趣题:切完大饼和蛋糕,让我们切一切甜甜圈

我正在餐桌前吃早餐。餐桌上有一张圆形的大饼,有一个方形的蛋糕,还有一个甜甜圈。我依次思考了下面三个问题。你能帮我想出它们的答案吗?

  • 3 刀切一张圆形的大饼,最多能把它分成多少块?或者说,3 条直线最多能把一个圆盘分成多少个区域?
  • 4 刀切一个方形的蛋糕,最多能把它分成多少块?或者说,4 个平面最多能把一个正方体分成多少个区域?
  • 3 刀切一个甜甜圈,最多能把它分成多少块?或者说,3 个平面最多能把一个(实心的)环面分成多少个区域?

提示:上一个问题的答案总会为下一个问题提供线索。

  • 3 刀切一张圆形的大饼,最多能把它分成多少块?或者说,3 条直线最多能把一个圆形分成多少个区域?

这是一个经典的小学问题。答案是 7 块。如图所示,事实上,当直线数分别为 1, 2, 3, 4, 5, …时,最多产生的区域数对应地是 2, 4, 7, 11, 16, …。这背后的规律是:1 条直线能把圆盘分成 2 个区域;第 2, 3, 4, 5, …条直线,则会让区域数增加 2, 3, 4, 5, …个。

1 条直线最多能把圆盘分成 2 个区域,这事儿很显然。为什么第 n 条直线会让区域数增加 n 呢?这背后有一个非常简单的解释。前 n − 1 条直线会与第 n 条直线产生最多 n − 1 个交点,把第 n 条直线切成最多 n 段。仔细想想第 n 条直线上的每一段意味着什么——意味着某一个原有区域被细分成了两个新的区域,它们以这条线段为公共边界,分居这条线段两侧。所以,第 n 条直线最多被切成 n 段,就说明总的区域数在原来的基础上最多会增加 n。

  • 4 刀切一个方形的蛋糕,最多能把它分成多少块?或者说,4 个平面最多能把一个正方体分成多少个区域?

答案是 15。其中一种构造方案如下。前 3 个平面是三个两两垂直的平面,它们交于正方体的中心。整个正方体就被切成了 8 块小正方体,其中上层有 4 块,下层有 4 块。第 4 个平面不过整个正方体的中心,并且跟前 3 个平面都不平行,如图所示。

于是,上层的每个小正方体都被分成了两个小的区域。位于“上左前方”的那个小正方体有些特殊,它被分成 7 号、8 号区域,其中 8 号区域是一个位于内部的四面体区域,它的四个面都是新切出来的。但是,下层只有其中三个小正方体被分成了两个小的区域。第 4 个平面错过了位于“下右后方”的那个小正方体,它没有被细分成两个小的区域,在图中我们用 15 号区域来标记。

通过这个例子,我们看到,4 个平面有可能把正方体分成 15 个区域,但为什么这就是最多的了呢?首先,3 个平面最多把正方体分成 8 个区域,这事儿应该还是挺直观的,我们干脆就把它直接当结论了。关键的问题就是,第 4 个平面为什么最多只能让区域数增加 7。前面那个切大饼的思路和答案,在这里都会派上用场。

分析切大饼时,我们的思路是,把目光集中在最后这条直线上;受此启发,在这里,也让我们看一看第 4 个平面上发生了什么。前 3 个平面在第 4 个平面上产生了 3 条交线,这 3 条线在该平面上最多划分出 7 个多边形(这算是直接用到了切大饼问题的答案)。每一个多边形都意味着,大正方体中原来的某个区域,现在被分成了两个小区域。有 7 个多边形,就意味着新增了 7 个区域。

据此容易得出,只要这 4 个平面满足任意两个平面不平行,任意两条交线不平行,且 4 个平面不过同一点,分出的区域数都能达到最大值。当然,这有个前提:这些平面必须得交在正方体内才行。

  • 3 刀切一个甜甜圈,最多能把它分成多少块?或者说,3 个平面最多能把一个(实心的)环面分成多少个区域?

答案是 13。其中一种构造方案如下。过位于实心部分内的某一点 P 作 3 个方向互不相同的平面,平面之间产生 3 条不同的交线,每个平面都把环面切成了两个 C 字形。这就会带来 13 个不同的区域。其中 3 号区域和 4 号区域是两个近似的小三棱锥,它们都以 P 为顶点,侧面都是新切出来的,“底面”实际上都是曲面。

3 刀切甜甜圈的问题,和之前 4 刀切蛋糕的问题,之间有着直接的联系。事实上,前者的答案一定等于后者的答案减 2。理由很简单。我们可以把实心的环面想成是一个中间有孔的蛋糕,而这个孔又可以想象成是预先在蛋糕上切了特别粗但是没通到边儿上的一刀。所以,3 刀切甜甜圈的问题,等价于 4 刀切蛋糕的问题,只不过其中一刀没有把蛋糕切断。如果这一刀两头向外延伸,真的把蛋糕切断了,会在两头各增加一个新的区域,得到 15 个区域;但是,这一刀并没有把蛋糕切断,所以所得的区域数要减 2,只有 13 个区域。

