怎样把一个立方体分成 54 个小立方体?

大家或许都听说过一个与正方形剖分相关的非常经典的问题:对于哪些正整数 n ,我们可以把一个正方形分割成 n 个小正方形(允许出现大小相同的小正方形)?答案是,除了 n = 2, 3, 5 以外,对于其他所有的 n ,把一个正方形分割成 n 个小正方形都是有可能的。对于 n = 1, 4, 6, 7, 8 的情况,分割方案如下图所示:

对于更大的 n 呢?注意到,每次用横竖两条线把一个小正方形分成四个更小的小正方形后,我们都会让这个图形里的正方形数目增加 3 个。因此,我们只需要在 n = 6 的方案上增加两笔,就能得到一个 n = 9 的方案;只需要在 n = 7 的方案上增加两笔,就能得到一个 n = 10 的方案;只需要在 n = 8 的方案上增加两笔,就能得到一个 n = 11 的方案;只需要在 n = 9 的方案上增加两笔,就能得到一个 n = 12 的方案……于是,其他所有的情况都被我们解决了。

 

不过,你有没有想过,同样的问题搬到立方体上,答案又会如何呢?换句话说,对于哪些正整数 n ,我们可以把一个立方体分割成 n 个小立方体(允许出现大小相同的小立方体)?人们已经证明了一个和刚才类似的结论:除了有限多个 n 以外,对于其他所有的 n ,这个问题都是有解的。事实上,对于所有的正整数 n ≥ 48 ,把一个立方体分割成 n 个小立方体都是有可能的。

证明思路和刚才一样。在任意一种立方体剖分方案中,每次把一个小立方体分割成 8 个更小的立方体,整个剖分方案中的立方体个数都会净增 7 个。因此,为了证明上面给出的结论,我们只需要构造出 n = 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54 时的剖分方案即可。不过,究竟该怎么构造,这就要比刚才更有挑战性了。

n = 50 时的方案是最好构造的。从初始时的立方体出发,每次选一个小立方体并把它分成 8 份,于是我们便会得到 1 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 50 个小立方体。

把立方体分成 3 × 3 × 3 = 27 个小立方体,并把其中 8 个小立方体合成一个大立方体,我们便能得到 n = 20 时的方案,进而可以得到 20 + 7 + 7 + 7 + 7 = 48 个小立方体。在 n = 20 时的方案中选择一个小立方体,并套用这个方案本身把它细分成 20 份,我们便能得到 n = 39 时的方案,进而可以得到 39 + 7 + 7 = 53 个小立方体。

把立方体分成 4 × 4 × 4 = 64 个小立方体,并把其中 27 个小立方体合成一个大立方体,我们便能得到 n = 38 时的方案,进而可以得到 38 + 7 + 7 = 52 个小立方体。

真正比较困难的就是构造 n = 49, 51, 54 时的方案了。前面的几个构造或多或少地都借鉴了正方形剖分问题的解法。利用这些构造,我们可以从初始时的 1 个立方体出发,不断地执行加 7 、加 19 、加 26 、加 37 四种操作之一。然而,这无论如何也变不出 n = 49, 51, 54 时的方案。因此,我们需要另辟蹊径。 n = 49 时的方案如下,它里面有 4 个边长为 1/2 的立方体, 9 个边长为 1/3 的立方体,以及 36 个边长为 1/6 的立方体。

n = 51 时的方案如下,它里面有 5 个边长为 1/2 的立方体, 5 个边长为 1/3 的立方体,以及 41 个边长为 1/6 的立方体。

n = 54 时的方案最为复杂,很长一段时间里,人们甚至认为这样的方案根本不存在。但是最终,它还是被构造出来了。它里面有 2 个边长为 3/8 的立方体, 4 个边长为 1/4 的立方体, 6 个边长为 1/2 的立方体,以及 42 个边长为 1/8 的立方体。

至此,我们就完整地证明了,对于所有的 n ≥ 48 ,满足要求的立方体剖分方案都是存在的。

 

显然,这个问题还可以进一步扩展到更高维的空间。对于任意正整数 d ≥ 2 ,我们都可以问:能否找到某个正整数,使得对于所有大于等于该正整数的 n ,把 d 维立方体分割成 n 个小的 d 维立方体的方案都是存在的?如果能找到这样的正整数的话,那么这样的正整数最小是多少?不妨把这个最小的满足要求的正整数记作 c(d) 。我们现在已经知道了, c(2) 等于 6 ,并且 c(3) 很可能等于 48 。

