（一）一个博弈游戏
让我们来玩一个游戏。下面有五行石子，白色的石子都是我的，黑色的石子都是你的。我们轮流拿走一个自己的石子，并且规定如果一个石子被拿走了，它后面的所有石子都要被扔掉。谁先没有拿的了，谁就输了。
○●●○●●○●●○
●○○●○●●○●
○○○○
●●●○●●●
●
抽象代数
寻找相邻两项之比不趋于 1.618 的广义 Fibonacci 数列
大家或许知道 Fibonacci 数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, … 有一个非常漂亮的性质：数列中的相邻两项之比将会越来越接近黄金比例 (1 + √5) / 2 ≈ 1.618 。事实上，如果我们用 F(n) 来表示第 n 个 Fibonacci 数的话，那么当 n → ∞ 时，我们有 F(n + 1) / F(n) → (1 + √5) / 2 。
不过，可能有人并不知道，如果把 Fibonacci 数列的前两项换成两个其他的正整数（但保持 Fibonacci 数列的递推关系不变），由此所得的广义 Fibonacci 数列当中，相邻两项之比仍然会趋近于 (1 + √5) / 2 。比方说，如果数列的前两项为 7, 2 ，那么整个数列的前 15 项以及相邻两项之比的情况如下：
7, 2, 9, 11, 20, 31, 51, 82, 133, 215, 348, 563, 911, 1474, 2385, …
2 / 7 = 0.28571429…
9 / 2 = 4.5
11 / 9 = 1.2222222…
20 / 11 = 1.8181818…
31 / 20 = 1.55
51 / 31 = 1.6451613…
82 / 51 = 1.6078431…
133 / 82 = 1.6219512…
215 / 133 = 1.6165414…
348 / 215 = 1.6186047…
563 / 348 = 1.6178161…
911 / 563 = 1.6181172…
1474 / 911 = 1.6180022…
2385 / 1474 = 1.6180461…
更神奇的是，即使最前面这两个数当中有一个负数或者都是负数，相邻两项之比的趋势依旧不变！举个例子，若数列的开头两项是 20 和 -13 ，则有：
20, -13, 7, -6, 1, -5, -4, -9, -13, -22, -35, -57, -92, -149, -241, …
(-13) / 20 = -0.65
7 / (-13) = -0.53846154
(-6) / 7 = -0.85714286
1 / (-6) = -0.16666667
(-5) / 1 = -5
(-4) / (-5) = 0.8
(-9) / (-4) = 2.25
(-13) / (-9) = 1.4444444
(-22) / (-13) = 1.6923077
(-35) / (-22) = 1.5909091
(-57) / (-35) = 1.6285714
(-92) / (-57) = 1.6140351
(-149) / (-92) = 1.6195652
(-241) / (-149) = 1.6174497
事实上，不管数列的开头两项是多么奇怪的两个实数（比如 -7/2, √2, … 或者 π/10, -√e, … 等等），按照 Fibonacci 式的递推关系算出后面各项，相邻两项之比几乎总会趋于 (1 + √5) / 2 ！注意，刚才我们使用了“几乎”一词，因为这个结论其实并不总是成立。今天的题目就是：请你找出至少一个反例。也就是说，你需要找出至少一个由递推关系 a(i) = a(i – 1) + a(i – 2) 生成的数列，使得当 n 趋于无穷大时 a(n + 1) / a(n) 并不趋于 (1 + √5) / 2 。
对了， 0, 0, 0, 0, 0, … 这种情况自然不算。
Which Way Did the Bicycle Go 趣题选（中）
14. 有意思的是，在数学历史上，一些很简单的结论竟然几百年来都未曾发现。直到 1977 年， Paul Erdős 和 George Szekeres 才发现，除了两头的 1 以外，杨辉三角同一行内的任意两个数都有公因数。证明这个结论。
答案：只需要注意到， a 乘以一个比 b 小的数之后还能成为 b 的倍数，这说明 a 和 b 一定有公因数。不妨设 0 < i < j < n ，则 C(j, i) < C(n, i) 。我们的命题可以由下述关系直接推出。 C(n, j) · C(j, i) = n! / (j! (n - j)!) · j! / (i! (j - i)!) = n! / (i! (n - j)! (j - i)!) = n! / (i! (n - i)!) · (n - i)! / ((j - i)! (n - j)!) = C(n, i) · C(n-i, j-i)
有限域的二次剩余与x^2+y^2=c的解的个数
上个月的UyHiP谜题涉及到一些抽象代数的东西：考虑一个有f个元素的有限域，其中c是有限域中的一个元素。试求x^2+y^2=c有多少个解。你的答案应该是一个关于f和c的函数。
有趣的是，对所有c≠0的情况，x^2+y^2=c的解的个数与c都是无关的。事实上，方程解的个数只与f模4的余数和c是否为零元有关。具体地说：
| c = 0 | c ≠ 0 | |
| f mod 4 = 0 或 2 | f | f |
| f mod 4 = 1 | 2f – 1 | f – 1 |
| f mod 4 = 3 | 1 | f + 1 |