二分图最大匹配的König定理及其证明
icon2 Program Impossible | icon4 2006-12-02 21:00| icon328 Comments | 本文内容遵从CC版权协议 转载请注明出自matrix67.com

    如果你看不清楚第二个字母，下面有一个大号字体版本：

二分图最大匹配的König定理及其证明

    本文将是这一系列里最短的一篇，因为我只打算把König定理证了，其它的废话一概没有。
    以下五个问题我可能会在以后的文章里说，如果你现在很想知道的话，网上去找找答案：
    1. 什么是二分图；
    2. 什么是二分图的匹配；
    3. 什么是匈牙利算法；(http://www.matrix67.com/blog/article.asp?id=41)
    4. König定理证到了有什么用；
    5. 为什么o上面有两个点。

    König定理是一个二分图中很重要的定理，它的意思是，一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。如果你还不知道什么是最小点覆盖，我也在这里说一下：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖所有的边。比如，下面这个图中的最大匹配和最小点覆盖已分别用蓝色和红色标注。它们都等于3。这个定理相信大多数人都知道，但是网络上给出的证明并不多见。有一些网上常见的“证明”明显是错误的。因此，我在这里写一下这个定理的证明，希望对大家有所帮助。



    假如我们已经通过匈牙利算法求出了最大匹配（假设它等于M），下面给出的方法可以告诉我们，选哪M个点可以覆盖所有的边。
    匈牙利算法需要我们从右边的某个没有匹配的点，走出一条使得“一条没被匹配、一条已经匹配过，再下一条又没匹配这样交替地出现”的路（交错轨，增广路）。但是，现在我们已经找到了最大匹配，已经不存在这样的路了。换句话说，我们能寻找到很多可能的增广路，但最后都以找不到“终点是还没有匹配过的点”而失败。我们给所有这样的点打上记号：从右边的所有没有匹配过的点出发，按照增广路的“交替出现”的要求可以走到的所有点（最后走出的路径是很多条不完整的增广路）。那么这些点组成了最小覆盖点集：右边所有没有打上记号的点，加上左边已经有记号的点。看图，右图中展示了两条这样的路径，标记了一共6个点（用 “√”表示）。那么，用红色圈起来的三个点就是我们的最小覆盖点集。
    首先，为什么这样得到的点集点的个数恰好有M个呢？答案很简单，因为每个点都是某个匹配边的其中一个端点。如果右边的哪个点是没有匹配过的，那么它早就当成起点被标记了；如果左边的哪个点是没有匹配过的，那就走不到它那里去（否则就找到了一条完整的增广路）。而一个匹配边又不可能左端点是标记了的，同时右端点是没标记的（不然的话右边的点就可以经过这条边到达了）。因此，最后我们圈起来的点与匹配边一一对应。
    其次，为什么这样得到的点集可以覆盖所有的边呢？答案同样简单。不可能存在某一条边，它的左端点是没有标记的，而右端点是有标记的。原因如下：如果这条边不属于我们的匹配边，那么左端点就可以通过这条边到达（从而得到标记）；如果这条边属于我们的匹配边，那么右端点不可能是一条路径的起点，于是它的标记只能是从这条边的左端点过来的（想想匹配的定义），左端点就应该有标记。
    最后，为什么这是最小的点覆盖集呢？这当然是最小的，不可能有比M还小的点覆盖集了，因为要覆盖这M条匹配边至少就需要M个点（再次回到匹配的定义）。
    证完了。
  
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28 条回复

  • 楼层: 沙发 | 2007-02-02 20:10 | 袁哲 说：

    这就是König定理?

    回复：是的

  • 楼层: 板凳 | 2007-04-15 19:53 | fearlessxjdx 说：

    color_wolf~[muteness]

    回复：发错地方了？

  • 楼层: 地毯 | 2007-12-25 21:50 | tjbwyk 说：

    [loo]
    大牛啊
    这三段读起来有点晕乎
    看不出来和要证明的内容有啥关系~
    能...再解释一下么?(感觉越想越复杂)

        首先，为什么这样得到的点集点的个数恰好有M个呢？答案很简单，因为每个点都是某个匹配边的其中一个端点。如果右边的哪个点是没有匹配过的，那么它早就当成起点被标记了；如果左边的哪个点是没有匹配过的，那就走不到它那里去（否则就找到了一条完整的增广路）。而一个匹配边又不可能左端点是标记了的，同时右端点是没标记的（不然的话右边的点就可以经过这条边到达了）。因此，最后我们圈起来的点与匹配边一一对应。

