趣题:竞技场里的狮子能否保证抓住最高速度相同的小明?

小明和狮子同被关在一个半径为 10 米的竞技场里,狮子位于竞技场的圆心处,小明则在距离圆心 1 米的地方。两者的最大运动速度都是每秒 1 米。狮子有没有什么必胜策略,使得不管小明怎么跑,它总能在有限的时间里抓住小明?

根据 MathWorld 相关词条的描述,这个问题是由 R. Rado 在 1925 年时提出的。一个经典的“答案”是,狮子只需要始终保持自己与小明在圆盘的同一半径上即可。直觉上看,由于狮子总是处在“内圈”上,因而不管小明跑到了哪里,狮子总能轻松地与小明继续保持在同一半径上;并且,狮子总有足够的余力向小明靠近,严格减小它与小明之间的距离,除非小明是沿着半径方向径直向外跑。由于竞技场的大小是有限的,小明不可能无限地向外跑,因而狮子最终总会追上小明。但是,后来人们发现,这个解法其实是错误的,原因很简单:能不断靠近小明,不一定就能在有限的时间里抓住小明,正如 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … 永远不会超过 1 一样。最终, A. S. Besicovitch 为小明构造出了一个极其巧妙的策略,使得狮子无论如何都抓不到小明,从而完美地解决了这个问题。不过, MathWorld 的词条里并没有提到这个解法。你能想到这个解法吗?

 

 

 

 

 

 

A. S. Besicovitch 为小明设计的策略如下。游戏开始后,小明首先把接下来的时间分成一小段一小段的,这些时间段的长度依次为 t1, t2, t3, t4, … 。不妨把竞技场的圆心记作 O ,把小明当前的位置记作 M 。每个时间段开始的时候,小明都会看看此时此刻线段 OM 的位置,并且沿着垂直于 OM 的方向,以最高速度往没有狮子的那一侧跑去(如果狮子的位置恰好位于 OM 所在直线上,则向任意一侧跑去)。容易看出,不管在哪个时间段里,狮子都不可能追到小明。如果把第 i 个时段结束后小明与圆心的距离 OM 记作 ri ,那么由勾股定理可知:

ri2 = ri-12 + (ti · 1)2 = ri-12 + ti2

其中 r0 = 1 。

因此,当 t1 + t2 + t3 + … + tn 这么多的时间过去以后,小明与圆心的距离 OM 满足

OM2 = rn2 = 12 + t12 + t22 + t32 + … + tn2

最巧妙的地方来了。令 ti = 1/i ,那么 t1 + t2 + t3 + … 是发散的,但 t12 + t22 + t32 + … 却是收敛的。具体地说:

   t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + …
= 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + …
> 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/16 + …
= 1 + 1/2 + (1/4) × 2 + (1/8) × 4 + (1/16) × 8 + …
= 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + …

它显然可以达到任意大。而

   t12 + t22 + t32 + t42 + t52 + …
= 1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + …
< 1 + 1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) + 1/(4×5) + …
= 1 + (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + …
= 1 + 1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + 1/4 – 1/5 + …
≤ 2

因而 OM2 始终不超过 1 + 2 = 3 , OM 的长度也就始终不超过 √3 ≈ 1.732,这远远小于竞技场的半径(事实上, OM2 的极限是 1 + π2 / 6 ,可以算出 OM 的极限约为 1.63 )。这说明,不管时间过去了多久,小明始终在坚持运动,并且运动路线始终在可活动范围以内。既然每一个时间段里狮子都无法抓到小明,狮子自然也就永远抓不到小明了。

题目和解答最早应该出自 John Littlewood 的 A Mathematician’s Miscellany 一书当中。图片中的小狮子图标来自这里,小明图标则来自这里。题目里的“策略”一词缺乏形式化的描述,这使得本文的内容非常不严谨,同时还会引发很多其他有趣的讨论,感兴趣的读者可以见这里

46 条评论

  • dr what

    看了眼题目,先想想……

  • 菜鸟浮出水

    这是我第一次自己动手得出m67题目的结论。。。

  • YangZX

    小明的反应速度已经超神了

  • 游戏王

    开学了】

  • 一直期盼

    阅读+补脑

  • 甜心

    在游戏开始之后小明第一时间以最快速度向竞技场边上跑,到边上之后沿着竞技场边跑(假设狮子是随便跑),那么狮子追上小明的概率将无限接近0!!!!!!!!

