两个与无穷级数有关的悖论

    我们想要计算无穷级数Σ(1/n)*(-1)^(n+1) = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 …。首先我们需要说明,这个无穷级数是收敛的。注意到,从1的后面开始,每减去一个数后紧接着都会加上一个比它小的数,因此不管你加到哪儿,它的和始终不会超过1;另外,从1-1/2之后开始,每加一个数紧接着都会减去一个比它小的数,因此无论加到什么位置,整个和始终大于1/2。这说明,这个级数是收敛的,并且它收敛到1/2和1之间的某个数(事实上这个数是ln(2) )。

    好了,令这个无穷级数为S,现在对S进行这样的变换:

S = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 + …
  = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …) – (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …)
  = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …) – (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …) – (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …)
  = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …) – 2 * (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …)
  = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …) – (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …)
  = 0

    但刚才不是说了S是大于1/2的么?这怎么可能呢?


    刚看到这个问题后,立即想起Eagle Fantasy也提到过一个类似的问题。同样令

  S =   1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 + 1/7 – 1/8 + …  ①

    ①式两边同时乘以1/2,有

S/2 = 1/2 – 1/4 + 1/6 – 1/8 + 1/10 – …  ②

    ①式和②式相加有:

(3/2)*S = 1 + 1/3 – 1/2 + 1/5 + 1/7 – 1/4 + 1/9 + 1/11 – 1/6 + …  ③

    比较①式和③式,它们的项竟是完全相同的,①中的所有项在③里都有,③里的每一个项也在①中出现过。你会惊奇地发现,仅仅是交换了项的顺序,整个无穷级数居然变成了原来的3/2倍!

    这两个例子告诉我们,在无穷级数里,加法的交换律和结合率是不能乱用的。无穷级数的“和”不是一个普通的和,本质上是一个极限,是一系列“部分和”S1, S2, S3, …, Sn, …的极限,这显然已经超出了交换律和结合率的适用范围。最近我们高数正好学到无穷级数,我仔细看了一下一些无穷级数基本性质的叙述和证明。整个体系是相当严密的,每一步证明过程都充分利用到级数和极限的定义。

37 条评论

  • greensea

    很高兴我在有穷的时间内坐上了沙发 ^ ^

  • ziliang

    具体数学有说过这个问题啊

  • pchu

    咳咳咳……结论是无比正确的,不能乱交换求和顺序……不过……
    开头是不严谨的,改变求和先后次序(加小括号)也不能随便的……
    如果可以像你这样审敛,那么 2 – 3/2 + 4/3 – 5/4 + 6/5 – … 也收敛了……不过呢,只要加个条件(一般项趋零),根据已被严格证明的莱布尼茨审敛,就没问题了。
    1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 +…也是个很好的例子呢

  • dahe_1984

    哦 以前学高等数学的时候还真没注意过.

  • rmq

    又学到了,居然以前学高数的时候都没注意过

  • Freeze

    第一次在您的blog上看到一篇我看过的东西……

  • tangbb

    数学分析里强调过条件收敛换顺序可能改变级数的和

    • Terry

      niin totta mitä turiset:)kun ulkona sataa kaatamalla on ihana polttaa kynttilöitä ja fiilistellä joulua.niin lyhyt on se aika vuodesta kun joulua juittiaanhlsellä ainakin se loppuu heti uudenvuoden jälkeen.:)

  • Satily

    啊~~~米见过滴说~~~Orz~~~

    • Tangela

      Caro Rui,Tenho acompanhado o seu trabalho a par dos seus colegas Silvio Fortunato e Jorge Salgado, e são de facto inspiradores. Não pertenço a nenhuma empresa de mmm e também não tenho site. Pretendo ganhar dinheiro com a internet e fazer um e-book. Sugere que comece por este seu ultimo trabalho ou deverei iniciar-me pelo magnet syeAsm?ttenciosamenteMafalda Augusto

  • sqybi

    什么是数学上似乎有类似的东西?