  • 楼层: 地板 | 2008-11-01 14:03 | wolf 说：

    不明，能不能详细点说怎么得到最小点覆盖的点集，上边说标志那块不明。。。

    如果你有时间，能不能指点一下，发我邮箱最好了。。。

  • 楼层: 地下室 | 2009-10-19 20:43 | love19960108 说：

    大牛我就是那个芜湖3中的小垃圾请教下König定理能不能写详细点儿

  • 楼层: 地基 | 2009-11-12 19:35 | wolf 说：

    我是婊子

  • 楼层: 地壳 | 2010-01-03 18:58 | biran0079 说：

    你证明了选出的是点覆盖，你证明了选出点的数量和最小二分匹配一样，不过你貌似没说明为啥这个是最小的点覆盖

  • 楼层: 地幔 | 2010-05-07 10:37 | 新手卡 说：

    呵呵，高大哥大哥

  • 楼层: 地核 | 2010-07-16 10:38 | 恩恩 说：

    这样每次求出来 都只是一种可能性 ？

  • 楼层: 10楼 | 2010-08-05 16:59 | 大傻瓜 说：

    什么东西？看都看不懂。

  • 楼层: 11楼 | 2010-08-21 19:38 | 冷香 说：

    我也表示看了好多次都晕的

  • 楼层: 12楼 | 2010-11-13 8:42 | mingrimingyue 说：

    Ooooooooooooooooooorz，写的很清楚啊，怎么会看不懂，这里谢过

  • 楼层: 12a楼 | 2010-11-19 16:17 | bugthink 说：

    写得真好，这个定理让我可以求minimum vertex cover了。这几天，苦于只知道|maximum matching|=|minimum vertex cover|(in bipartite graph)，而不知道如何由M求vertex cover. 3ks~ :)

  • 楼层: 14楼 | 2010-12-09 8:32 | [ACM] POJ 2594 求有向图(允许路径重叠的)最小路径覆盖, Floyd + 匈牙利算法 « 成为酱油面的决心 说：

    [...] 而最小覆盖数 == 节点数 – 最大匹配数 为什么呢, 数学归纳一下, 匹配数为0时显然 最小覆盖数 == 节点数, 然后有一个二分图匹配就能把两个覆盖路径合二为一, 很简单. 具体的在ufo008ahw这里有所说明 扩展阅读Matrix67牛有一篇文章介绍了二分图最大匹配的König定理及其证明 [...]

  • 楼层: 15楼 | 2010-12-09 18:24 | 我也在搜集konig定理的证明方法?能否把你收集到的几种证明方法分享一下? 说：

    我也在找konig定理的证明,能否把你已有的几种证明分享一下?

  • 楼层: 16楼 | 2010-12-17 0:27 | ludi 说：

    佩服 您的标记法，

    请问这个方法还有没有别的经典例子？

  • 楼层: 17楼 | 2010-12-19 10:02 | vaporfogy 说：

    膜拜lz...终于弄懂了konig

  • 楼层: 18楼 | 2011-03-19 10:07 | ray 说：

    Thanks a lot

  • 楼层: 19楼 | 2011-04-10 11:40 | Abyss » Blog Archive » DAG最小路径覆盖 转化为 二分图最大匹配 König定理 说：

    [...] 关于二分图最大匹配的König定理证明，可以看M67的Blog：二分图最大匹配的König定理及其证明 [...]

  • 楼层: 20楼 | 2011-07-06 17:42 | acmj1991 » Blog Archive » 二分图最大匹配的König定理及其证明【转载】 说：

    [...] http://www.matrix67.com/blog/archives/116 如果你看不清楚第二个字母，下面有一个大号字体版本： [...]

  • 楼层: 21楼 | 2011-07-14 16:15 | 二分匹配小结 | 酷~行天下 说：

    [...] 3、最小顶点覆盖 = 最大匹配数 最小顶点覆盖：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖所有的边。 我的理解：每条边代表一个关系，最小顶点覆盖就是，用最少得关键点（看题目设置）来满足全部的关系，典型例题：HDU 3360 Matrix67大神的讲解：http://www.matrix67.com/blog/archives/116 [...]

  • 楼层: 22楼 | 2011-08-14 21:29 | power 说：

    3个点4条边
    1 1
    1 3
    2 2
    3 2
    这个不能按照上面的过程构造最小点覆盖集？

  • 楼层: 23楼 | 2011-08-14 22:08 | power 说：

    无视我刚才写的吧，脑残了。。。

  • 楼层: 24楼 | 2011-08-20 10:51 | pondering 说：

    说的很直观呐，结合严格证明看很好

  • 楼层: 25楼 | 2011-08-25 17:08 | 转：二分图最大匹配的König定理及其证明 « ☆零☆|coderling 说：

    [...] 来自:matrix67blog  [...]

  • 楼层: 26楼 | 2011-09-03 21:54 | zhzhzoo 说：

    为什么不用最大流最小割定理证呢？

  • 楼层: 27楼 | 2011-09-04 3:03 | König定理及证明 - KooTaiN - 说：

    [...] about me 隐藏侧边栏 $("#home-loading div").animate({width:"300px"}) König定理及证明 2011.08.16 / 标签: konig定理,算法 / 分类: Algorithm kootain König定理的内容是，一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。看过Matrix67大牛的证明后感觉证的很累赘，于是自己写一个。与最大匹配相关的东西可以在这里看到。 [...]

  • 楼层: 28楼 | 2011-10-12 14:18 | 二分图最大匹配的König定理及其证明 说：

    [...] 文章转载自Matrix67神人的博客 [...]

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