趣题:切完大饼和蛋糕,让我们切一切甜甜圈

我正在餐桌前吃早餐。餐桌上有一张圆形的大饼,有一个方形的蛋糕,还有一个甜甜圈。我依次思考了下面三个问题。你能帮我想出它们的答案吗?

  • 3 刀切一张圆形的大饼,最多能把它分成多少块?或者说,3 条直线最多能把一个圆盘分成多少个区域?
  • 4 刀切一个方形的蛋糕,最多能把它分成多少块?或者说,4 个平面最多能把一个正方体分成多少个区域?
  • 3 刀切一个甜甜圈,最多能把它分成多少块?或者说,3 个平面最多能把一个(实心的)环面分成多少个区域?

提示:上一个问题的答案总会为下一个问题提供线索。

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Borromean rings的另一个离奇的性质

    下图中的图 (a) 是由三个绳圈组成的。这是一个非常经典的图形,叫做 Borromean rings 。 Borromean rings 有一个非常神奇的特点:它们是套在一起的,没有哪个绳圈能从中取出来;但是,仔细观察你会发现,每两个绳圈之间都并没有直接套在一起!

      

    Borromean rings 还有一个听上去更离奇的性质:如图 (b) 所示,如果把其中任意两个绳圈真的套在一起,那么第三个绳圈就会自动脱落掉!为了看出这一点来,我们可以像图 (c) 那样,把其中一个绳圈缩小,让它紧紧地裹在另一个绳圈上,这下就很容易看出,它已经不再对第三个绳圈有任何限制作用了。

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五个有趣的拓扑变换问题

    如果你喜欢上次的空间想象能力挑战,你一定会喜欢 V. V. Prasolov 的 Intuitive Topology 一书。书中的第一章有五个非常经典的“拓扑变换”类谜题,在此与大家分享。注意游戏规则:我们假设所有物体都是用橡胶做成的,可以随意地拉伸、挤压、弯曲,但不允许切断、粘连等任何改变图形本质结构的操作。

    1. 能否把左图连续地变形为右图?

      

 
    2. 能否把左图连续地变形为右图?

      

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空间想象能力挑战:把左图连续地变换为右图

    为了说明“同痕”这一概念直观上并不容易把握,《The Knot Book》一书中举了一个经典的例子。如下图,左图是一个有三个洞的立体图形,右图是被挖出了三条通道的立方体(但其中一个通道在另一个通道上缠绕了一圈)。令人难以置信的是,两者之间竟然是同痕的,换句话说前者可以连续地变形成为后者。你能想象出这个变换过程吗?

      

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趣题:构造更大的Brunnian link

    下图中的三个绳圈套在一起,没有哪一个绳圈能从中分离出来。不过,真正有趣的是,如果去掉其中任意一个绳圈,那么其他所有的绳圈都全部散开了。如果 n 个绳圈套在一起,并且任意去掉其中一个绳圈都会同时解开其他所有套着的绳圈,我们就把它叫做 n-component Brunnian link 。

      

    你能想出一个 n = 4 的 Brunnian link 吗? n = 5 呢? n 可以任意大吗?

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