  • Freeze

    突然想到,这类收敛叫作条件收敛,和绝对收敛相对

  • hetong_007

    我初中就看过了……
    有一本好书 叫做 《数学魔法》
    上面有好多的东西 虽然浅了一点 但是我就是初中看了这本书从而喜欢上数学的~~

    • Kelli

      Not just the Netherlands. I live in NYC and recently some fuckng A-rab started talking about gas chambers while nodding his head in my direction while we were in line at Mcs0oaldD.&#822n;Looks like we have another one for the gas chamber. Better make room in the gas chamber, better shove the dead old lady aside to make room…”This was last year in NYC a mile from ground zero.This is NOT just happening n Europe.

  • kyant

    看来已经有人回答了,如果一个级数是绝对收敛的,则可以任意重排级数,它的和不变。但如果一个级数是条件收敛的,则我们可以重排级数使得它的和为一个任意的数

  • 3fen

    重排条件收敛级数可以在任意值收敛,也可使其发散——这东西第一次看到的时候非常惊奇,觉得有什么神秘的东西藏在“无限”里面…

  • hxl268

    中学几百年重大错误:y =x+1的定义域含一切实数

    ——推翻数学公理

    黄小宁

    通讯:广州市华南师大南区9-303第二信箱 邮编510631

    如[1]所述:“对于任何一个自然数n都有自然数y =n-1< n”是病句:有自然数y n”——自然数公理也是违反语文常识的重大病句:有自然数y>任何(所有)自然数n。起码数学常识:说

    y= n+1>n =1,2,3,…,…(y∈正整数集N)

    中的自变量n可由小到大、一个不漏地遍取N的一切数,即说式中数列包含N的一切n,显然就是说代表N内数的y可一个不漏地遍比N的一切数都大,即说N内有数y > N的一切数——重大病句!关键是最起码数学常识:代表N内数的y可>式中数列的一切n。

    可见如[1]所述y= n+1>n=1,2,3,…的定义域D(D各元n都有对应数y= n+1∈N)之外必至少还有一自然数n使其后继n+1不∈N。

    代数,就是用字母代表数。“任何实数x”与“x=任何实数”都表示x可取任何(一切)实数,任何实数都可由此x代表。

    y=y(x)<x=任何正数一目了然地直接表达y必可x中的x代表任何实数,那就是说此式所代表的内容之一:有实数y>任何实数——重大病句。

    当然,缺乏起码语文常识是无法理解数学表达式所表达的内容的,从而只会鹦鹉学舌根本不能学懂数学。

    有傻瓜相机也有傻瓜数学:据语文常识,实数公(定)理“对于任何一个实数x都有对应实数y =x+1>x”非常明确地表示有实数y>任何(所有)实数x;说y=x+1>x中的x可取1,2,3这3个数就是说y可>这3个数,说x可一个不漏地遍取一切实数即y 的定义域包含一切实数,就是说代表实数的y必可一个不漏地遍比任何实数都大——重大病句。要害是对数学表达式所表达的内容不能只有一知半解的肤浅认识。这纯粹是一个语文常识的问题。

    因此不论是文科生还是理科生,凡稍有一点头脑的人都能一教就明上述事实:自有直线函数概念几百年来一直公认的“y=x+1>x的定义域含一切实数” 即实数公(定)理,其实是几百年重大错误。不明此真相的数学教师以讹传讹误人子弟。

    获中国教育学会一等奖的文献[1]论证了:变量与变量之间也是有大小数量关系的,y(x)>(一切整数的序号数n

  • Palmtenor

    Riemman引理……不值得叫什么悖论
    话说你今天对校内的感觉如何?

  • Fox

    个人认为这个证明并不是正确的(针对第一悖论)
    诚然该无穷级数的确收敛
    但是1+1/3+1/5+1/7+…与1/2+1/4+1/6+…并不是收敛的
    那么你所写的等式其实是
    s=1-1/2+1/3-1/4+…(运用极限的唯一性)
    =limit(sum(1/(2*i-1),i=1..k)-sun(1/(2*i),i=1..k),k=infinity)
    =limit(sum(1/i,i=1..2*k)-2*sum(1/(2*i),i=1..k),k=infinity)
    =limit(sum(1/i,i=1..2*k)-sum(1/i,i=1..k),k=infinity)
    =limit(sum(1/i,i=(k+1)…2*k),k=infinity)
    何悖论之有?

