趣题:随机折断的木棒

  依次考虑下面三个问题。

    1. 一根单位长的木棒。随机在中间选取一点,把这根木棒折断。那么,短的那一截木棒平均有多长?

    2. 一根单位长的木棒。随机在中间选取一点,把这根木棒折断。那么,长的那一截木棒平均有多长?

    3. 一根单位长的木棒。随机在中间选取一点,把这根木棒折断。那么,短的那一截与长的那一截的长度之比平均是多少?


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    没错,由于折断点均匀分布在这根木棒上,因此短的那一段木棒的长度也均匀地分布在 0 到 0.5 之间,它的平均长度是 0.25 ;类似地,长的那一段木棒,其长度也均匀分布在 0.5 到 1 之间,平均长度为 0.75 。不过,有趣的是,两段木棒长度的平均比值却并不是 1:3 。计算机模拟告诉我们,短木棒与长木棒的长度之比的期望值大约为 0.3863 ,要比 1:3 大一点点。平均的长度之比不等于平均长度之比,这似乎有悖于人们的直觉。

    计算出准确的长度之比期望值可以作为又一个有趣的微积分练习题。对这个比值积分后容易得出答案:

      

    也就是说,两段木棒的长度之比平均为 2·ln2 – 1 。令人称奇的是,神秘的常数 e 又一次出现在了本与它毫无关系的问题中!

    来源: Mind Your Decisions

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