经典证明:pi^2是无理数

    Proofs from THE BOOK的第六章相当精彩,这一章循序渐进地介绍了多个无理性证明。先证明e是无理数,证明方法和高数课本上的基本相同;试图用类似的办法证明e^2也是无理数时,这一章的内容开始牛B了起来,一些巧妙的变换就让原来的办法继续适用于e^2的证明;加上一些更有趣的技巧,我们还能继续证明e^4也是无理数;当证明对除0外的所有有理数r,e^r都是无理数时,全章达到了高潮。
    这一章还提到了pi^2是无理数的证明方法。这个证明建立在Ivan Niven于1947年提出的“pi是无理数”的经典证明的基础上:仅仅是在原证明过程中加了一些微妙的变化就得到了pi^2也是无理数的结论。注意到,“pi^2是无理数”是一个比“pi是无理数”更强的结论。由于有理数的平方还是有理数,因此证到了pi^2是无理数也就说明了pi必然是无理数;但反过来却不行,因为无理数的平方不一定也是无理数,比如根号2的平方就不是无理数。

    证明过程用到了一个函数,其中n是一个任取的大于等于1的常数。可以想像,这个函数的分子部分展开后是一个关于x的整系数多项式,最低次数为n,最高次数为2n。我们将用到这个函数的两个性质:首先,当0<x<1时,显然有0 < f(x) < 1/n!;其次,函数f及其任意阶导数在x=0和x=1处都是整数。为了证明后一个结论,首先注意到当x=0时,不管是多少阶的导数,除了常数项以外其余项都是0;常数项只可能在n<=k<=2n时出现(k表示k阶导数),但此时它等于一个整系数乘以k!/n!,显然也是个整数。另外,由于f(x)=f(1-x),根据复合函数的微分法我们立即得到对任意x都成立,当然也就有


    下面我们用反证法来证明,pi^2不是有理数。先假设pi^2=a/b,然后我们将推出一个荒谬的结论。定义函数
      

    这个函数有一个有趣的性质:
      

    由于
      (最后一步依据我们的假设)

    定义一个数N,于是有
      

    而由前面的引理,F(0)和F(1)里的每一项都是整数(由于假设pi^2=a/b,所有的pi都和外面的b^n相乘化整了),因此N=F(0)+F(1)也是整数。
    但是当x∈(0,1)时,被积函数是恒正的,并且根据前面的引理f(x)始终是小于1/n!的。于是有
      

    我们的n是可以任取的,显然n可以足够大以使得(pi*a^n)/n!<1,此时0<N<1,这与N是整数矛盾。

19 条评论

回复给 sunqian1998 取消回复