根号2是无理数的又一个精彩证明

The American Mathematical Monthly新年第一期中有一段精彩的根号2无理性证明。

假设√2等于p/q,那么对于任意自然数n都有:

(√2)n q = 2n/2 q    当n是偶数时
               2(n-1)/2 p 当n是奇数时

无论哪种情况,(√2)n q都是一个自然数。由二项式定理,对任意大的n都有:

但这显然是不可能的,因为序列(√2 – 1)n q是收敛到0的。

参考资料:http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml#proof16
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