  • Harok

    居然有妇科医院的广告,晕了

  • pchu

    to Fox:
    求和上界k有问题哈,有一步要变成k/2的……

    to 黄小宁:
    强人找到这里来了,这么多年了真是毫不气馁兼冥顽不灵啊……

  • 一个喜欢闲逛的

    回 #19,当年也看过这个…… 实在是想让他好好看下数学所有公理……

    回 #地毯,一般项趋0 似乎也不能保证…… 1 + 1/2 + 1/3 + …… 就是一个例子…… 难道说我理解错了?

  • 高斯二代

    数学这么菜还好意思在这说是悖论?这个方法我也研究过,我知道错在哪里,问题就出在求和以后偶数的个数和整个的个数是不同的,这个一样可以得出答案是In2,数学没学好就不要来这丢脸了。

  • 高斯二代

    数学这么菜还好意思在这说是悖论?这个方法我也研究过,我知道错在哪里,问题就出在求和以后偶数的个数和整个的个数是不同的,这个一样可以得出答案是In2,数学没学好就不要来这丢脸了。

  • iceberg

    火星的东西容易招惹火星人……
    不过……“因此不管你加到哪儿,它的和始终不会超过1;另外,从1-1/2之后开始,每加一个数紧接着都会减去一个比它小的数,因此无论加到什么位置,整个和始终大于1/2”这句话貌似不严谨。有一些级数的部分和可以在两个有限数之间振荡的。

  • supersnowbird

    位置是不能随便交换的……

  • sunchy321

    @高斯二代

    你亮了

    整数的数量和偶数的数量是一样多的

  • 4

    S
    =1-1/2+1/3-1/4+…i1
    =(1+1/3+1/5…i1)-(1/2+1/4+…i1)
    =(1+1/3+1/5…i1)-(1/2+1/4+…i1)+(1/2+1/4+…i1)-(1/2+1/4+…i1)
    =(1+1/2-1/3…i1)-(1+1/2-1/3…i0.5)
    =(1/i0.5+1/i0.5+1/i0.5+…+1/i1)

  • cervelo jersey

    数学分析里强调过条件收敛换顺序可能改变级数的和

  • UnderControl

    大错特错!倒数第二个式子应该写成:
    (1+1/2-1)+(1/3+1/4-1/2)+(1/5+1/6-1/3)+(1/7+1/8-1/4)+……计算可得Sn=ln2
    知道区别了么,一个数乘以无穷还是无穷,所以级数的交换律和结合律必须要一项一项的对应好来交换和结合,就不会有问题了,我经常做这样的变换,十分直观!楼主别误导了大家啊!

  • 20130925

    初级四则运算 不能用于无穷数计算吧?

  • 没有悖论

    根本就不是同一个级数,因此也就谈不上交换。
    在任意有限的范围内相同,不意味着在无限的范围内也相同。

  • Buck

    OH MY GOODNESS!!!! I must acquire one of those Q&A books for myself! There are few things in this world I must have, and that is one of them. So glad yoga is going so well, Miss Appearing Advanced.And Panera – oh, how I love that place. It’s partly the food, partly the beverage, and mostly the atHeophers.mave a great weekend!

  • hhhhhhhh

    楼上所有的都是错的
    菲赫金戈尔茨在微积分学教程里明确说了这是为什么
    “利用发散级数的计算及其在无穷和上的作用可以导致悖论”
    他举了两个例子其中的一个就是这个