  • DL

    做成GIF动画真是太可爱了!

  • so

    所以半径至少要多大小明才有胜算

  • littlelittle

    @ so, 只要半径大于1即可,t_i 取成相应的 c/i.

  • Greg

    我今天中午花了一点时间思考这个问题,后来得出一个错误答案。说错误是因为我误以为狮子是愚蠢的(即永远只朝着小明当前位置沿直线奔跑)。所以如果狮子是愚蠢的,我的这个答案应该是可行。具体内容见:http://goooooouwa.tumblr.com/post/96522230982

    • Shiyun

      同学,话说你的这个答案和你的假设也不一致欸……不知道你在开心什么,在你所谓的策略圆上狮子沿着切线跑,并没有朝着人跑呀。朝着人跑方向应该是沿着连接狮子和人的弦跑才对呀,你假设的这个狮子也有点太蠢了吧。

  • Crowxjy

    若狮子神预判,即一直沿着图上三角的斜边跑,在t2时就已经追上了可怜的小明了

    • dcr

      不对吧,小明每段时间有个判定的,所以狮子是无法预判的(小明会看哪边没狮子)

  • Alex Zhu

    小明的方案很精彩,完全能理解。还想继续请教一个问题:1+pi^2/6 应该是当tn=(1/n)^2时的极限半径, 小明真正意义上的极限半径应该能到多小? 我感觉是1+epsilon就够了,但没法想象出来。

    • one is enough

      one as the distance is is enough

    • Shiyun

      1显然就足够了吧,按照答案的这个逻辑,在策略开始的时候,小明只要朝着圆心跑一小段距离,再按照策略进行,就完全可以把活动范围限定在半径为1的圆里面吧。

  • icyber

    没想到狮子要保持和小明在同一半径且抓到小明需要的时间是无限的啊!如果调整狮子和小明的速度,结果会怎样?

  • scsi

    很牛,還真是解出來了。
    我以前畫著圖也猜想過:追到與追不到的臨界點,應該在於兩者速度相同時。
    就是不懂如何寫較嚴謹的推論。

  • 非乌龟

    “容易看出,不管在哪个时间段里,狮子都不可能追到小明。”这句话有怀疑。我觉得并不“容易”看出,这里需要补充证明的。

    反之,要是能证明上述策略必然导致在某一个时间段内狮子可以追上小明,那这个策略就失败了。

  • 非乌龟

    哈哈,不好意思,可能还是我在楼上想偏了

  • 8piano8

    可以投机取巧地想:
    狮子相对小明毫无速度优势,所以无法超越,
    只有寄希望于方向上对小明方向的相对提前角度,争取路线相交。
    但当追到接近为0时,方向已一致,此时方向优势也没了。
    小明此时只要以圆弧为轨迹,狮子只能永远跟着小明的后脚跟。
    没有超越或相交就没有抓到。
    既然题面说到的是最大速度,
    狮子想再获得方向优势只能再通过减速留出距离。
    由于场地有限,小明为不被狮子判断出自己的方向,
    也可以先不动,狮子接近了再跑。
    所以理论上狮子永远抓不到小明。

  • rmy

    有点假。。。应该规定小明离狮子0.01米时会被吃掉。。。这样就没问题了。。。小明还有必胜策略么?

  • 源骏

    这个是不是跟哪个 阿基米德 跑不过乌龟有点类似

  • 90Percent

    不知哪位可以解釋一下為什麼“不管在哪个时间段里,狮子都不可能追到小明“,另外,為什麼可以令Ti=1/i呢?