容易证明,不管 d 是多少, c(d) 一定都是存在的。首先,我们来证明一个经典的数论结论:若 a 和 b 是两个互质的正整数,则对于所有的正整数 n ≥ a · b ,我们都能找到适当的非负整数 p 和 q ,使得 n = p · a + q · b 。

注意到,对于任意一个正整数 n ≥ a · b 都有, n, n – a, n – 2 · a, n – 3 · a, …, n – (b – 1) · a 是 b 个不同的正整数,并且它们除以 b 的余数互不相同。它们是 b 个不同的正整数,这很容易看出;但是,它们除以 b 的余数为什么互不相同呢?这是因为,如果存在 0 ≤ i < j ≤ b – 1 使得 n – i · a 和 n – j · a 除以 b 的余数相同,这就说明 n – i · a 和 n – j · a 之差是 b 的倍数,即 j · a – i · a = (j – i) · a 是 b 的倍数。既然 a 与 b 互质,要想让 (j – i) · a 是 b 的倍数,必然得让 j – i 是 b 的倍数。但是, i 和 j 都是 0 到 b – 1 之间的数,因而 j – i 比 b 要小,它不可能是 b 的倍数,于是产生矛盾。

然而,除以 b 的余数只有 b 种不同的可能。这说明, n, n – a, n – 2 · a, n – 3 · a, …, n – (b – 1) · a 除以 b 的余数取遍了所有的可能。因此,我们必然能找到某个 0 ≤ p ≤ b – 1 ,使得 n – p · a 除以 b 的余数为 0 ,即 n – p · a 是 b 的整倍数。这样一来, n 就正好能被表示成 p · a + q · b 了。

回到立方体剖分的问题。从初始时的立方体出发,每次把一个小立方体分割成 2d 个更小的立方体,整个剖分方案中的立方体个数都会净增 2d – 1 个;每次把一个小立方体分割成 (2d – 1)d 个更小的立方体,整个剖分方案中的立方体个数都会净增 (2d – 1)d – 1 个。因此,当 n 为任何一个形如 1 + p · (2d – 1) + q · ((2d – 1)d – 1) 的数时(其中 p 、 q 均为非负整数),剖分方案都是存在的。然而, 2d – 1 和 (2d – 1)d – 1 显然是两个互质的数(前者的某个整倍数与后者相差 1 ),由刚才的数论结论立即可得,对于所有的 n > (2d – 1)((2d – 1)d – 1) ,剖分方案都是存在的。

但是,对于更大的 d , c(d) 的值具体是多少,这仍然是数学当中的未解之谜。

 

这个问题最早是 1946 年由 N. J. Fine 和 I. Niven 在 The American Mathematical Monthly 上提出的,题目编号为 E724 。 Fritz Herzog 、 William Scott 、 Doris Rychener 、 Christoph Meier 、 Matthew Hudelson 都对问题的解答有不同程度的贡献。 Martin Gardner 在 Fractal Music, Hypercards and More: Mathematical Recreations from Scientific American Magazine 一书中指出 c(3) 的值就是 48 ,并列出了所有不满足要求的 n 值:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 23, 24, 25, 26, 28, 30, 31, 32, 33, 35, 37, 40, 42, 44, 47

这一说法的来源不明。

36 条评论

  • Dr. What

    沙一个发。
    既然没有来源那我们自己做一遍就好了嘛……

  • aaa

    更啦更啦,大赞

  • CodeFarmer2001

    赞啦赞啦
    c(4)还没被推出来?(说炸药的请走开)
    貌似构造像50这样的数是挺简单的。。
    比如四维空间中一个超立方体可以分成16个相等的小超立方体(按照2的幂往上溜)
    显然那个最好找到的数为1+15^2=226个正八胞体
    我们可以假定c(4)<226(根据现有事实推断,不确定)
    然后。。然后我就不会了。。。

  • 吴迪

    n = 49, 51, 54 时的构造也是有方法可循的,可以认为分割结果中的大立方体是由小立方体合并而成的,比如8*8*8的512块立方体,令其中27块合并,可得到512-26块的方案。于是求m^3-a((m-1)^3-1)-b((m-2)^3-1)-…x(2^3-2)=54的整数解,便可得到可能的分割方案,再根据分割方案验证即可。从m=4算到m=8,并没有几组整数解,人工验证,不难得到n=54的方案。

  • AES

    这篇文章最好最近

  • AES

    互联网上瞬间出现各种转载

  • franz

    你的图是用什么软件做的,打算paper上利用

  • q68257962

    不晓得那些构造是一拍脑袋想出来的,还是有理论支撑导向的。如果是前者,那其实没什么意思。

  • pppppass

    oeis上面有相关的数列 http://oeis.org/A014544
    四维情况有解吗? c(4)? 查不到。。。

  • 沙尘暴

    天呐,昨天网站出问题吓哭我了

  • 负一的平方根

    1.二维的2 3 5不存在能够证明吗?

