让你看到函数图象在无穷远处的样子

y = x2 似乎把 y = x 远远地甩在了后面,但为何当 x 无穷大时,二者能同时到达无穷?当 x 从有限大变为无限大时, 1 / x 的函数值是怎样慢慢变成 0 的? y = ex, y = xx, y = x! ,谁的函数值最先接近无穷? y = ln x, y = x · ln x, y = √x ,谁的函数值最后接近无穷?下面这个有趣的方法能直观地展示出函数图象在无穷远处的样子,进而回答刚才这些看似毫无意义的问题。

当 x 从 -π/2 连续地增加到 π/2 时, x 的正切值将会从负无穷连续地增加到正无穷。因此,为了展示出 y = f(x) 在无穷远处的样子,我们可以画出 tan(y) = f(tan(x)) 在 (-π/2, π/2) × (-π/2, π/2) 上的图象,也就是 y = arctan(f(tan(x))) 在 (-π/2, π/2) × (-π/2, π/2) 上的图象。最后得到的结果是什么样的呢?让我们一起来看看吧。

34 条评论

  • 喝水小熊

    赞,相当巧妙的视角

  • ccr

    非常喜欢,但是好像还是没解决我心中的疑惑:关于“倒数函数”(负指数函数,比如指数为负1的y=x^(-1)函数)的两个疑惑:1.为什么它的”收敛“速度可以那么快,自变量从(0,1]就可以让函数值从无穷大缩小到1,这个速度应该超过了任何正自然数指数的指数函数和幂函数了吧。。。
    2,对于一般的常用的连续的函数y=f(x),若刨除 其定义域与值域 中的零点,令y=g(x)=1/(f(x)),则f(x)与g(x)的函数图像有什么直观或者内在的联系吗?还是说存在某种意义上的”对称性“
    因为最近一直在考虑有关指数函数和幂函数的问题,特别是在脑海模拟曲面 y=x^z (x,y,z均为实数 且xyz不=0)的过程,沿着z轴,当z=2,z=3…时,截面图像表示了幂函数;沿着x轴,当x=2,x=3…时,截面图像表示了指数函数;沿着y轴,当y=2,y=3…时,截面图像表示了指数为倒数的指数函数。。。
    因而,无论是从直观又直白的定义式上看,又或者是从具体直观的图像上看,幂函数与指数函数都是可以部分或完全的统合的。当然,这些只是最粗浅的直观的垂直切片,如果是斜着的截面或者是特定曲面的投影或交集则我还远远未知。希望能够有这么一天能实现曲面 y=x^z 的模拟以及其多种截面图像与曲面投影或交集。

  • 多少多少

    想知道坐标轴收缩的量级?。

  • 我爱五子棋

    终于更新了!

  • 匿名

    为什么e^x和x!在tanx=0时纵坐标的值不相等?

    • admin

      非常抱歉,我错误地将 gamma 函数当作阶乘来使用了。现在图片已经修正过来了。

  • Simon

    在趨於無窮時,x^x>>x!>>e^x.
    這個現象在圖像當中無法表示出來。
    雖然他們都趨向於無窮,但速度有著天壤之別。
    事實上這三個函數值的差距也會趨於無窮。

    • Melissa

      This is what we need – an insight to make eveyorne think

    • carinsurance

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  • yxc

    y = f(x),tan(y) = f(tan(x)) ?
    => tan(f(x)) = f(tan(x)) ?

  • antior

    那么这是怎么画出来的呢?
    很好奇

  • 计算机笑了

    可不可以用球极投影的方式把无穷平面上的函数图像变成有限球面上的图像?另外,文中的几张图中在(-π/2,+π/2)×(-π/2,+π/2)之外的函数图像对应的是函数y=f(x)在哪里的图像?

  • fishzz

    突然想到一个问题,无穷大的比较。可不可以从这个图像上直观体现出来不同级的无穷大的比较方法

  • 徐豪杰

    怎么画这样的图

  • 晓而不羽

    这让我想到了 Kruskal 度规

  • Roc

    感觉无穷大的时候并不相交

  • w_2014

    那几个”相交“的图是因为对坐标取了对数(看坐标轴会发现不均匀)后导致的两个图像互相趋近
    【不介意我试试吧1】

  • 胡橙

    弱问个问题,这些函数图像是用什么软件画出来的? Mathematics 吗?

  • qd li

    这种做法视不同函数的无穷大为相等量进行压缩,但明显无穷大是不等的,这种做法可观察不同函数的增长速度,仅此而已,无其它意义呀!

  • Sukazyo

    原来函数无穷大也可以画出来啊
    这么看的话所有无限定义域函数好像都可以相交于无限了

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