趣题:平均要取到第几个随机数才会让序列第一次下降

考虑这么一个游戏:不断在区间 [0, 1] 中概率均等地选取随机数,直到所取的数第一次比上一个数小。那么,平均需要抽取多少个随机数,才会出现这样的情况?

 
答案:记 Pi 为第 i 次才取到小于前一个数的数的概率。则我们要求的就是 P1 + 2 * P2 + 3 * P3 + 4 * P4 + … 。妙就妙在下面这个变形(在继续看下去之前你能想到吗):


      P1 + 2 * P2 + 3 * P3 + 4 * P4 + …
  = (P1 + P2 + P3 + …) + (P2 + P3 + …) + (P3 + …) + …
  = P(取数次数≥1) + P(取数次数≥2) + P(取数次数≥3) + …

显然,取数次数是一定大于等于 1 的。事实上,取数次数也是一定大于等于 2 的。要想取到第 3 个数,则前面两个数必须是递增的,其概率是 1/2 ;取数次数达到了 4 次或者更多,当且仅当前三个数是递增的,其概率为 1/3! = 1/6 ⋯⋯因此,本题的答案为:

   1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + …

没错,这个问题的答案竟然是 e 。

 
题目来源: Mind Your Decisions
大家有兴趣的话可以看看我之前发过的一个类似的题目,这两个问题似乎是有一腿。

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