  • 黄小宁

    小学起码常识凸显发散级数1-1+1-1+…=0
    ——配对图让几百年都无人能识的N最大元一下子浮出水面
    黄小宁

    [摘要]流传百多年使世人深信不疑的“科学”共识“发散级数1-1+1-1+…≠0”其实是违反数学、逻辑学最起码常识的错误。“无穷旅馆”图使中学生也可看图识:N={0,1,2,…,n,…}有末项(自有函数和无穷数列(集)概念几百年来一直有共识:N无末项),表明集N的任何真子集的元都必少于N的元。所以须重新认识级数论。中学应有的数列最起码常识凸显N各偶数n=2q的对应数q的全体Q={0,1,2,…,q,…}只是N的真子集,几百年的初等数学“常识”:Q=N使人推出错上加错的违反逻辑学最起码常识的病态“魔术”:仅通过改变数列N中各数之间的前后位置就可使N中无穷多偶数都凭空消失。
    [关键词]推翻百年集论; N最大元;须重新认识级数论
    国家非常重视科普工作。面向大众的科普书若有以讹传讹的错误则其影响是极其重大的,明知有误导人的错误却掩盖此真相,不是真正热爱科普,恰恰相反,…。读书的科普知识:学习前人知识是为了见前人所不能见以创造出前所未有的知识(杰出人才的特征),而非为了简单重复前人认识和应付考试。注:现在是互联网时代,俄罗斯一数学家获百万奖的论文只是发表在网上而没在纸质期刊上发表。一科普文正确与否完全由该文的内容本身决定而非由其是否在某杂志上发表、是否取得共识决定;这应是科学常识。当然看不懂科普文的外行只能由该文本身以外的因素来判断…。
    科普书《无穷的玩艺》(朱梧槚等译,南京大学出版社,1985)125页:级数1-1+1-1+1-1+…。如果改变运算次序并把这些项成对组合起来:(1-1)+(1-1)+…,就得到一个仅以0构成的级数。此科普知识基于这样的共识:任一无穷级数的偶数项与奇数项必可一一配对;其实这是违反数学、逻辑学最起码常识的错误。小学起码常识凸显应有h级数常识:若无穷级数j的正数项与负数项可一一配对成一对对项且各对项的和均=0则j必=0。
    一、关于数列的预备知识
    同一字母x可代表各不同的数,同样为简便起见本文中同一字母(例A)在此场合代表某集,在彼场合可代表另一集,其余类推。设集A={x}表A各元均由x代表,相应变量x的变域是A;F={(x,y)}表F是由有序数对组成的数对集;挖去数对(x,y)中的y就留下一“单身”数x。本文将序列的首项编为第0号项且设在某些时候可将序列(集合)中的某些逗号省略。数列{an}各数an均均在第n号位。各点(数)按规定进入各指定位置才能形成一点集(数列)A,挖去A一个点(数)就留下一个“洞”(空位),从而使数列A变为有空位项的“有空位数列”,挖去A一切点(数)就留下一空位集(序列),设一位只能容纳一数。没空位的数列A各数任意改变前后位置后就形成≠A的数列了,故A是由数与容纳数的位置两部分组成,A一个项有两要素:一个数与其所在位置,缺少哪一要素都不能构成一个项;A一数移动到别的空位内与其组成一新项≠原项。所以相应各数an与各位置序号数n一一配对才能构成一没空位数列。
    A={(1,2)(3,4)}既可表示两个元的数对集也可表示四个元的数集,当A以数(数对)为元时A就是数(数对)集,同样…。无穷数集J中每两个数都用括号括起来不能使J变为别的数集,正如张三穿上棉衣不能使其变为别的人一样(魔术是以假乱真),若J由一对对数组成则J各数都能在括号内,否则必有数在括号外而成单身数。同样…。显然当且仅当J由一对对数组成时才能成为数对集。数列(集)N={an=n}={0,1,2,…,n,…}(N中偶数与奇数可一一配对)中的偶数n=2q和奇数n=2q+1是相邻的两个数,将其用括号括起来得数列N′={(0,1)(2,3)……},这一加括号变换中N各数始终固定不变地在原位置上,项还是这些项,没有增或失项;据数列定义加(脱)括号前后的数列是同一列即N′=N,正如张三穿上(脱下)棉衣后还是张三一样。同理,相应的级数(0+1)+(2+3)+…(括号内有两个项)脱括号后还是原级数。
