矩阵乘法 的搜索结果

十个利用矩阵乘法解决的经典题目

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    好像目前还没有这方面题目的总结。这几天连续看到四个问这类题目的人，今天在这里简单写一下。这里我们不介绍其它有关矩阵的知识，只介绍矩阵乘法和相关性质。    不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。在数学中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。其中，结果的那个4等于2*2+0*1：         下面的算式则是一个1 x 3的矩阵乘以3 x 2的矩阵，得到一个1 x 2的矩阵：         矩阵乘法的两个重要性质：一，矩阵乘法不满足交换律；二，矩阵乘法满足结合律。为什么矩阵乘法不满足交换律呢？废话，交换过来后两个矩阵有可能根本不能相乘。为什么它又满足结合律呢？仔细想想你会发现这也是废话。假设你有三个矩阵A、B、C，那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和（枚举所有的k和l）。 经典题目1 给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转    这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。     经典题目2 给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都mod p。    由于矩阵乘法具有结合律，因此A^4 = A * A * A * A = (A*A) * (A*A) = A^2 * A^2。我们可以得到这样的结论：当n为偶数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2)；当n为奇数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2) * A （其中n/2取整）。这就告诉我们，计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。例如，为了算出A^25的值，我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。根据这里的一些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免高精度运算。 经典题目3 POJ3233 (感谢rmq)    题目大意：给定矩阵A，求A + A^2 + A^3 + … + A^k的结果（两个矩阵相加就是对应位置分别相加）。输出的数据mod m。k<=10^9。    这道题两次二分，相当经典。首先我们知道，A^i可以二分求出。然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。比如，当k=6时，有：    A + A^2 […]

线性代数的妙用：怎样在Windows画图软件中实现28度旋转？

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    在早期的小型图像编辑软件中，考虑到时间空间的限制，再加上算法本身的难度，很多看似非常简单的功能都无法实现。比如说，很多图像编辑软件只允许用户把所选的内容旋转 90 度、 180 度或者 270 度，不支持任意度数的旋转。毕竟，如果我们只是旋转 90 度的整数倍，那么所有像素仅仅是在做某些有规律的轮换，这甚至不需要额外的内存空间就能完成。但是，如果旋转别的度数，那么在采样和反锯齿等方面都将会有不小的挑战。     不过， Windows 自带的画图软件聪明地用 skew 功能（中文版翻译成“扭曲”）部分地填补了无法自由变形的缺陷。随便选中图中的一块区域，再在菜单栏上选择“图像”→“拉伸/扭曲”，然后在“水平扭曲”那儿填写一个 -89 到 89 之间的整数（表示一个角度值），再按一下确定，于是整个图形就会像下图所示的那样被拉斜，其中 θ 就是你刚才填的度数。如果你填入的 θ 是负数值，则倾斜的方向会与下图方向相反。类似地，“垂直扭曲”功能会在竖直方向上对图形进行拉扯，如果角度值为正数，则整个图形会变得左低右高，如果角度值为负数，则整个图形会变得左高右低。            不过，这玩意儿对于我们来说似乎完全没用。估计 99% 的人在使用画图软件的时候就从来没用过这个功能吧。如果真是这样，那么今天的问题恐怕将会是大家最近一段时间见过的最有趣的问题了：想办法利用 Windows 画图中的扭曲功能（近似地）实现 28 度旋转。

随记：我们需要怎样的数学教育？

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    注：这篇文章里有很多个人观点，带有极强的主观色彩。其中一些思想不见得是正确的，有一些话也是我没有资格说的。我只是想和大家分享一下自己的一些想法。大家记得保留自己的见解。也请大家转载时保留这段话。     我不是一个数学家。我甚至连数学专业的人都不是。我是一个纯粹打酱油的数学爱好者，只是比一般的爱好者更加执着，更加疯狂罢了。初中、高中一路保送，大学不在数学专业，这让我可以不以考试为目的地学习自己感兴趣的数学知识，让我对数学有如此浓厚的兴趣。从 05 年建立这个 Blog 以来，每看到一个惊人的结论或者美妙的证明，我再忙都会花时间把它记录下来，生怕自己忘掉。不过，我深知，这些令人拍案叫绝的雕虫小技其实根本谈不上数学之美，数学真正博大精深的思想我恐怕还不曾有半点体会。     我多次跟人说起，我的人生理想就是，希望有一天能学完数学中的各个分支，然后站在一个至高点，俯瞰整个数学领域，真正体会到数学之美。但是，想要实现这一点是很困难的。最大的困难就是缺少一个学习数学的途径。看课本？这就是我今天想说的——课本极其不靠谱。

记09年北大ACM校内赛

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    大学生活混起来很快，不知不觉又是一年过去了。去年5月10日的ACM校内赛给我留下了许多美好的回忆，因此今年我主动去报了名（上次是被人给拖去的）。今年有点装怪，题目数量不变，但时间缩短为4个小时。原计划是从8:00做到12:00，结果可能是因为我们所在的7号机房迟迟没有开门，时间临时改成了8:15到12:15。总的来说，今年的题目比去年要糟糕得多，但也不乏一些精彩的题目。     和去年一样，第一题依旧是所有题目中最科学的一道。题目给定一个不超过2000*2000的网格，你在最左下角的位置（即(0,0)点），你的目的地在(x,y)。要求你的路线不得经过同一个交叉点两次，且不允许左转（题目背景让这个条件顺理成章：街道靠右行，左转不方便），问合法的路线共有多少种。题目难点就是你不一定要走最近的路，完全允许你绕上一大圈；这破坏了有序性，很难构造出递推公式或动态规划模型。稍微画一下图，我们发现了一些显然但很有启发性的规律：每一次右转后，你左手边方向的所有区域都不能再走了，这很可能产生出规模更小的子问题来。另外，所有合法路线必然是有如螺旋线一样的一圈一圈绕着终点走，这种隐藏的有序性也为动态规划提供了可能。但顺着这个思路想下去屡屡碰壁，我猜不少队伍都卡在这儿了吧。       后来我完全打翻前面的全部思路，猛然想到了一个具有决定意义的想法：街道的选取唯一地决定了整个路线。例如，假设我想计算转弯恰好11次的路线有多少条。这样的路线一定含有三条向上走的路、三条向右走的路、三条向下走的路和三条向左走的路。除去第一条路和最后一条路的位置都是确定的，其它的路选在哪一行或者哪一列唯一地决定了整个路线。因此，我们可以用排列组合直接计算出答案来。向上走的路是五选二，向右走的路是七选三，向下走的路是四选三，向左走的路是三选二。把它们各自的选取方案数乘起来就得到了拐弯11次的合法路径。于是，计算所有的路线数只需要从小到大枚举拐弯的次数，每一次计算都是常数的，总复杂度是O(n)的；整个算法的瓶颈反倒是O(n^2)的组合数预处理，不过这个复杂度完全可以承受。