出一条使得“一条没被匹配、一条已经匹配过,再下一条又没匹配这样交替地出现”的路(交错轨,增广路)。但是,现在我们已经找到了最大匹配,已经不存在这样的路了。换句话说,我们能寻找到很多可能的增广路,但最后都以找不到“终点是还没有匹配过的点”而失败。我们给所有这样的点打上记号:从右边的所有没有匹配过的点出发,按照增广路的“交替出现”的要求可以走到的所有点(最后走出的路径是很多条不完整的增广路)。那么这些点组成了最小覆盖点集:右边所有没有打上记号的点,加上左边已经有记号的点。看图,右图中展示了两条这样的路径,标记了一共6个点(用 “√”表示)。那么,用红色圈起来的三个点就是我们的最小覆盖点集。
    首先,为什么这样得到的点集点的个数恰好有M个呢?答案很简单,因为每个点都是某个匹配边的其中一个端点。如果右边的哪个点是没有匹配过的,那么它早就当成起点被标记了;如果左边的哪个点是没有匹配过的,那就走不到它那里去(否则就找到了一条完整的增广路)。而一个匹配边又不可能左端点是标记了的,同时右端点是没标记的(不然的话右边的点就可以经过这条边到达了)。因此,最后我们圈起来的点与匹配边一一对应。
    其次,为什么这样得到的点集可以覆盖所有的边呢?答案同样简单。不可能存在某一条边,它的左端点是没有标记的,而右端点是有标记的。原因如下:如果这条边不属于我们的匹配边,那么左端点就可以通过这条边到达(从而得到标记);如果这条边属于我们的匹配边,那么右端点不可能是一条路径的起点,于是它的标记只能是从这条边的左端点过来的(想想匹配的定义),左端点就应该有标记。
    最后,为什么这是最小的点覆盖集呢?这当然是最小的,不可能有比M还小的点覆盖集了,因为要覆盖这M条匹配边至少就需要M个点(再次回到匹配的定义)。
    证完了。
  
Matrix67原创
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59 条评论

  • 袁哲

    这就是König定理?

    回复:是的

  • fearlessxjdx

    color_wolf~[muteness]

    回复:发错地方了?

  • tjbwyk

    [loo]
    大牛啊
    这三段读起来有点晕乎
    看不出来和要证明的内容有啥关系~
    能…再解释一下么?(感觉越想越复杂)

        首先,为什么这样得到的点集点的个数恰好有M个呢?答案很简单,因为每个点都是某个匹配边的其中一个端点。如果右边的哪个点是没有匹配过的,那么它早就当成起点被标记了;如果左边的哪个点是没有匹配过的,那就走不到它那里去(否则就找到了一条完整的增广路)。而一个匹配边又不可能左端点是标记了的,同时右端点是没标记的(不然的话右边的点就可以经过这条边到达了)。因此,最后我们圈起来的点与匹配边一一对应。

  • wolf

    不明,能不能详细点说怎么得到最小点覆盖的点集,上边说标志那块不明。。。

    如果你有时间,能不能指点一下,发我邮箱最好了。。。

  • love19960108

    大牛我就是那个芜湖3中的小垃圾请教下König定理能不能写详细点儿

  • wolf

    我是婊子

  • biran0079

    你证明了选出的是点覆盖,你证明了选出点的数量和最小二分匹配一样,不过你貌似没说明为啥这个是最小的点覆盖

  • 新手卡

    呵呵,高大哥大哥

  • 恩恩

    这样每次求出来 都只是一种可能性 ?

  • 大傻瓜

    什么东西?看都看不懂。

  • 冷香

    我也表示看了好多次都晕的

  • mingrimingyue

    Ooooooooooooooooooorz,写的很清楚啊,怎么会看不懂,这里谢过

  • bugthink

    写得真好,这个定理让我可以求minimum vertex cover了。这几天,苦于只知道|maximum matching|=|minimum vertex cover|(in bipartite graph),而不知道如何由M求vertex cover. 3ks~ :)

  • 我也在搜集konig定理的证明方法?能否把你收集到的几种证明方法分享一下?