    二、中学生都能一看就明的极浅显道理凸显{0,1,2,…,n,…}有末项——数列最起码常识d否定中学函数“常识”和百年集论
    挖去数对序列N={(0,1)(2,3)……}的偶数0得N的子序列
    N+={(0号空位,1)(2,3)(4,5)…}
    是既有数对又有“单身”奇数1的混合序列,一偶数n与奇数1配对,n的原“配偶”就成一新单身奇数,故N+中偶、奇数无论怎样重新配对后都保持有一单身奇数从而使N+不能成为数对序列。为什么?因N+中奇数比偶数多从而使N+各数不可两两配对。N+中偶数n=2离开原位前移改与单身的奇数1配成新数对(2,1)的同时2的原配偶3就成一新单身奇数在新数对的后面,一偶数前移改与单身的奇数配成新数对的同时必生一新单身奇数在新数对的后面,这是一对一的。所以N+中各偶数都前移到其左邻括号内改与括号内奇数配成新数对后必有一新单身奇数在一切新数对的后面从而形成{(2,1)(4,3)(6,5)…}中必有一单身奇数在一切新数对的后面——说明有首项的无穷数列也可有末项,关键:各数任意改变前后位置不能使N+中偶数变多(少)也不能使奇数变少(多)。变数n取自然数∈N。有一空位的数列N+包含N一切位置,N+一数n前移到0号空位内与其组成一新项的同时n原所在位置变为新空位而处在新项的后面,这说明N+一切数不能布满N+一切位置,原因显然是数比位置少;所以N+各数 n≥1前移一格到n-1≥0号位内与其组成新项后必有一新空位处在一切前移了的数的后面而形成有末项的{(1,2)(3,4)…,(Ω-1,Ω号空位)}。人有逻辑推理能力,科学“慧眼”能洞察N+中有肉眼不能察觉的末项。没思维望远(显微)镜从而目光太短浅的“肉眼”数学一直被无穷对象中的假象迷惑,就如幼稚小孩以为魔术师真能无中生有那样。“一空位变为非空位的同时必生一新空位”说明挖去数列N部分数,剩下的数就不可布满N全部位置,原因显然是数比位置少;这说明同样是无穷序列,此列的项可多于彼列的项。不识Ω使世人误以为N+中偶数与奇数可一一配对从而使N+也可成为数对序列(集)。
    注:若给数列A增项则必使A变为B≠A,所以不断增项(元)的数列(集)是不断变化的非固定数列(集)。数,有固定数与变数之分;数集,有固定集与变集之分(集随元的变化而变化),固定集的元是固定不变的,不可有任何的增减元。
    1-1+1-1=0+0中等号左边有两个1及两个-1共4个数相加。N′={(0,1)(2,3)……}各偶数都变为1,各奇数都变为-1就使N′变为D={(1,-1)(1,-1)……)。由D得相应的数项级数w=[1+(-1)]+[1+(-1)]+……=0+0+0+…=0(这里有两个级数:一为各项都是1或-1的级数w=0,另一为各项都是0的级数。)中的中括号内有w的两个项:1和-1。w=(1-1)+(1-1)+…=0前3项的和=1-1+1=1,前4项的和=1-1+1-1=0,…。可见w是发散级数。如[1]所述给定的级数w的项的多少是一定的,若将其两(或三、四、…)项的和作为一项得w′就非原级数w了。百多年前有了极限论就有“级数是有发散与不发散之分的”。各项都≠0的级数与各项都=0的级数有根本区别。因级数论有“发散级数不能表示数”故其说w=0就是将发散级数w=0说成是各项都=0的非发散级数0+0+0+…=0,这是概念性错误。详论见[1]。注:参见下节,小学起码常识c凸显级数w=0中的部分1与全部-1不可一一配对。
    同理,发散级数-1+(1-1)+(1-1)+…=-1+0=-1。显然各项都是a≠0或-a的交错级数y=a-a+a-a+…若=(≠)0则必表明y中的a与-a可(不可)一一配对。中学应有的
    数列最起码常识d:数列A各数任意改变前后位置(设一位只容一数且各数只能在A的位置内)形成的新数列还由A全部数与位置组成。
