今天，我们将从一系列公理开始，从自然数的产生一直说到实数理论的完善。你或许会对数学的“科学性”有一个新的认识。注意，本文的很大一部分内容并非直接来源《什么是数学》，这篇文章可以看作是《什么是数学》中有关章节的一个扩展。

    自然数是数学界中最自然的数，它用来描述物体的个数，再抽象一些就是集合的元素个数。在人类文明的最早期，人们就已经很自然地用到了自然数。可以说，自然数是天然产生的，其余的一切都是从自然数出发慢慢扩展演变出来的。数学家Kronecker曾说过，上帝创造了自然数，其余的一切皆是人的劳作。 (God made the natural numbers; all else is the work of man.)
    随着一些数学理论的发展，我们迫切地希望对自然数本身有一个数学描述。从逻辑上看，到底什么是自然数呢？历史上对自然数的数学描述有过很多的尝试。数学家Giuseppe Peano提出了一系列用于构造自然数算术体系的公理，称为Peano公理。Peano公理认为，自然数是一堆满足以下五个条件的符号：
   1. 0是一个自然数；
   2. 每个自然数a都有一个后继自然数，记作S(a)；
   3. 不存在后继为0的自然数；
   4. 不同的自然数有不同的后继。即若a≠b，则S(a)≠S(b)；
   5. 如果一个自然数集合S包含0，并且集合中每一个数的后继仍在集合S中，则所有自然数都在集合S中。（这保证了数学归纳法的正确性）

    形象地说，这五条公理规定了自然数是一个以0开头的单向有序链表。
    自然数的加法和乘法可以简单地使用递归的方法来定义，即对任意一个自然数a，有：
a + 0 = a
a + S(b) = S(a+b)
a · 0 = 0
a · S(b) = a + (a·b)

    其它运算可以借助加法和乘法来定义。例如，减法就是加法的逆运算，除法就是乘法的逆运算，“a≤b”的意思就是存在一个自然数c使得a+c=b。交换律、结合率和分配率这几个基本性质也可以从上面的定义出发推导出来。
    Peano公理提出后，多数人认为这足以定义出自然数的运算，但Poincaré等人却开始质疑Peano算术体系的相容性：是否有可能从这些定义出发，经过一系列严格的数学推导，最后得出0=1之类的荒谬结论？如果一系列公理可以推导出两个互相矛盾的命题，我们就说这个公理体系是不相容的。Hilbert的23个问题中的第二个问题就是问，能否证明Peano算术体系是相容的。这个问题至今仍有争议。

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来源：http://space.mit.edu/home/tegmark/toe.gif

    无穷个囚犯面向数轴的正方向依次就座，第i个囚犯坐在数轴上坐标为i的地方，他可以看见所有坐标大于i的囚犯头顶上的帽子。看守给每个囚犯戴上黑色或白色的帽子，然后依次叫每个囚犯猜测自己头上的帽子颜色，猜对了的予以释放。另外一点和原来不同的是，囚犯们不能听到其他人的猜测。另外注意到，由于每个人前面都有无穷多个人，因此囚犯们无法通过数他前面的人数来判断出自己的位置，于是我们不得不加上一句：每个人都知道他后面有多少人（即他是第几个被问的）。同样地，事先所有囚犯可以商量出一个策略。你认为这下囚犯们还有什么好办法没？
    这下囚犯已经不能通过自己的猜测来通风报信了，似乎每个人都只能瞎猜，任何人都无法保证自己能猜对。你相信吗，居然有这样的策略，它可以保证除了有限个囚犯之外，其他囚犯全部释放！
    考虑所有可能的颜色序列（你可以简单地想像成01串）。我们说两个颜色序列“无穷远相等”，如果经过了有限多项之后，余下的无穷多项完全相同（即存在某个数x，使得两个串在各自的第x位后面完全重合）。这种关系显然满足自反性、对称性和传递性，是一种等价关系。因此，按照这种有限位后对应相等的关系，我们可以把所有可能的颜色序列划分为一个个等价类。它们的交集为空（两个等价类如果有交集，由传递性它们立即并成了一个更大的等价类），并集为全集（若某序列不属于任何等价类，则它自己就是一个新的等价类），是全集的一个划分。你能想象出一个等价类大致是什么样子的吗？假如把同一个等价类里的所有序列对齐并排放在一起，你从前往后走过去的时候会发现这些序列“越来越相像”。你走得越远，你会发现越来越多的序列开始变得互相重合；当你走到无穷远时，所有的序列都变成一个样了。
    囚犯们事先在每一个等价类中选一个代表元，然后把所有等价类的代表元背下来。到时候，每个人都能够看到他前面无穷多个人的帽子颜色，并且知道他自己在整个序列的位置，于是能立即判断出他们现在所处的颜色序列在哪个等价类里。接下来，他们只需要按照事先背好的代表元来猜就行了。由“无穷远相等”的定义，经过有限次猜测后最终这个代表元会和他们所处的序列重合，于是除了前面有限多个人以外，以后无穷多个人都可以保证猜对。