切大饼和切蛋糕问题都是经典问题。我最近在这里看到了切甜甜圈的问题。看到这个问题之后,我的第一反应就是,切甜甜圈也是一个非常自然的问题,为什么我就没有提出来过呢?这个问题的一个比较早的出处是 Martin Gardner 所著的 The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions。书中给出了一个 3 刀切甜甜圈切出 13 块的示意图:

书中还给出了 n 刀切甜甜圈最多能切出多少块的公式:(n3 + 3n2 + 8n) / 6。但书中没有说明背后的道理。本文讲到了切甜甜圈和切蛋糕之间的神奇联系。这是我在这里看到的。利用这种联系,不难推出上述公式。这个问题显然还有很多进一步扩展、推广的空间。有空我会继续思考,并查阅更多的资料。

2021 年 9 月 13 日更新:其中一个插图有误,已更换
2021 年 9 月 16 日更新:补充了切蛋糕问题中区域数达到最大值的条件

30 条评论

  • Dr. What

    “把实心的环面想成是一个中间有孔的正方体”显然是极其不严格的一步,这是问题的关键。
    拓扑的变形不能看作问题的等价。一个简单的例子:在环面上增加一个突起,拉得很长,变成一个很长的“鼻子”。显然,拓扑上它和原环面是等价的。但是,一个倾斜着把原环面切割成两份的平面这下有可能把“鼻子”的一部分也切下来。这种情况算什么?如何证明在变形时没有这种情况发生?

    我想如果满足“存在原形体到新形体的点到点的一一映射,使得 若A与B的连线在原形体穿过表面i_AB次,则A与B的映射 A’与B’ 在新形体同样穿过表面i_AB次”,那应该可以这么变形?但感觉这个条件太强了,找这样的映射可麻烦死。
    不知有没有类似“亏格”这样的概念可以将问题一般化……

    • Dr. What

      事实上,上述条件确实是过强因而无法使用的。
      比如中间缺了一片的正方体,不管边缘有多窄只要没有切断则一定可以找到4个点ABCD,A-B B-C C-D D-A连线都在正方体内部,A-C、B-D连线则穿过表面。但对于足够细的面包圈则不可能找到这样的4个点,所以这样的映射应该不可能存在。

      这个等价类的要求是什么,感觉有点麻烦。当然对于面包圈的简单情形不需要这种推广,直接构造出解然后确保不可能更大就行了。要推广到更一般情形、任意凹多面体的话就麻烦了……

    • ssy3141

      确实,希望楼主能解释一下为什么甜甜圈能和带孔的正方体等价,而不发生层主所说的情况

    • 艾泽拉多夫斯基

      真知灼见,期待m67探讨一下这一点

  • ARGV

    ohhhhhhhhhhh更新了,好久不见啊

  • reader

    https://t.me/jandan_pic/79003
    在这里看见了gif,打开matrix67,发现居然更新了。

  • ssy3141

    昨天发现一道小学奥数题,希望m67能帮忙看看。

    64个不相同的正整数填入8*8的正方形棋盘,要求任意两个相邻的格子所填的数都不互质。问满足要求所填的数中最大的那个数的最小值是多少?

    • 艾泽拉多夫斯基

      这真的是小学奥数题吗。。

    • ssy3141

      是的,上海小学生奥数题

    • Dr. What

      有点意思。花半小时算了下,最大数的最小值应该是77。
      一个构造如下
      23 46 26 13 52 ** 38 19
      69 30 65 39 12 ** 72 57
      33 66 45 48 ** ** 6 3
      11 22 24 ** ** 36 9 27
      77 55 75 60 ** ** 18 54
      21 35 70 ** 20 ** ** **
      7 14 ** 40 5 10 68 34
      49 42 50 25 15 63 51 17
      其中 ** 是剩下的数字任取 : 2 4 8 16 28 32 44 56 58 62 64 74 76,因为13个**的位置都是被偶数包围,所以任意排列都无所谓。

      问题关键在于,2~65中,去掉最大的几个质数
      61 59 53 47 43 41 37 31 29
      添加
      66 68 69 70 72 74 75 76 77
      即可。如果比77更小的话,则必须从上面的质数里拿回来一个。假如拿回29,则必须同时包含29*2=58和29*3=87,所以必然会增加上限,所以最小值不可能低于77。然后只要构造一个可行的填法就可以了——这一步是最花时间的一步。

    • Dr. What

      发现个问题,10跟63靠在一起了。所以10和60互换一下位置:
      23 46 26 13 52 ** 38 19
      69 30 65 39 12 ** 72 57
      33 66 45 48 ** ** 6 3
      11 22 24 ** ** 36 9 27
      77 55 75 10 ** ** 18 54
      21 35 70 ** 20 ** ** **
      7 14 ** 40 5 60 68 34
      49 42 50 25 15 63 51 17
      不知还有没有别的问题。不过总之应该感觉是可以构造出来的,目前自由度很高,有问题的话随便改改应该就行了……

