2008年北京大学自主招生数学考题

    北大自主招生的数学考题就只有5道题,考生反映“巨难无比”,考完立马就郁闷了,哇啦哇啦地哭。我收集到的信息不多,得到的消息也没有一一去证实。我把这5道题大致写一下,题目描述可能不准确,但基本意思就是这样。

1. 证明:边长为1的正五边形的对角线长为(1+√5)/2

2. 已知一个六边形AB1CA1BC1,AB1=AC1,CB1=CA1,BA1=BC1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1。证明:三角形ABC面积为六边形的一半。

3. 某次球赛实行单循环赛制,规定赢一场得1分,输一场得0分。比赛队伍分为南方和北方,南方比北方多9支球队,且最后南方总分数是北方的9倍。求证:南方某支球队的得分最高。

4. 已知实数a1、a2、a3、b1、b2、b3满足:
a1+a2+a3 = b1+b2+b3, a1^2 + a2^2 + a3^2 = b1^2 + b2^2 + b3^2
且min{a1, a2, a3}≤min{b1, b2, b3}
证明:max{a1, a2, a3}≤max{b1, b2, b3}

5. 空间解析几何题,涉及到旋转体和光源。题目看了半天都不懂是啥意思,估计原题有附图。哪位有更准确的题目描述麻烦请在下面留言告诉我。 网上找的题目没有“圆周”两个字,怪不得半天不懂是啥意思。
立体直角坐标系xyz,在xy平面上有图形0<=y<=2-x^2,将此图形绕y轴旋转得到一个不透光的几何体V。在点P(1,0,1)处有一点光源,xy平面上有一以原点为圆心的圆,此圆的圆周上被照亮的部分长度为2π,求未被照亮的部分的长度。(感谢dd

另据了解,清华的数学题题量较大,题目也稍微简单一些。有两道题非常有意思,我也一起写在这里。
证明:任意给定一个四面体,则至少存在一个顶点,使得过该顶点的三条棱可以构成一个三角形。
证明:以原点为对称中心、面积大于4的矩形至少覆盖除原点外的另外两个格点。

42 条评论

  • gnocuil

    只会第一道。。。

  • 涌泉

    我要说不难不知道会不会被人K。。。。

  • 闲耘

    不知道什么时候能看到牛解。

  • dahe_1984

    靠,北大自主招生的数学考题和普招什么区别啊?

  • sun

    感觉做不起来了。。想想

  • Zx.MYS

    orz……有没有答案……

  • Jessy

    M67大牛你刺激我。。。我今年考清华自主数学就这两道题没做出来
    5555555555

  • ForFly

    感谢M67牛,我收获很大。

  • hihi

    只会第四题:
    令a1<=a2<=a3,b1<=b2<=b3,a1<=b1
    如果a3>b3
    那么有:
    a1<=b1
    a1+a2<b1+b2
    a1+a2+a3=b1+b2+b3
    此时可证a1^2+a2^2+a3^2<b1^2+b2^2+b3^2矛盾
    简单证法可用控制不等式(此时b严格控制a即证)

  • dailiangren

    清华第一道从最长的那条棱去找矛盾所在。

  • dd

    我blog上有这些题。卷子上第5题没有附图。

    回复:谢dd牛

  • hayate

    to hihi
    a1^2 + a2^2 + a3^2 < b1^2 + b2^2 + b3^2
    如何证明?

