数学思维游戏两则:Gabriel喇叭、世界末日论

    看到新词就上一下Wikipedia确实是一个好习惯。前一篇日志的那个pdf里作者提到了Gedankenexperiment(Thought experiment),上Wikipedia一查果然学到了牛B的新东西。好多物理定律其实完全是由思维实验推导出来的,难以置信仅仅是思考竟然就能得出物理世界遵从的各种法则。经典的物理思维实验有Newton大炮、Galileo斜塔实验、Schrödinger的猫猫、Maxwell的妖怪等等。还有,Turing机也是一个伟大的思维实验。

   
    数学上的不少悖论(特别是涉及到维度和无穷的悖论)都是相当有趣的思维实验。Gabriel喇叭是y=1/x在[1,+∞)上的图象沿x轴旋转一周所形成的旋转体。这个简单的三维图形有一个奇特的性质:它的表面积无穷大,却只有有限的体积。为了证实这一点,只需注意到:
   
    Gabriel喇叭会导出一个非常诡异的悖论:如果你想用涂料把Gabriel喇叭的表面刷一遍,你需要无穷多的涂料;然而把涂料倒进Gabriel喇叭填满整个内部空间,所需要的涂料反而是有限的。
    有网友一定会问,那有没有什么二维图形,面积有限大,周长却无限长呢?答案是肯定的,Koch雪花就是这样一个经典的例子。不过,通过分形构造出来的这类图形似乎并不存在涂料悖论,因为递归到一定深度时分形图形的尺度将小于表面涂料的厚度,因此表面大小不能永无止境地算下去,涂满表面所需的涂料不再是无穷多。当考虑到涂料厚度时,原先的悖论也可以解释清楚了:填充内部空间仅仅涂满了图形的内表面,一旦考虑到涂料的厚度,它和外表面的区别就出来了。


    另一个有趣的思维实验与世界末日论相关:我们可以通过数学算法“求”出世界末日在哪一天!!下面我们将用简单的数学知识得出这一结论:人类文明已经发展到一半的概率达到95%。
    假设整个人类文明史上一共诞生了N个人,而你是其中的第n个人。根据Copernican原理,假设把整个人类文明看作数轴上[0,1]的线段,则你在这条“时间线”上可能处在的位置概率均等地分布在区间(0,1]中。下面我们在(0,1)中取一个足够大的数,比如0.95。那么,你发现自己处在人类文明的(0.05,1]区间上的概率是95%,也即n/N > 0.05。整理一下,我们得到N<20n。如果我们取目前人类文明的总人数n=600亿,代入上式我们有N<12000亿。我们得到这样的结论:有95%的可能性,整个人类文明共诞生了12000亿个人。假设世界人口稳定在100亿,人的平均寿命是80年,那么剩下的11400亿人将在9120年内走完自己的生命。换句话说,人类文明在9120年内灭亡有95%的可能性。这是一个惊人的数字啊!整个人类文明已经过了近万年,居然再过个这么多年就要结束了。

30 条评论

  • BIRAN007

    人类文明的(0.05,1]区间上的概率是95%,也即n/N > 0.05
    这个推倒是在时间轴上人口分布均匀的前提下?

  • 楼层

    海绵也可以是那种表面积无穷大,体积有限的东西

  • Jack

    我们得到这样的结论:有95%的可能性,整个人类文明共诞生了12000亿个人
    应该是至多12000亿个人吧……

  • hetong_007

    那个喇叭以前我自己在稿纸上玩过……
    然后以为自己错了……

  • 凌晨海风

    得出有95%的概率n/N>0.05的时候,是把人类数轴按照均匀分布计算的。但是后来计算出那么多人在9120年内灭亡,确是按照未来实际可能的人口密度来计算的。这个不一致是导致悖论的原因。
    如果第一步也按照实际的人口分布来计算,那么n/N>0.05的概率根本达不到95%,如果将数轴1的点设定在2008年的今天,那么世界上现存的人几乎都分布在0.9999的右侧。

  • 凌晨海风

    涂料再多,没有厚度的话,永远充满不了Pi的体积,嘿嘿。

  • 凌晨海风

    干脆连地核也占领了吧!

  • 凌晨海风

    下面是什么?

  • axgle

    Gabriel喇叭是很奇怪的说

  • lazhlazy

    把这个东西放到体积大于它的石膏桶里,等石膏凝固后取出喇叭,留下的是什么啊

  • 地核中心

    楼上,这东西貌似是无限长的。

  • gnaggnoyil

    那个喇叭…让我想起了y=1/x^2…

  • 叫兽

    Copernican原理只适用于空间,而不适用于时间。我们确实生活在一段特殊时期——距离大爆炸足够久,使复杂的生命得以形成;又距离大爆炸足够近,因而宇宙中的恒星仍在闪耀,还没有全部熄灭。

  • 叫兽

    现在很多科学家已经在慎重考虑Copernican原理,假定我们地球所在位置不特殊,以此为基础所推出的一系列普适意义的宇宙学结论也太过强大(反而很特别,是不是很讽刺)

