趣题:以无理点为圆心的圆周上最多有多少个有理点?

    由于勾股数组有无穷多个,因此以原点为圆心的单位圆上有无穷多个有理点。例如,(3,4,5)是一组勾股数,因此(3/5, 4/5)就是单位圆上的一个有理点。将这个圆的半径放大有理数倍,则原来圆周上的有理点现在显然仍是有理点;将这个圆的圆心平移至一个有理点,则同样地,原来圆周上的有理点现在显然仍是有理点。于是我们得到这样一个结论:在平面直角坐标系内,任意一个以有理点为圆心,有理数为半径的圆周上总存在无穷多个有理点。我们不由得想到这样一个有趣的问题:如果一个圆的圆心是无理点(两个坐标中至少有一个不是有理数),那么圆周上的有理点个数还可能是无穷多个吗?若不是的话,最多能有多少个?


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    一个圆心位于无理点上的圆,其圆周上最多有2个有理点,例如圆心在(0,√3),半径为2的圆将经过(1,0)和(-1,0)。但是,你绝对不可能构造出某个圆心为无理点的圆,它的圆周经过了两个以上的有理点。为了证明这一点,我们先来复习一下下面这些基本常识:
     1. 两个有理点的连线所在直线的方程一定是一个有理系数方程;
     2. 两个有理点的连线的中点也是一个有理点;
     3. 与斜率为α的直线垂直的直线,斜率为-1/α,两个斜率值要么同为有理数,要么同为无理数;
     4. 两个有理系数方程的公共解也一定是一个有理数。

    结合前面三点,我们立即可知,两个有理点的连线的垂直平分线,其对应的方程也一定是一个有理系数方程。现在假设我们的圆周上有三个有理点A、B、C。做出AB的垂直平分线,做出BC的垂直平分线,两条垂直平分线将交于圆心。但是,由上述第四条我们知道,这个交点一定是一个有理点,与题目的前提条件矛盾。

来源:http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/RationalPointsOnCircle.shtml

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