称假币问题的变形:无假币与“天平机”

大家应该听说过 9 枚硬币的问题吧。9 枚硬币当中有 8 枚是真币,有 1 枚是假币。所有的真币重量都相同,假币的重量则稍重一些。怎样利用一架天平两次就找出哪一枚硬币是假币?方法是,先把 9 枚硬币分成三组,每组各 3 枚硬币。然后,把第一组放在天平左边,把第二组放在天平右边。如果天平向左倾斜,说明假币在第一组里;如果天平向右倾斜,说明假币在第二组里;如果天平平衡,说明假币在剩下的第三组里。现在,假币的嫌疑范围就被缩小到 3 枚硬币之中了。选择其中 2 枚硬币分放在天平左右两侧。类似地,如果天平左倾,就说明左边那枚硬币是假的;如果天平右倾,就说明右边那枚硬币是假的;如果天平平衡,就说明没放上去的那枚硬币是假的。

9 硬币问题实在是太经典了,你甚至能在人教版小学五年级下册的课本里看到它。9 硬币问题还衍生出了很多变形,其中最著名的当属 12 硬币问题了:有 12 枚硬币,其中一枚是假币,但我们不知道假币是更重一些还是更轻一些;请利用一架天平三次找出哪一枚硬币是假币,并判断出它比真币更重还是更轻。12 硬币问题的经典程度恐怕不亚于 9 硬币问题。早在 20 世纪 40 年代,12 硬币问题就已经吸引了一大批数学家和数学爱好者,甚至有人建议把这个问题扔到德国去,以削弱德国人在二战中的战斗力。如果你想知道答案,可以在网上找找,应该很容易找到。我们今天就不讨论了。

今天,我们真正想聊的其实是这个问题的另外一种比较少见的变形:仍然是要在 9 枚硬币当中寻找 1 枚假币,仍然假设假币的重量要稍重一些,仍然只能使用天平两次;但是这一次,你所使用的是一种“天平机”,它不会立即告诉你现在是哪边重哪边轻,而是在你两次称完后把这两次的结果一并打印给你。这下,你就没法根据天平的反馈结果随机应变了,必须事先把每次怎么放硬币全规划好。那么,你该怎么办?在本文后面的内容中,均已知假币比真币更重,直至另有说明。

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位换记号、排列测试与状态图:杂耍中的数学

2016 年 7 月 30 日至 8 月 7 日,第 39 届欧洲杂耍大会(European Juggling Convention)在荷兰的阿尔梅勒举行, 8 月 3 日凌晨的搏击之夜(Fight Night)自然再度成为了众人关注的焦点——它是杂耍斗(combat juggling)这项运动最大的赛事。在杂耍斗的圈子里,有两个响当当的大名你必须要知道:德国选手 Jochen Pfeiffer 目前世界排名第二,之前拿过 6 次搏击之夜的冠军;英国选手 Luke Burrage 目前世界排名第一,之前拿过 8 次搏击之夜的冠军。这一年的比赛中,两位老将均以完胜的成绩轻松进入 32 强,并在淘汰赛阶段过关斩将,最终成功在决赛场上相遇。最终,世界排名第二的 Jochen 以 5 比 4 的成绩击败了世界排名第一的 Luke ,夺得了又一个搏击之夜的冠军。

杂耍斗是一种两人对战类的体育运动。比赛规则非常简单。每局比赛开始时,两名选手各自抛耍 3 个杂耍棒。任何一方都可以故意上前干扰另一方(但只能针对对方手中的或者空中的杂耍棒,不能针对对方的手臂和身体)。谁站到最后,谁就赢得该局。先赢 5 局者获得比赛的胜利。

典型的一局比赛大致就像下面这样。这是 Jochen 和 Luke 的第 6 局比赛。

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UyHiP 趣题:几个特殊的强正则图

下面这个趣题出自 Using your Head is Permitted 谜题站 2016 年 8 月的题目,稍有改动。

屋子里有若干个人,任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友。这有可能吗?有可能。比方说,屋子里有 9 个人,其中 8 个人正好组成 4 对朋友,第 9 个人则和前面 8 个人都是朋友。容易验证,任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友。我们可以用下面这个图表示此时这 9 个人之间的朋友关系,其中每个点代表一个人,如果两个人是朋友,就在他们之间连一条线。

除了上图展示的情况之外,我们还能构造出很多别的同样满足要求的情况。事实上,上述方案可以扩展到一切奇数个人的情况,比如下面这样:

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趣题:为什么偏偏是 6 格?

无穷多个相同大小的正方形格子排成一排,向左右两边无限地延伸。每个格子里都有 0 个、 1 个或多个原子。每一次,你可以对它们做下面两种操作之一:

  • 选择某个格子,保证该格子内至少含有 1 个原子。将该格子内的其中 1 个原子分裂为 2 个,从而使得该格子内的原子数量减 1 ,两边的邻格里的原子数量分别加 1。
  • 选择某个格子,保证两边的邻格里均至少含有 1 个原子。从两边的邻格里各取 1 个原子聚合起来,从而使得两边的邻格里的原子数量分别减 1 ,该格子内的原子数量加 1。

初始时,某个格子里有 1 个原子。现在,你需要在若干次操作之后,让它右移 6 格。也就是说,你需要用若干次操作把下面的第一个图变成第二个图(其中,数字 1 表示该格内的原子数为 1 )。继续阅读下去之前,你不妨自己先试一试。你可以在纸上画好格子,用硬币、大米、巧克力豆等物体代替原子。

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IMO2016 趣题:Geoff 的青蛙

2016 年 IMO 的第 6 题(也就是第二天比赛的第 3 题)非常有趣,这恐怕算得上是近十年来 IMO 的所有题目中最有趣的题目之一。平面上有 n ≥ 2 条线段,每两条线段都有一个交点,并且任意三条线段都不交于同一点。 Geoff 打算在每条线段的其中一个端点处放置一只青蛙,并让每只青蛙都朝向它所在线段的另一个端点。然后, Geoff 将会拍 n – 1 次手。每次拍手时,每只青蛙都立即向前跳到它所在线段的下一个交点处(青蛙们在跳跃过程中始终不会改变方向)。 Geoff 希望巧妙地安排初始时放置青蛙的方法,使得在整个过程中,任意两只青蛙都不会同时到达某个相同的交点。这个题目有两个小问。

  1. 证明:当 n 为奇数时, Geoff 一定有办法实现他的要求。
  2. 证明:当 n 为偶数时, Geoff 永远无法实现他的要求。

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