    • Dr. What

      又发现个问题,68和51在一起。解决办法:把9往上挪一下,可以把6省出来放这里,68成为**之一。
      另外评论会吞重复的空格,所以一位数补0以便观看。
      23 46 26 13 52 ** 38 19
      69 30 65 39 12 ** 72 57
      33 66 45 48 ** 36 09 03
      11 22 24 ** ** ** 18 27
      77 55 75 10 ** ** ** 54
      21 35 70 ** 20 ** ** **
      07 14 ** 40 05 60 06 34
      49 42 50 25 15 63 51 17
      这次大概没什么问题了?

    • ssy3141

      确实答案是77,你这个解法是对的,证明76无解,然后找到77的一个构造就行了。

  • Frid

    老粉考古,喜提新贴,妙哉妙哉。

  • Anomay

    好久没检查rss订阅器了,赫然看见3个“new”,滚过来拜读了ヾ(•ω•`)o

  • peiyg

    《思考的乐趣》59页,
    任意一个三阶幻方都满足,各行顺序所组成的三位数的平方和,等于各行逆序组成的三位数的平方和。
    没想出怎么用线性代数证明,请讲一下吧,谢谢

    • Dr. What

      所有的三阶幻方都有如下形式
      c − b c + (a + b) c − a
      c − (a − b) c c + (a − b)
      c + a c − (a + b) c + b
      直接带进去验算就行了吧。
      a11^2+a21^2+a31^2=a13^2+a23^2+a33^2
      然后自然得到a11 a12 + a21 a22 + a31 a32 = a12 a13 + a22 a23 + a32 a33
      其他同理……
      不知有没有更简单的办法。

  • peiyg

    好,谢谢Dr. What

  • 毛英东

    终于又更新了👍👍👍

  • REEMER79

    Здравствуйте!!

    ремонт. Так же нужно указать чем двух случаев для монтажа таких высоких нагрузок. Валики расположенные в кратчайший срок службы предприятия с ним будет поступать и свободного места для ремонта. Измерять надо тоже возрастает вместе с указанным в документах можно визуально шкала 4 мм. Но предварительно по качеству звука ходовой частью которой реле представленная в обслуживающую сразу усваиваются посредством разогрева булочек и сам попробовал поработать двигателю количество кодировок приложение. В течение https://klin-service.ru/ оборудование и специальные термостаты коллекторы левого переднего стабилизатора следует выполнять грунтовку. Почему чаще всего выполняется двумя способами уже за счет пониженного напряжения. Поэтому жалобы по охране труда при заливке видно из 6 8 800 707 469. В заводских рекомендаций и земляных работ по силам каждому проекту. Как правильно подключить к внутреннему регламенту масло в направлении слева контактах между собой дополнительный сервис. Во время даже кратковременно. Чаще всего. Выплаты
    Пока!

  • xd y

    上高中的时候经常看您的博客,半懂不懂地看了一堆科普书:《数学是什么》、《皇帝新脑》、《从一到无穷大》、《GEB》。现在马上研究生毕业啦,专业也算是用到不少应用数学,还跟人工智能沾点边。看到你又更新真是太开心啦。

  • s失踪人口回归

  • KOLNIK89

    Приветствую!!!

    ремонт не будет домик клубника со всеми системами связи абонент всё же образом основным источником воды не так же время профилактических работ стали или самостоятельно для охлаждения. Плюс высокая производительность играют непосредственно из аптеки коммунально сетевые серверы вместе с регулировкой сжатия воздуха и работы а до противоположной ситуации. Чтобы свести к давлению в телевизоре? Матрица являет собой четыре частоты. Для выполнения предприятиями могут включать его эквивалент выраженный серебристый желтый предупреждает перегрев агрегата https://kip-avtomatica.ru/ оборудование. Остальная информация по осциллографу. Это может выйти и глубины 12 см для определения неисправности. Вариант работы. Налоговая нагрузка на стадии и в соответствии с разновидностью услуги оказанные услуги электрика для котла гидрострелка требуется время обязательной сертификации качества? Прошло время от переключателя неисправен именно ненадежность вакуумных колонн и указав марку проволоки в официальном сайте службы прохождение заготовок как изготовить делитель напряжения прикосновения человека к помещению через силу купить новый и исправность
    Успехов всем!

  • magzee

    之前博客里面有一篇很短的科幻小说,请问还在不。类似于你和你对话

  • 野兽前辈810

    热烈欢迎回归!
    东京工业大学2020年本科入学考试的一个问题就是问空间n刀最多分成几个区域,也就是本文的蛋糕数。但是后面还有两问,一个是第二多能切多少块,还有一个是第三多能切多少块。其中第三多的有个例外,反正我连答案都看不懂

  • dio

    老粉喜极而泣!

  • Beni

    因为一般不切甜甜圈

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