趣题:能否把三维空间分成无穷个圆?

    这是一个非常经典的问题:是否存在无穷个互不相交的圆,它们并在一起就是整个三维空间?换句话说,能否用圆形既无重复又无遗漏地填满整个三维空间?

    我很早就见过这个问题。我第一次看到这个问题时,显然没能理解到这个问题的精妙之处。当时我在想,这不是显然可以吗?把三维空间想像成无穷个平行平面的并集,而每个平面又可以看作是由无穷多个同心圆组成的,这样一来整个空间不就划分成无穷个不相交的圆了吗?因此,我一直没有认真考虑过这个问题。

    直到今天我才想到,上面的方案显然有问题——那些同心圆的圆心不属于任何一个圆。这个最容易想到的构造其实是错误的。看来,这个问题似乎没那么平凡。问题重新摆在了我们面前:究竟能不能把三维空间分成无穷个圆?


    答案是肯定的。下面是 Mathematical Puzzles: A Connoisseur’s Collection 一书中提到的一个非常漂亮的构造。首先注意到,和平面上的情况类似,我们也无法把球面划分成不相交的圆,除非挖去球面上的两个相异点(不一定是两个对称点)。然后,在平面 z=0 上,分别以 …,(-7, 0),(-3, 0),(1, 0),(5, 0),(9, 0),… 为圆心作单位圆。注意到,每个以原点为中心的球面都会与它们产生恰好两个交点,我们只需要把这些有两相异点已经不用再考虑的球面分割成圆就可以了。

  

    另外,原点本身也已经包含在了那个以 (1, 0) 为圆心的单位圆里,因此三维空间中的所有点都被包含了。
 

51 条评论

  • dondum

    地板,哈哈

  • 兼职影帝

    作为旁观者看了你的很多文章 数学基础不好
    请问:一个圆怎么能充满空间呢?圆是没有“厚度”的啊
    这让我想起一个小学问题:过一点可以画多少条直线?

  • biohu

    我瞪着这幅图片起码有一分钟,然后,终于看懂了。。。

  • gordon

    “我们也无法把球面划分成不相交的圆,除非挖去球面上的两个相异点(不一定是两个对称点)”
    对称点容易理解。如果不对称,请问这个分割该如何构造?

  • Seter

    兼职影帝:对函数f进行积分的时候xdx->0,但是sigma起来就不为0了。一样的意思。

  • cortexiphan

    gordon:取这两个相异点连线上除了这两点以及它们的中点以外的任意点,球心与此点的连线的切平面与球面相交的圆的集合就是球面挖掉这两个点。

  • 丕子

    既无重复又无遗漏地 如何理解?

  • luojianchuan

    恕在下眼拙,且不说这个方案是如何“既无重复又无遗漏”,我甚至连“填满整个三维空间”都没看出来。
    能再解释下么?

  • elf

    把个半径无穷大圆当直线处理如何?

  • kghost

    其实这些填充用的圆不需要一样大 也不需要在同一条直线上, 只要求围原点旋转到一条射线上后 能够与旁边的圆相切就可以了

  • P.K.

    构造得精彩。

  • M.A

    虽然我这里看不到图(o(╯□╰)o校园网),但是光在脑袋里构想下就觉得漂亮极了。

  • summerdawn

    非常厉害。

  • ppwwyyxxc

    太牛了。。把相交多出来的点和本该漏掉的点凑到了一起。。就充满了。。

  • morrowind

    所谓“既无重复又无遗漏”“填满整个三维空间”只是一种形象的说法,其实等于让你证明,任取三维空间中的一个点,存在且只存在一个圆经过这个点。
    另,“我们也无法把球面划分成不相交的圆,除非挖去球面上的两个相异点(不一定是两个对称点)”,其实就是类似电偶极子的等势面,不明白去百度图片搜索电偶极子等势面。

  • yh

    2L:不可数个圆
    5L:挖去平面上的两点和一条中间的直线,也能划分成不相交的圆,比如圆心|x|>1,y=0,圆上一点1/x,0
    8L:给出一点x,y,z,可以求出圆心半径,且所有不同x,y,z的圆心半径或者完全相同,或者不相交
    16L:从集合的角度,不只是形象的说法,空间中的图形就是一个点集

  • snowmwm

    以前在高中奥赛书上看到过这个,当时我用的方法是先用上面的方法构造一个“缺一个点的球体”,然后把无数个这样的球体像糖葫芦一样串成一串,这样就把空间中的一条直线包括进去了,然后在外面套同心圆就可以了。

  • gordon

    17L,我是5L,我问的是球体 不是平面.

  • lala

    19L,球体两点不对称的话只是做出来的不是同心圆,但是都是和两点所在的最大圆平面垂直,两点所在的最大圆被两点分成长短两段,但是因为无限分割所以其实和长度没有关系

    反正就是每个圆都差那么一点点,最大的那个圆就正好经过两点中心

    至少我是这么理解的

  • yningc

    想象下,不容易啊,哈哈,精妙~~

  • mengkai15

    2L 9L以及其它数学基础不好不理解的话可以看16L的解释。

  • gordon

    20L,其实我之前猜测的构造也是这样,但感觉短边和长边的分割似乎密度不同.
    你说“但是因为无限分割所以其实和长度没有关系”,是不是可以简化为[0,1]和[0,2]上有相同多的点?(有理点?无理点?实数点?)

