Which Way Did the Bicycle Go 趣题选(中)

14. 有意思的是,在数学历史上,一些很简单的结论竟然几百年来都未曾发现。直到 1977 年, Paul Erdős 和 George Szekeres 才发现,除了两头的 1 以外,杨辉三角同一行内的任意两个数都有公因数。证明这个结论。

答案:只需要注意到, a 乘以一个比 b 小的数之后还能成为 b 的倍数,这说明 a 和 b 一定有公因数。不妨设 0 < i < j < n ,则 C(j, i) < C(n, i) 。我们的命题可以由下述关系直接推出。      C(n, j) · C(j, i) = n! / (j! (n - j)!) · j! / (i! (j - i)!) = n! / (i! (n - j)! (j - i)!) = n! / (i! (n - i)!) · (n - i)! / ((j - i)! (n - j)!) = C(n, i) · C(n-i, j-i)


 
15. 2 的 5 倍是 10 , 3 的 37 倍是 111 , 4 的 25 倍是 100 。是否对于任意正整数 n ,都能找到一个 n 的倍数,它全由数字 0 和 1 构成?

答案:是的。考虑数列 1, 11, 111, 1111, … 。它们除以 n 的余数只有 n 种可能,因此前 n+1 项中一定有两项,它们除以 n 的余数相同。这两项的差即满足条件。

 
16. 或许大家常会注意到这么一个有趣的事实: 111 能被 3 整除。是否存在无穷多个正整数 n 满足, n 个 1 所组成的 n 位数能被 n 整除?

答案:是的。我们只需要证明,若 n 个 1 所组成的 n 位数能被 n 整除,则 3n 个 1 所组成的 3n 位数能被 3n 整除。这是因为 11..11 11..11 11..11 可以写成 11..11 * 1 00..01 00..01 ,其中前者含有因子 n ,后者显然含有因子 3 。

 
17. 是否对于任意正整数 n ,都能找到一个 n 的倍数,它含有从 0 到 9 所有的数字?

答案:是的。假设 n 是一个 d 位数,那么 1234567890·10^d + 1 和 1234567890·10^d + n 之间一定有一个数是 n 的倍数,它显然满足要求。

 
18. 对任意一个正整数集合 A ,令 S 为 A 中的数两两相加可能得到的所有和所组成的集合,令 D 为 A 中的数两两相减可能得到的所有差所组成的集合。例如,若 A = {1, 2, 4} ,则 S = {2, 3, 4, 5, 6, 8} , D = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} 。证明或推翻: D 中的元素个数不可能少于 S 中的元素个数。

答案:这是错的。目前已知的最小反例为 {1, 3, 4, 5, 8, 12, 13, 15} ,这 8 个数能产生 26 种和,但只能产生 25 种差。

 
19. 多项式 p(x) = (1/2)x^2 – (1/2)x + 2 满足 p(1)=2 、 p(2)=3 、 p(3)=5 。是否能找到一个整系数多项式 q(x) ,使得 q(1)=2 、 q(2)=3 、 q(3)=5 ?

答案:不能。事实上,连只满足 q(1)=2 、 q(3)=5 的整系数多项式都不存在。假设 q(x) = a0 + a1·x + a2·x^2 + … + an·x^n ,则
 
   3 = 5 – 2 = q(3) – q(1) = (3-1)a1 + (3^2-1)a2 + … + (3^n-1)an
 
由于 3^k – 1 总是偶数,因此等式右边一定是偶数,它不可能等于 3 ,矛盾。

 
20. 假设 P(x) 是一个 8 次多项式,且 P(1)=1, P(2)=1/2, P(3)=1/3, …, P(9)=1/9 。求 P(10) 。

答案:由条件可知 1, 2, … ,9 是多项式 x·P(x) – 1 的 9 个根。因此, x·P(x) – 1 = c(x-1)(x-2)(x-3)…(x-9) 。对比常数项可知 -1 = -c·9! ,因此 c=1/9! 。因此, 10·P(10) – 1 = 9!/9! = 1 ,所以说 P(10)=1/5 。

 
21. 把杨辉三角写成方阵:

  1  1  1  1  1 …
  1  2  3  4  5 …
  1  3  6 10 15 …
  1  4 10 20 35 …
  1  5 15 35 70 …
  …
  …

证明:对任意正整数 n ,方阵的前 n 行 n 列组成的矩阵,其行列式总为 1 。

答案:对 n 施归纳。当 n=1 时,显然成立。考虑方阵的前 n 行 n 列,若每一行都减去它的上面一行,就变成了:
 
  1  1  1  1  1  …
  0  1  2  3  4  …
  0  1  3  6 10  …
  0  1  4 10 20  …
  0  1  5 15 35  …
  …
  …
 
再把每一列都减去它的前一列:
 
  1  0  0  0  0  …
  0  1  1  1  1  …
  0  1  2  3  4  …
  0  1  3  6 10  …
  0  1  4 10 20  …
  …
  …
 
显然其行列式与 n-1 阶时相同

 
22. 一个机器洗牌时总是以相同的方式打乱牌的顺序。把

   A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K

放进去,用机器连续洗两次牌之后,顺序变为了

   10, 9, Q, 8, K, 3, 4, A, 5, J, 6, 2, 7

求机器第一次洗牌之后的顺序。

答案:可以把这个洗牌机看作一个置换 σ ,则 σ^2 为
 
   1→8→4→7→13→5→9→2→12→3→6→11→10→1
 
由于 σ^2 不能分解成若干个不相交循环,因此 σ 也不可能有多个循环。但这就表明连续洗牌 13 次所有牌又会回到原位,因此洗一次牌相当于 (σ^2)^7 ,即
 
   1→2→8→12→4→3→7→6→13→11→5→10→9→1
 
因此所求的顺序为
 
   9, A, 4, Q, J, 7, 3, 2, 10, 5, K, 8, 6

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