    2.构造的时候用计算机穷举可行性如何?

    • 不苋鬼

      1.易证。不妨设大正方形边长为1。
      ①一个正方形不可分割为2或3个正方形。
      由鸽笼原理,大正方形的四边中至少有一边为某一小正方形所独占,从而推出这一小正方形的边长必为1。
      ②一个正方形不可分割为5个正方形。
      显然大正方形的每一边必被至少两个小正方形使用。显然大正方形的至少一边仅被两个小正方形使用。
      接下来选择一条仅被两个小正方形使用的边(不妨设为上边)分两类:
      a.这条边上的两个小正方形边长相等,即都为1/2.则剩下三个小正方形分布在1×(1/2)的矩形内。接下来同①的方法容易证明这是不可能的。
      b.这条边上的两个小正方形边长不等,分别为x和1-x,其中x>1/2,不妨设边长为x的小正方形在左。考虑左下角,易知右下角必有一块
      ┍-┑
      ┍┙|
      ┕━-┙
      形须用两个正方形填满,而这是不可能的。
      故而一个正方形不可分割为5个正方形。

  • samhjn

    貌似一下子就转化为数论问题了。。。
    博主最近好像回复评论很少啊。。。也不见localhost的已阅了。。。

  • chimeiwangliang

    “从初始时的立方体出发,每次把一个小立方体分割成 2d 个更小的立方体,整个剖分方案中的立方体个数都会净增 2d – 1 个;每次把一个小立方体分割成 (2d – 1)d 个更小的立方体,整个剖分方案中的立方体个数都会净增 (2d – 1)d – 1 个。因此,当 n 为任何一个形如 1 + p · (2d – 1) + q · ((2d – 1)d – 1) 的数时(其中 p 、 q 均为非负整数),剖分方案都是存在的。”

    比较笨,有没有哪位大神帮解答一下这个结论怎么推出来的?

  • Ctrl

    hi 顾森,我是来自一早一晚-远程工作者社区(yizaoyiwan.com)的远程工作者,Ctrl,看了你写的东西,so cool,
    方便的话加我微信:119269812 认识交流下

  • Clothes

    学长您好,我是北大数院心桥杂志的小编,想和您联系一下,方便的话请用您的邮箱发我一封邮件吧。我的邮箱是pagasus@pku.edu.cn 谢谢啦@_@

  • ppp

    元立方金服是全国首家PPP模式、专注市政基础设施建设的互联网金融平台。

  • LOLO

    有好久没来了

  • Aaron

    http://news.cntv.cn/2015/11/05/ARTI1446730577441312.shtml?u=3033974701&m=3906131434924134&cu=3033974701
    请问能介绍一下这个定理吗?我搜索了半天也没有找到这个定理的描述内容和证明。

  • 风车

    谢谢博主,博客已订阅

  • AES

    好久没更了

  • JSLeung

    顾森你好,我很好奇你的搜索结果跟搜索的关键字之间有什么关系?

  • anonymous

    想请教一个问题。一个平面图形究竟需要满足哪些性质才可以被分割成两个形容大小都相同的图形呢?

  • 谢启华

    顾森小伙,能加我微信吗?ienjoyshakespeare,想给你些建议,与你有益,数学上。

  • dna049

    好久没更新啦0.0

  • aes

    难道,,这是终结篇吗。。

  • dna049

    不好意思在此打广告了,matrix67一直是我榜样。
    欢迎大家访问我的数学博客 http://dna049.com

  • xechoz

    我很想知道 ” n, n – a, n – 2 · a, n – 3 · a, …, n – (b – 1) · a ” 这里是怎么构造出来的。根据中学的经验,构造的灵感都是要相当的数学经验积累。

  • Steven

    顾森你好,我很喜欢你的博客,作为高中生有些问题想请教你一下,请问能加一下我微信吗1429967107

  • F_XZ

    围观楼上上23333 那个难道是localhost女神? 不过话说, 现在博客的评论区已经看不下去了呢… 各种广告/勾搭…

  • Lee

    很棒,请问图是通过什么软件做的

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