    • smoothcactus

      在任何一个时间段里,小明都在做直线运动,如果在这条直线上的某一点,狮子追到小明,则意味着狮子到这一点的距离要等于小明到这一点的距离。那么狮子,小明和汇合点(或者说丧命点)应该构成一个等腰三角形。但明显狮子到小明和小明的前进方向成钝角,所以这个等腰三角形是画不出来的。

      注意这个解答里面,直到最后一步,这个方案都是没有把自己限定在这个半径10米的圈内的。如果令ti等于无穷大,即小明一直延同一个方向跑下去,狮子也是一直追不上的,当然跑不多远小明就出圈了。所以在最后一步,对ti加以构造,使得这个方案可以在不断调整的情况下,可以令时间一直增长下去,而小明能够一直不出圈。构造方法就是令ti=1/i.

      这个方案实际上是让小明逐渐的跑一个向外扩展的螺旋形状。逐渐的小明会需要原来越来越快的调整方向(1/i秒).但是小明的螺旋会越来越密,而有一个半径极限。

      所以上面那个说one is enough的也是错的,人家明明说1.63 is enough

    • 苍烟波暴揍买买翔

      ti为什么可以取1/i?因为取1/i的话sigma1/i也就是时间的累和是发散的,也就是说总时间可以是无穷的,而此时sigma1/i^2收敛且极限小于竞技场半径。所以就显而易见了。

    • bacTlink

      1是够了。
      1.63是ti取1/i的时候最后收敛于这个圆。
      这个ti其实意思是,小明看看狮子的位置,觉得下一个ti的时间应该往哪里跑。
      如果ti取无穷小,也就是小明不间断地看狮子的位置,那么小明可以看是一直在圆上跑,方向由狮子的位置决定,狮子仍然追不上。

  • espin

    那狮子采取这样的策略, 总是使自己在小明与圆心的连线上不就能追上了吗.

    • luo071910

      文章中已经证明:虽然狮子可以总是使自己与小明在同一半径,并不断靠近,但永远都追不上。

  • morrowind

    最早的那个解答,狮子确实能与小明始终保持在同一条半径上,且在径向不停的靠近小明,但想当然的认为这种靠近在有限时间内能达到。实际情况是这种径向的靠近随着两者距离的接近在加速变慢,导致最后所需时间发散。

  • YTed

    根本就是阿基里斯和乌龟赛跑,前提是能无限细分时间,只要存在一个不能继续细分的时间片下限(迈出一步的时间),那么狮子就能追上小明,可以这样理解吗?

  • bacTlink

    半径1的情况http://162.105.80.206/eecs2014/1400012775/20141128/Lion.html

  • zy498420

    这个答案假设小明太聪明而狮子太愚蠢了。只需要狮子每一瞬间都保持相对于小明方向的速度分量最大化,轻松就把小明给抓住了。实际上是个逻辑悖论,都把对方视为参照物,和时间无限可分得出来的悖论。小明认为自己一直可以垂直于2点连线跑,狮子认为自己可以一直沿2点连线跑,需要解一个微分方程来求解2边的移动曲线。

  • Leah

    如果小明直接绕圆心做半径为1的圆周运动,会在绕1/4的圆周后被抓住,狮子的运动轨迹是半个圆弧
    高中物理竞赛题

  • A盘

    两个解法出现两种不同的答案,关键是:小明开始运动的时候,狮子是否可以同时开始运动。
    我一看到题目,就想到了猫在圆形池塘边抓老鼠的问题。

  • CodeFarmer2001

    难道最省事的办法不是狮子往圆心一站,等小明跑个半死之后再去抓小明么。。。

  • gu_castle

    这个问题吧,我觉得是个动态逻辑问题。你考虑一下小明和狮子仅分别知道对方的位置;仅知道位置和速度;仅知道位置速度和加速度等等情况,我觉得没有这么简单可以解决。。。

  • jerry

    这个违反物理规律啊,速度是不能突变的

  • .,.,ujk

    还有爪子呢。

  • .,.,ujk

    当距离小于爪子长度时不就抓到了吗?

发表评论