  • hihi

    to hayate
    (a1,…,an),(b1,…,bn)
    如果有
    Σai<=Σbi(i=1…n),称b控制a
    对于任意凸函数f有Σf(ai)<=Σf(bi)这为控制不等式最基本的定理,可查看相关资料

  • hih

    a1<=b1
    a1+a2<b1+b2
    a1+a2+a3=b1+b2+b3
    引理:x^2+y2>u^2+v^2(x+y=u+v, x-y<u-v)(GH不等式可证)
    根据引理(a1+a2=b1+a1+a2-b1, 且a1+a2-b1-b1<a2-a1)
    那么a1^2+a2^2+a3^2<=b1^2+(a1+a2-b1)^2+a3^2
    只要证(a1+a2-b1)^2+a3^2<b2^2+b3^2即可
    根据引理可证(a1+a2-b1+a3=b2+b3, 且b3-b2<a3-(a1+a2-b1))

  • Ai.Freedom

    我用了这篇文章的引用通告地址, 但怎么好像还没显示出来.. 而且.. 这页面的引用通告地址的那个key好像会变呃..

    回复:key每小时变一次,因此如果你跨小时引用的话会发生错误

  • hayate

    to hihi
    非常感谢 尤其是控制不等式的说明
    我不是高中生,很多公式都忘了,这道题我也只能想出一个非初等的证明。

  • hihi

    to hayate
    不客气.
    初等证明本质也是控制不等式的本质:
    15楼我已经打出来了,就是一个引理:
    x^2+y^2>u^2+v^2(x+y=u+v,x-y<u-v))的应用

  • whiteboard

    第四题我班同学有个简单证明
    令a1 a2 a3为y=x^3+px^2+qx^1+m的三根
    则b1 b2 b3可以是y=x^3+px^2+qx^1+n的三根(三次方程的韦达定理)
    两曲线仅仅是上下平移的关系
    显然当最小根左移时最大根也左移

  • menie

    M牛,我想知道北大、浙大的自招题到哪里找?一直找不到呢。。

  • wzc

    看大牛的blog好多新鲜的东西!!

    第一题只要证明 sin18°或cos18°的值就行了

    sin36°=cos54°
    2*sin18°*cos18°=4*cos18°^3-3*cos18°
    2*sin18°=4*cos18°^2-3=4*(1-sin18°^2)-3
    可得
    sin18°=(5^1/2-1)/4
    cos18°=(5^1/2+1)/4
    于是就能得到 cos36°,cos144°,就能用余弦定理求出对角线的值了

  • aloha

    我是个高中生啊 感觉这个清华北大的题。。。。。。。

    我还自以为数学还不错。。。哎

    努力啊 争取三年可以做出来

  • Menie

    顺便说一下,第一个题我的做法是把那个数看作一个二次方程的根,然后让那个方程在图中具有几何意义就可以了。
    唉,今年北大浙大的题都没的做了。。。

  • Exile_oi

    第五题我们后来已经变成平面几何问题了。但是要解一个超越方程……估计是题目出错了

  • helloworld

    23楼说的不错。

  • tonyfels

    看了看第四题,感觉可以在三维空间的立体几何来做。。虽然其实不太直观。。
    假设x坐标对应向量[a1,a2,a3]’的最小值,z坐标最大值,向量b亦一样。

    那么按照所给的两个条件,a和b均在一个平面和球面相交而得的圆上。x<=y<=z又进一步切割了圆为一条弧。。。这个弧映射到x-z平面估计是单调增的。所以有这个结论。。。呵呵,似乎不太直观,但是第一反应是这个idea。。

    看了下评论。。19楼的更直观简单啊

  • pegasusplus

    清华第2题是闵可夫斯基格点定理的特例(面积大于4且关于原点对称的凸集必定包含除原点外的一个格点 -> 矩形是凸集的一个特例)
    用一些几何以及初等数论知识也可以计算出与除原点外的格点相切的对称矩形的面积的最大可能值就是4. 不过这样的证法, 要琐碎复杂很多了.