    你是否觉得这种“策略”很不合理，虽然从逻辑上看每一步推理都是无懈可击的？有人认为，这是选择公理带来的悖论。选择公理是说，给你一系列的集合（可能有无穷多个），那么我们总可以在每一个集合里取出一个元素来。这并不是显然正确的。你不可以依次考虑每个集合，从里面随便取出一个元素来，因为集合个数有可能无穷多个（甚至不可数），这样的操作将永无止境，不允许出现在数学推理过程中。我们需要定义一套系统，使得它对于给定的每一个集合都适用，这样我们就可以“一下子”处理完所有的集合。换句话说，对于一组数量任意多的集合，我们需要定义一个函数f，使得对其中任一集合S，f(S)为S里的一个元素。我们称函数f为选择函数。例如，给出自然数集的所有子集，选择函数f可以定义为“集合中的最小元素”；给出实数集的所有有限长的区间，则选择函数f可以定义为“区间的中点”。但对于某些情况，目前还没有办法用之前已有的公理系统定义出合适的选择函数。比如，目前仍然不清楚，对于实数集的所有非空子集是否存在一个选择函数。但选择函数的存在是很多数学推理的前提假设。因此，我们有必要承认选择公理，构成新的公理体系（即ZFC公理体系）。于是在今后的数学推理中，我们可以假设存在这样一个超级选择函数f，它就是专门用来干这破事的。承认选择公理有可能推出一些与生活经验背道而驰的结论，最著名的就是Banach-Tarski悖论：你可以把一个三维球体分成有限多块，然后拼接组合成两个和原来一样大的球体。上面所提到的100囚犯问题加强版则是选择公理带来的另一个悖论。

参考资料：http://cornellmath.wordpress.com/2007/09/13/the-axiom-of-choice-is-wrong （墙就是强）

    对于一个倒像不像的数学体系，歌德尔不完备定理同样适用。它告诉我们，一个哲学体系永远不可能证明自己是完备的。而这一点体现在马克思主义哲学上是更显然的。运用马克思主义哲学的理论绝对不可能证明马克思主义哲学本身是正确。换句话说，一个合理的哲学体系在理论上被证明了是不存在的。
    对以上观点的支持，不同的人会拿出不同的武器。嘎嘎将会郑重地抬出“人择原理”来。人择原理的内容我很早就知道，第一次听说它叫做人择原理还是在车站和嘎嘎讨论唯X主义的时候。后来感觉到，人择原理运用到哲学上将产生一种非常奇特的滑稽效果。
    那么我们为什么还要学习哲学呢？原因很简单，因为我们要考试。好在答题时我们不用考虑马克思主义哲学的正确性。仿佛考试时会假定，马克思主义哲学的所有理论都是正确的。如果谁高考时能答出一个“由此可见，马克思主义哲学具有局限性”的话，他肯定是个疯子。
    正如前几天跟NK和幸兄说的那样，做到一道题要判断“坚持集体主义是个人生存和发展的必要条件”是否正确时，我想，没有那么严重吧。翻答案，这句话是正确的，要选。于是，我再一次明白，以后看到像“工业反哺农业是解决三农问题的重大突破”、“要毫不利己，专门利人”之类的话都当作正确来处理。
    最后一例，突出地表现出政治学习的悲哀。
    半期考了一道题，选择，问区域发展有利于整个国家经济发展的哲学依据。这道题的答案显然是错误的，但即使答案错了，石X也可以找到另一种不算牵强的解释。后来我去找她分析卷子（事实上是她要我找她去分析卷子），我和她说起这个题时我说，这道题答案显然是错的，这点自信一定要有，但是我不想跟你争，争起没意思。她气得鬼火冒。我说，好，争嘛争嘛。于是就争了十几分钟。当然最后没有争出结果。我也拒绝承认她的观点。有时候啊，文科的题争起真的没有意思，都有道理，选哪个是萝卜和青菜的关系。但是如果真的要争起来，你是不能屈服的。因为你没有错。在大家都没有错的时候，比的是谁更有气势，谁更有权威。分析卷子时尚猫在我前面，我听她的意思貌似这题本来也想争一下，但一开始在气势上就败了下来。我打赌猫现在也觉得这题有问题，但搞文科的就是这样，拿个题去问老师，老师说，是这样这样（而且知道她会这么说），然后回答，哦，哦，然后就走了。其实自己心里还是觉得自己是对的。所以我从来就没问过老师任何问题。这次不同，和石某说到了，不讨论不行了。于是我走起来第一句话就是，这题答案肯定是错的，绝对该选某某。这话一说，两种完全对立的观点陡然耸立，十分钟后势必两败俱伤。石某陷得很深，不能自拔。如此简单的道理她都没看穿，这么简单的道理我已经说得不能再清楚了。估计她也急，她也觉得为什么这么简单的道理我不明白。发展到最后的结果，双方都不可能更进一步地说明了。最后我跟她说，五一写篇千字论文来说服她。
    废时间写什么论文也确实不必，在这里顺带着说一下就行了。写个政治论文的时间，USACO都做了一章了。
    争论的焦点在整体和部分的关系上。她认为该选整体，因为题目“区域发展有利于整个国家经济发展”的后半句是整体方面。其实，这个随便怎么说都是强调部分。下来后我想到了一个更幼稚的解释。哲学依据就是找原因。A有利于B的原因肯定是A很好，而不是B很好。经常做爱可以锻炼身体是因为做爱的运动量很大而不是身体壮了可以打台湾。


    noi.cn消息：第23届全国青少年信息学奥林匹克竞赛7月22日至28日在绵阳南山中学举行。
    拿到传说中的八中作文选，看到了曾经的她的作品。她交的这篇还是我给她打的。
    看《数据结构与算法分析》时想起我的一个（半真半假的）故事，有空写。