  • vtransor

    把Gabriel喇叭的“奇特性质”引申到分形构造,未必是个好主意。

    不妨把三维的Gabriel喇叭的问题降一维,放到二维平面中来,或许可以更好地揭示出这个“奇特性质”的本质。

    这个本质就是:一条在x轴正方向上延伸至∞的曲线,显然它的长度是无限的,而其下方的面积是有限的。

    构造出这样一条曲线,是极为容易的。比如:y = 1/x^p(p>1),它在[1,+∞)区间,其曲线下方的面积,是最简单的反常积分,且是收敛的,即面积是有限的。

    那么,把问题还原到三维空间中来,怎么理解“涂刷喇叭外表面的涂料是无穷多的”vs“填满喇叭内部空间的涂料是有限的”这个奇特现象呢?

    应当注意到:既然可以把用在两处的涂料放在一起来比较出多寡,那就等于是默认了:这里的涂料并不是由“点”构成的某种东西,而是实实在在地在某些维度上占据了一定数量的东西 —— 也就是说,涂料在宏观上具有长度、宽度、厚度,丈量它多寡的指标是“体积”这个量;更重要的是,涂料在微观上不是由“点”构成的,而是由“分子”构成,这里的“分子”在微观上也占据了一定空间。

    涂刷在喇叭外表面上的涂料是无穷多的,这是很容易理解的。而对于填满喇叭内部空间的涂料,我们现在就可以设想了:涂料源源不断地向喇叭较细的一端涌过去,直至喇叭管子的直径细到了不能再容下涂料的单个分子,这时,涂料填充喇叭内部的过程就结束了。

    相比之下,如果换成了用“点”去涂刷和填充,那可就真的是“没完没了”了,更要命的是:一个曲面上的点和一个空间体中的点,是一样多的。

  • phi

    用人口数量来计算会有”人口分布密度不均”的指摘, 所以横坐标不用人口密度而只用纯粹的时间. 这样结果看起来更容易接受

    同样假设(0,1]代表人类文明的时间段, 我们现在处于(0.05,0.95]区间的概率为90%, 我们又认为已知人类文明已经出现10000年.
    在这90%的区间中, 最乐观的情况是我们正好处于5%多一点的地方, 之前的10000年只是整个文明的5%, 则整个文明有20万年, 人类还有19万年的文明;
    最悲观的情况, 我们已经处于文明的95%阶段, 只剩下5%的时间, 前95%的时间就是那10000年, 则整个文明只有10526年那么长, 文明还剩下526年, 也就是5个世纪多一点.
    以上结论有90%的概率成立. 两个期望值的差值大约是18.5万年, 数学期望大概有9.25万年, 期望值左右偏差如此之大, 对人类尺度来说简直算不上预言了

    如果要把预言概率无限升高接近100%, 也就是把原来两端的5%距离无限减小, 那么最悲观预期趋于0, 最乐观预期趋于正无穷, 最大误差值会趋于正无穷, 预言就变得毫无意义. 当然此预言是100%成立的, 因为跟没说一样.

    若减小期望值的偏差并让概率处于一个可接受范围(及格)内, 不妨认为我们有60%的概率处于人类文明(20%, 80%]段的某一点, 那么最悲观和最乐观的剩余时间分别是2500年和40000年, 平均剩余21250年, 但偏差也是万年数量级的.

  • zc

    地球的位置特殊是不是有人存原理解释啊?

  • MJ

    2012什么的..

  • JENNY

    作为一个数学很差的高中生……对于理科很棒的人一直是仰慕+敬佩。
    记得是很久前搜一道数学题搜到你博客的。然后就存了下来。
    望安。

  • Lithium

    人口如果不规则增长,就计算不出来世界末日鸟~

  • alchemist

    很有趣

  • Sherlock

    Gabriel的喇叭的面积能用无穷级数来解释吗?

  • hwzxaww

    楼主你一开始就说发展到一半的概率是95%,这不就等同于文明还剩一半的概率是95%吗。后面的论证似乎不需要了吧。

  • hwzxaww

    还有那个喇叭的问题,即便体积有限也是倒不完的,因为油漆的消耗速度会越来越慢,到后面就快为零了,所以在理想化的情况下油漆也是倒不完的。

  • hwzxaww

    根据以往的经验看,恰恰相反只要有一滴有体积的涂料就能产生无穷大的面积,从而可能涂满整个表面。

  • cervelo

    涂刷在喇叭外表面上的涂料是无穷多的,这是很容易理解的。而对于填满喇叭内部空间的涂料,我们现在就可以设想了:涂料源源不断地向喇叭较细的一端涌过去,直至喇叭管子的直径细到了不能再容下涂料的单个分子,这时,涂料填充喇叭内部的过程就结束了。

  • 灵感仰

    这个题有点坑人啊,我觉得是不是应该再定义一种“数学上的涂料”以区别于“物理上的涂料”!

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