  • yuyu

    看了下就会做第3道。是证明南方的平均分永远大于北方的总分是吧

  • zjj

    怎么又是闵可夫斯基定理啊……

  • 潘小轩

    很难啊,我当年只做出了1道半的题….后来高考果断去清华了。。。

  • zwhzjh

    北大第一题和清华第一题应该是最基本的要求了,我想认为自己有资格参加考试的学生解北大的第一题不应超过10分钟,清华的第一题不应超过15分钟。北大的第五题那个阴影的边界在xy平面上是一条直线,方程为2x+y=4,现在关键是求圆的直径(原题没出错吧)——可能会有巧妙的方法——总之这题很难,不知考试时的用时是多少,我思考和运算到这步时已花了半个多小时了。

  • zwhzjh

    第3题是证南方队的平均分大于北方队最高分队的可能最高分。有一个“阴险”的限制条件限制了这个可能最高分(考虑北方队的内部小联赛)。开头我证那个不等式是用导数,后来看了别人的证明,才想起其实总队数只能取两个值(不幸的是,我开头考虑时只想了这两个值,没有深入探究下去,导致证明很麻烦)。北大第3题和清华的闵可夫斯基原理特例都是我特别不擅长的不等式证明。先想想第2题吧——不过想起我这北大毕业生这么多年过去数理的基础还没丢光(尤其我的专业基本不需要什么数理知识),还是小小的自豪了一下。

  • zwhzjh

    第5题漏看了个条件,y>=0,所以更加怀疑那道题出错了。因为两个直角边长为2和4的直角三角形斜边上的高是4/根号5,约是1.8,所以当这个圆的半径R不大于该值时在y>0的部分全在阴影里,而当这部分的圆周有一小部分漏出阴影外,则解超越方程就是必须的。所以严重质疑照亮的圆周长应是pi或3pi/2等,即小于4pi/根号5,这种情况下照不到的圆周长与其相等。

  • zwhzjh

    或者叫学生写出求解的方程也行,不是很复杂(但挺巧妙的,用反三角函数的转换可得),是4/SQRT(5)=sin(pi/R)*R,别的网站上有一位高手用数值方法求得R约为1.81268,未被照亮的长度约为 5.10624

  • zwhzjh

    不过这样也进一步证明了北大方面很有可能出错题了(怀疑是出题人误将圆周长公式记成4*pi*R了)。因为这样y>=0的条件就变得毫无用处了。在y可以取任何值的条件底下,可以得到类似的方程(而且化简过程更简单一些)R*cos(pi/R)=4/SQRT(5),用迭代或excel硬算,均可得R=3.20804…,所以未照亮的圆周长约为13.87352… 这样也好,以前就有人说中国学生解数学题只会弄那些数值凑得正好的题目,对于一般情况就不会做了,这道题可以作为一个很好的训练(但考试的时候这样的题可是会害死人的)

  • zwhzjh

    北大的第二题也不太难。现在就剩北大第四题和清华第二题两道跟不等式有关的题目了。

  • yang_bigarm

    19楼的解法绝妙啊!!佩服佩服

  • Pkqs90

    19L方法V5~

  • frederick

    第二題可以作proof without word的典例~~

  • gongdewei

    我觉得19楼的证明方法是有缺陷的,a1 a2 a3为y=x^3+px^2+qx^1+m的三根时,根据题目第一个条件a1+a2+a3 = b1+b2+b3确实可以推出b1 b2 b3是y=x^3+px^2+qx^1+n的三根(三次方程的韦达定理),但题目的第二个条件 a1^2 + a2^2 + a3^2 = b1^2 + b2^2 + b3^2使得b1 b2 b3不一定是y=x^3+px^2+qx^1+n的三根,这样只在满足题目条件的实数集合的子集下给出了问题的证明。
    我觉得用特殊反证法更好一点,假设max{a1, a2, a3}>max{b1, b2, b3},当min{a1, a2, a3}=min{b1, b2, b3}时,可以根据a1+a2+a3 = b1+b2+b3推出a1^2 + a2^2 + a3^2 > b1^2 + b2^2 + b3^2,矛盾,故假设不成立。
    希望大牛们斧正~~

  • cervelo jersey

    感谢M67牛 我受益匪浅。

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