    N={0,1,2,…,n,…}各数n均在第n号位内。N中1离开1号位(使1号位成空位)前移到0号位的同时0可后移到1号空位内,…。所以N各奇数n=2q+1可保序前移到q(=0,1,2,…)号位(即各奇数2q+1改与q号位配对),而各偶数n=2q可保序后移到空位内得数列M={1,3,5,…;0,2,4,…}(注:不是所有数列都能写出通项式)。据数列最起码常识dM包含N全部数与位置从而使M中有无穷多偶数0,2,4,…均在M一切奇数的后面,所以n=2q+1中q的变域Q={0,1,2,…,q,…}只是N的真子集。然而中学的函数“常识”:Q=N,使百年集论断定M中奇数可布满N全部位置从而使M中没偶数,即说仅仅通过改变N各数之间的前后位置就可使无穷多偶数凭空消失。这违反数列最起码常识d且显然不合逻辑,所以常识d从一侧面否定了中学函数“常识”和百年集论(据常识dM中奇数不可布满N全部位置)。鲜明对比的是N各数n变为奇数2n+1得{1,3,5,…,2n+1,…}中奇数就可布满N全部位置。可见自有函数概念几百年来一直公认的中学“n(q)=2q+1的定义域Q=N”是被假N迷惑。据常识d可证N有末项,见第三节。
    三、小学起码常识c否定百年集论及百年“发散级数u≠0”
    0+0+0+…=0是数学、逻辑学最起码常识c(小学起码常识c),凡违反此常识的理论必是不合逻辑的错误理论。数列N各数n变为1得A={1,1,1,…}(A的项与N的项一样多)。A各数1变为两个数:1,-1(一位只容一数)就使A增项变为B={1,-1,1,-1,…},B可成为各项均为数对(1,-1)的数对序列F={(1,-1)(1,-1)(1,-1)……}[N有多少个元F中就有多少个1(-1)]。A={1,1,1,…}中逗号都变为加号就得无穷级数p=1+1+1+…,p各项1变为两个项的和1+(-1)=0(注!这里的和:0不是“两个项”中的项而是另一级数0+0+0+…=0的一个项)就使p增项变为交错级数u=1-1+1-1+…(N有多少个元u中就有多少个1和-1)=0+0+0+…=0,因这一增项变换等价于p各项都由1变为0,而小学生都知此变换必使p=0。1-1是1+(-1)的简写,u各项都是1或-1即各项都≠0,u=0的唯一原因是和式中的1与-1一样多即1与-1可一一配对;u是否=0完全取决于其是否“一样多”而与某极限是否存在没任何关系。u显然=(1-1)+(1-1)+…(括号内有两个项)=0,(1-1)中的1移出括号成“单身”的同时其原“配偶”-1也成单身,这是一对一的;所以去掉u中括号使其项都成单身后u中的1与-1必可一一配对,否则就不合逻辑了。所以“因u是发散级数故u≠0”是违反数学、逻辑学最起码常识c(小学起码常识c)的错误。不可削足适履地否定小学起码常识c。将u=(1-1)+(1-1)+…=0的首项去掉得
    u-1=v=(-1)+(1-1)+(1-1)+…=0-1=-1
    (v中:包含u的全部-1但仅包含部分1)。百年集论断定v中偶数项-1与奇数项1可一一配对从而使课本和科普书中认定v可=(1-1)+(1-1)+…=0,然而v=-1说明v中-1比1多且仅多一个(所以u中各-1并非都可有1与其配对),从而使1与-1不可一一配对;否定此理者无异于说v=0-1=-1可=0(常识性错误)。u-3=e=(-1)+(-1)+(-1)+∑(1-1)=-3+0说明e中-1比1多且仅多3个;…。可见小学起码常识c揭示去掉u中部分1,剩下的1与u中全部-1不可一一配对,这从一侧面否定了百年集论的“N部分元与全部元可一一配对”(N有多少个元u中就有多少个1和-1)。v=(-1)+(1-1)+(1-1)+…=-1中各1都前移到其左邻括号内改与括号内-1配成新的(1-1)从而有x=(1-1)+(1-1)+(1-1)+…+(-1)=-1,因v中各-1并非都可有1与其配对故在此x一切(1-1)的后面必有“单身”的(-1)“更无理”地成为x的末项(说明u和v都有末项);关键是v=-1说明v中-1比1多且仅多一个。继而说明u的全部-1与部分1是不可一一配对的,否定此结论及否定v有末项就=削足适履地否定小学起码常识c。小学起码常识c与百年集论激烈“打架”,不知v有末项就不能化解这一尖锐矛盾。u=(1-1)+(1-1)+…=0有末项说明u中的1与-1任意改变前后位置后各-1与1还是可一一配对。道理非常简单:-1与1任意改变位置不能使-1与1有任何增减从而不能改变“一样多”。