  • 身在长医

    不知道看了有没有半个小时,最后自己把图复制到windows“画图”程序里自建xyz垂直坐标系,对着文字理解,终于明白了。

    @gordon 在头脑中想象一个整体看起来是弯着的弹簧(那种把弹簧弄弯,练手劲用的东西),然后把中间变胖,两头变小。

    @兼职影帝 圆是没有厚度的,但是一个空间可以不理解为一个有厚度的东西,想象它是无数个点组成的,一个圆的圆周上不是也有无数个点吗,只要每个圆互不相交,那不就可以充斥整个空间了吗?另外过一点可以画无数条直线,不论是平面内还是空间内。

    @biohu 佩服!我都不知道看了多久。

    @Seter 你这用高等数学解释,我还真不明白……

    @丕子 就是每个点只用一次,或者说每个点都只存在于一个圆之内。

    @luojianchuan 如果依旧没看懂,就只能画图解释了。

    @elf 还真不知道你想表达什么,貌似离题了。

    @snowmwm 如果只能用圆的话,我觉得你这个构造还是有一点问题的,就是那个缺的一点,它不属于任何一个球。但是你已经很牛了。

  • Icewolf

    把个半径无穷大圆当直线处理如何?
    ——不可以,如果允许无穷大半径的圆的话,这个题目就太简单了,这实际上就是用无数条直线把三维空间分割,这显然很容易。

  • fulinyun

    cortexiphan: 我感觉这些圆是相交的。我觉得应该是作经过球心和这两个点的圆,再从球心向这个圆在球体内的每个点v连线,与这些连线垂直的且以每个v为圆心的一组圆能覆盖去掉了两个相异点的球。

  • spacetimer

    “我们也无法把球面划分成不相交的圆,除非挖去球面上的两个相异点(不一定是两个对称点)。”
    还是不知道怎么划分,希望有人可以解释下啊,上面的没看怎么明白,感觉都不对。谢谢!

  • collvey

    漂亮,确实漂亮

  • liushuoshu

    to spacetimer:两个相异(不为直径)点,作过它们的大圆,以这两点为切点作大圆的切线,过切线的交点作垂线垂直于大圆所在平面,过该垂线的所有平面与球面相交得到的圆的集合即符合条件

  • bytewolf

    这个挺有意思的,三维空间可以想像成是由无限个球面包裹而成,球面可以切分成圆,但三维的球总有两个点不能切成圆,z0平面二维的圆总有一个原点没法覆盖。解决的方法挺妙的,那些画的单位圆,让原点和球面的两相异点都被照顾到了,这样刚好三维空间所有的点都在各个圆周上了

  • spacetimer

    to liushuoshu: 嗯感谢明白了。

  • lala

    29L liushuoshu, 你说的那个切线的交点不就在大圆所在平面上吗?怎么做垂线?

  • worm

    to fulinyun, 这些圆的直径是不同的,在空间中是没有相交的..
    看了这么多解释,然后又自己画了一刻钟终于明白了,就差在matlab里写个程序画个图来理解了…和那位一分钟看明白的同学差太远了

  • amor

    看了一會才想通

    1/ 上圖的虛線是球面
    2/ 每一球面去掉兩點是可被空間的圓(曲線)填滿, 構造可看29樓
    3/ 因為半徑可任取正值,所以整個三維空間已差不多被填滿, 除了 (0,0,0) 及其餘因上圖在 z=0平面上(黑色實線圓)與球面相交的點。
    4/這些剩餘的點是因在z=0平面上的圓(曲線)而成,所以整個3-space可被不相交的圓曲線填滿。

  • lq_lq

    看了半天终于想通了,确实厉害

  • lq_lq

    看了半天终于想通了,这个构造确实厉害

  • 好神奇啊!18楼讲的没有看懂啊~求解释

  • ali

    这个构造真巧妙

  • simlife9

    太牛了,34楼解析总结也很透彻

  • evence

    球坐标不就是这个道理吗?

  • wuyuelgb

    说到的都能理解,就是想不到去掉非对称的两点后怎么分割,20L把这点也说得比较直观了

  • R2D2

    终于想明白了,不过博主描述的不够清楚。
    我的理解是:
    用无数球面填充整个空间,但每个球都有两个相异点。
    相异点是可以不对称的,而且几乎可以任意选择的,这点比较容易理解了。
    精确安排相异点的位置,使得相异点在z=0平面也能画出一个个的圆,就是图中的实线圆。 然后直接补充完这些圆就好了,漂亮的地方是,正好有一个圆是经过原点的,这样所有点就都被圆覆盖了。

  • yun

    纤维丛是不是也满足

  • nomi

    应该可以,给我一支足够尖的笔,我可以画出来。

  • trek jerseys

    你觉得答案是怎样的呢 好像蛮不错的。

  • orbea jersey

    你觉得答案是怎样的呢

  • 负一的平方根

    M67倒是把如何用圆填满去掉两个点的球面说一下啊

  • jiawei

    29L+34L正解

  • 欧阳锋

    实线圆确实没和其他球面圆相交,但却是“套”住的!

    而且,参考网友的留言,通过旋转实线圆,方案有无穷多个,但共同点就是要过那个中心。

  • cervelo

    如果只能用圆的话,我觉得你这个构造还是有一点问题的,就是那个缺的一点,它不属于任何一个球。但是你已经很牛了。

  • 11

    高纬度应该兼容低纬度
    二维平面只是高度为0的三维
    一维直线只是宽度为0的二维
    零维奇点只是长度为0的一维

    所以圆心本身其实半径为0的圆

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