    我也在找konig定理的证明,能否把你已有的几种证明分享一下?

  • ludi

    佩服 您的标记法,

    请问这个方法还有没有别的经典例子?

  • vaporfogy

    膜拜lz…终于弄懂了konig

  • ray

    Thanks a lot

  • power

    3个点4条边
    1 1
    1 3
    2 2
    3 2
    这个不能按照上面的过程构造最小点覆盖集?

  • power

    无视我刚才写的吧,脑残了。。。

  • pondering

    说的很直观呐,结合严格证明看很好

  • zhzhzoo

    为什么不用最大流最小割定理证呢?

  • Alexa

    我有种更直观的证法,可以添加源汇将二分图模型转化为网络流模型(边容量均为1),一个最小覆盖集必然对应该网络的一个最小割,一个最大匹配必然对应一个最大流,又因为最大流=最小割,所以最小覆盖集=最大匹配数。

    • lance6716

      > 一个最小覆盖集必然对应该网络的一个最小割
      这个是怎么对应的

  • bobo

    这个证明不太全面吧?
    如果两边都只有一个顶点呢?
    那么你根本无法按照你的方法开始,因为没有符合你的开始条件(就是没有匹配的点),

    • GKxx

      那就不用开始啊,没有任何点被标记。最终左边被标记的点和右边没被标记的点就是最小覆盖,没有问题啊

  • jiunan

    谢谢呢。

  • qirenrui

    我还知道一个证明

    ac最小点覆盖mt最大匹配

    二部图ac=mt
    mt每线有一ac,所以ac>=mt
    (保证ac不变)删线到头,下证此图无邻线
    若有,设为a-x,a-y
    删a-x边时ac减小(显然减一),设这个线覆盖为c_1,显然c_1不包含a,x(否则添回去)
    删a-y边时ac减小(显然减一),设这个线覆盖为c_2,显然c_2不包含a,y(否则添回去)
    显然|c_1|=|c_2|,考虑原图。
    对于所有非a-x,a-y的线,这上面有c_1与c_2中的点
    如果每端没有全部的,那就是一个c_1一个c_2
    c_1与c_2各自独立的部分覆盖上行说的线的两端,再添上a就又覆盖a-x,a-y的两端
    c_1,c_2各自独立的部分在两边的一样多(去掉共同的交)。n个点在二部图里,有至多[n/2]个点在某一端(就是二部图的第一二点集)
    这些点总有一端不超过|c_1|-∩.但哪一端都能覆盖。
    别忘了还有某一端同时有c_1,c_2里点的线,这些可以被∩覆盖
    而ac-1=|c_1|=|c_1|-∩+∩>=ac,矛盾
    没有两线相邻时,点覆盖数=匹配,添线后ac不变,mt不减,所以ac<=mt,证毕
    顺带得到结论:任一二部图存在一匹配与点覆盖,包含之

  • megalo

    本人小菜,最近在看组合矩阵论。我想请问一下,这个最大匹配书和最小点覆盖数是不是等于这个矩阵的秩

  • wotok

    哇, 证明的很好。蟹蟹。

  • twt727

    这个证明的意思是不是,选出来的点集收集了三种边:左右都有标记的,左右都无标记的,左边有标记右边无标记的。同时不存在右边有标记左边无标记的这种边,所以,选出来的点连接了所有的边。

  • gzez 光头强

    厉害厉害
    这是我看过最厉害的博客

  • gzez 光头强

    厉害厉害
    这是我看过最厉害的博客
    蟹蟹

  • panda_2134

    太强了,谢谢博主!

  • ylsoi

    写得太好了,谢谢

  • GKxx

    怎么会看不懂呢,看不懂是你没有静下心来看。我觉得这个证明非常到位、精彩了。

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