    u=1-1+1-1+…=0中各处在k(奇数)=2b+1=1,3,5,…号位的项-1都前移到b=0,1,2,…号位内,而各在k(偶数)=2b=0,2,4,…号位的项1都可后移到空位内从而处在一切-1的后面,因这一移位变换不能使1与-1有任何增减故移位后的1与-1必可一一配对。说仅通过改变各数之间的前后位置就可使无穷多个1凭空消失是违反数列最起码常识d的错误。
    四、看图识{0,1,2,…,n,…}有末项推翻百年集论
    数列N={n}各数n均在第n号位内,位置可用○形象表示从而可看图识革命道理:N={ⓞ① ② …ⓝ…}中ⓝ表示n在第n号位内而与该位配对成N的第n号项,即“无穷旅馆图”N中数n(可形象化为n号球员)都“住”在n号“单人房间”○内;一n前移“夺占”n′的房间的同时n的原住房也变空,故被夺房的n′可后移到空房内。将N各数挖去就得空房序列○○○…。{ⓞ① ② …ⓝ…}中1(号球员)前移夺占0(号球员)的房间变为新首项①的同时0可后移到空房内而处在①的后面,…。可见N各非0数n≥1可保序前移一格改与其左邻的n-1≥0(n≥1)号房配对成新的项,而0可后移到空房内从而处在一切新项的后面,形成有末项的M={① ② ③ …ⓞ},其中0在第Ω号房内。据数列最起码常识d,M包含N一切数从而M中必有0,而0的位置显然只能在一切非0数的后面,不能想当然地简单认定M无ⓞ项,对“无穷”须特别小心谨慎、过细,否则就要出错,凡违反起码常识d的理论必是自相矛盾的理论。数学使人推断存在海王星,起码常识d使中学生也能推断M有末项(同理可证有首项的无穷序列必有末项)。Ω显然是数集N的最大元(而与1相隔无穷多个自然数∈N)。所以流传几百年的共识“N各元n的对应数n+1、2n、…均∈N”是极幼稚的落后认识。其实y=n+1>n=0,1,2,…(数列N)一目了然地显示y可>N一切数n而取N外数——说明N各元n的对应数y=n+1并非都∈N。显然Ω及Ω±1等等都是标准无穷大自然数,其倒数是无穷小正数。发现Ω表明N的任何真子集的元都必少于N的元——推翻百年集论。可见“没标准无穷大自然数”这一中学科普“常识”其实是5000年不倒的极顽固错误碉堡,但在数列最起码常识d面前此碉堡不堪一击。人类认识自然数后的5000年里一直无人能识无穷大自然数Ω及Ω±1等使初等数学及数学科普书一直断定:各标准自然数都不可与1相隔无穷多个自然数。
    五、结束语
    详论见[1][2][3][4]。“肉眼”数学因目光太短浅、视野太狭窄从而一直被无穷对象中的假象迷惑。破除迷信、解放思想、实事求是才能创造5千载难逢的神话般世界奇迹使数学发生革命飞跃:从“肉眼”数学一下子突变成科学“慧眼”数学。王前:“当代数学大师陈省身先生曾预言:21世纪将是中国数学界在世界上发挥重大影响的世纪[5]”。
    参考文献
    [1]黄小宁。数学好玩:“玩”了个常规科学无力识破的“掉包计”——中学重大错误:… [J],中国科技信息,2010(12):55。
    [2]黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J],学周刊,2018(9):180。
    [3]黄小宁。证明数偶集{(1,2)(3,4)…(2n-1,2n)…}有最大数元——反复论证集有奇、偶型之分纠正课本重大错误[J],科技视界,2014(24):362。
    [4]黄小宁。初等数学各常识凸显中学数学有一系列重大错误——“一一配对”让中学生也能一下子认识5千年无人能识的自然数[J],课程教育研究,2017(50):107。
    [5]王前。探索数学的生命:哲人科学家大卫•希尔伯特[M],福州:福建教育出版社:1996:188。
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