盯着结论看,直到它变得显然成立为止

    很多看上去很显然的结论,其实是需要严格证明的,并且有时候证明相当困难。比方说算术基本定理,每一个数分解质因数的方法都是唯一的。这看上去几乎是显然的,但证明过程需要很多深刻的数论知识。更极端的例子则是 Jordan 曲线定理,即平面上每一条不与自身相交的封闭曲线都把平面分成了里外两部分。这几乎就是一句废话,但要想严格证明起来相当不容易, Camille Jordan 本人的证明最后发现竟然也是错误的。
    最近 MathOverflow 上有人提了一个非常有趣的问题:有那么多结论很显然但证明很困难的定理,那有没有什么结论很不可思议但证明过程却不言而喻的定理呢?

    在众人的回答中,呼声最高的就是 Desargues 定理:若三角形 ABC 和 A’B’C’ 中, AA’ 、 BB’ 、 CC’ 所在直线交于一点,则两个三角形中每一组对应边的交点(即 BC 和 B’C’ 的交点 D 、 AC 和 A’C’ 的交点 E 、 AB 和 A’B’ 的交点 F )是共线的。

      

    这个定理看上去太神奇了,大家一定会以为证明很难吧。但事实上,这个定理根本不需要证明,它显然是成立的。现在,把 P-ABC 看成一个三棱锥,而 A’B’C’ 则是一个不平行于底面的截面。由于 AB 、 A’B’ 在同一平面内,因此这两条线会相交;这个交点既在平面 ABC 上,也在平面 A’B’C’ 上,因而也就在两平面的交线上。同理,另外两个交点也都在平面 ABC 和 A’B’C’ 的交线上,因此三个交点共线。当然,画在纸上的也好,照相机照出来的也好,人眼看到的也好,其实都是一个二维图形罢了。因此,命题在平面上也是成立的(这背后的逻辑是,在立体图形的平面投影中,直线仍然是直的,共线的仍然共线,共点的仍然共点;借助射影几何的思想,我们能给出一个更严格的证明)。

    这个证明神就神在,当你悟到之后,整个证明过程不但不需要一个字,而且连图形说明都可以不用,只需要盯着原图看,结论自己就跳出来了。看来,我们又多了一种证明问题的思路:盯着问题看,直到它突然一下变得显然成立了为止。


    这让我立即想到之前讲过的不少把平面几何的辅助线作到空间去的趣题,我至少回想起了四篇日志(58194739183965)。其中好几个问题也有类似的精神,尤其是第一篇日志里讲到的第一个问题。

      

    问题很帅:平面上三个圆两两相交。试证明三条公共弦共点。

      

    利用根轴的相关性质,我们有一个非常漂亮的证明。不过,要想看出定理的正确性,远不用那么复杂。用一种新的方式解读原图后,定理几乎是显然成立的。想象以这三个圆为“赤道面”的三个球体。我们把这三个球的球心(也就是原问题中的三个圆心)所确定的平面(也就是原问题的图形所在的平面)记作 α 。注意到,每两个球面将会相交于一个圆圈,他们在 α 上的投影就是那三条公共弦。而三个球面将会交于两个点(这两个点一上一下,关于 α 对称),并且这两个点都同时属于空间中的三个圆圈。从投影的角度来看,这就是说,在平面 α 上存在一个点,它同时属于那三条公共弦。

 
      

    说到直观的证明,不得不提到下面这个经典例子。 1989 年的 American Mathematical Monthly 上有一个貌似非常困难的数学问题:考虑由一个个小三角形组成的正六边形棋盘,现在请你用右边的三种(仅朝向不同的)菱形把整个棋盘全部摆满(图中只摆了其中一部分),证明当你摆满整个棋盘后,你所使用的每种菱形数量一定相同。

      

    文章末尾提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色,整个图形瞬间有了立体感,看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面,它们的数目显然应该相等。这个证明虽然并不严格,但却深受数学家喜爱,甚至还收录进了《Proofs Without Words》一书中。

 
    《Proofs Without Words》一书的第 109 页则给出了另外一个例子:六边形数 hn 可以写成 n3 – (n – 1)3 。其实这也是显然的,结论根本不用证明。你只需要盯着排列成六边形的圆点阵,不断看不断看,一直看一直看,直到看出它显然就是 n3 – (n – 1)3 ,结论就证到了。

      

    由此还能立刻可知, h1 + h2 + … + hn = n3 ,从图形的角度看上去,这也是显然的。

    大家还有什么好的例子吗?

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