http://www.matrix67.com/blog 50% Informatics, 50% Mathematics, and 50% Imagination Sat, 13 Mar 2010 16:01:26 +0000 http://backend.userland.com/rss092 en     早上好！今天是 3 月 14 日，一年一度的圆周率日。为了和大家庆祝这个日子，我下载了一个 JavaScript 俄罗斯方块游戏 Js Tetris 的源代码，并且小小地修改了一下。那 7 种四联骨牌已经不复存在了，你将看到圆周率中的数字一个接一个地依次落下。这恐怕有希望成为史上最变态的俄罗斯方块了吧。     游戏改造完毕后，我自己居然沉迷了好久。把积木换成数字后游戏变得不是一般的困难，有很多小技巧有待大家慢慢去摸索。我个人的最好成绩是第 32 位。你呢？   http://www.matrix67.com/blog/archives/2926      http://www.matrix67.com/blog/archives/2943     公用品悲剧是微观经济学中又一个非常有趣的话题。从一些简单的假设出发，通过一系列数学推导，我们能够得出一些乍看之下很不可思议的结论。利用这个结论，生活中的很多反常的现象都有了合理的解释。     一个经典的公用品悲剧实例就是过度放牧的问题。同样一块牧场，如果为私人所有，牧场主将会非常合理地规划牧场，让放牧数量达到一个理论上的最优值；但是，如果这是一块公共牧场，则所有人都会争抢牧地，从而导致过度放牧，放牧数量远远大于最优值，最终每个人都得不到什么好处。可能有人会觉得这个现象并不难理解——既然是一块无人管制任人使用的公共牧场，人人都能在这里放牧，过度放牧自然就会不可避免地出现了。但是，仔细一想你会发现这个解释是有问题的：每一个来牧场放牧的人，自己心里也都知道，过度放牧对整个大局是不利的，自己的收益也会随之降低。既然人人都知道过度放牧不好，为什么最后来放牧的人还是越来越多呢？私有牧场和公共牧场的区别到底在哪儿？我们可以借助数学工具来帮助我们分析这个问题。     为了用数字来说明这一情况，我们首先做一些假设。我们假定牧场只放奶牛，收益也全部来自于牛奶供应。显然，牧场的总收益与放牧数量之间的关系是一个单峰函数——牧场上没有牛时总收益为 0 ，牛的数量超过牧场的最大容量后总收益也为 0 ，在这之间一定存在一个平衡点使得总收益达到最大。为此，我们无妨假设总收益 y 与放牛数量 x 满足 y = x(100-x) 的关系，即当牧场上的牛数为 0 或者为 100 时整个牧场都不会有任何收益，而 x = 50 时牧场的总收益将会达到最大。我们再假设，购买一头牛的成本为 c ，拥有奶牛之后放牧的成本则忽略不计。接下来，我们将求出该牧地在公有和私有两种情况下最终达到的放牧数量，大家将会看到开放牧地后确实将导致放牧数量远远超过最佳水平。     如果这是一块私有牧地，牧场主会选择放多少头牛呢？很多人可能会脱口而出，当然是 50 头牛，因为 x=50 时收益达到最大值。但请注意，牧场主想要最大化的并不是他的收入，而是减去成本后所得的利润 x(100-x) - c·x 。对这个式子求导，我们就能得到利润最大化的条件： 100-2x-c = 0 。解出这个式子中的 x ，我们就得出了牧场中的最佳牛数 x = (100-c)/2 。     从另一个角度来看，上述结论也是很显然的： 100-2x 恰好就是 x(100-x) 的导数，是增加第 x 头牛给人带来的收入增加量。如果这个增加量比 c 大，那么买入一头新的牛显然划算；什么时候这个增加量比 c ... http://www.matrix67.com/blog/archives/2935     Mathematica 提供了一个看上去毫无用途的无厘头函数 Rasterize ，它可以以图片的格式输出运算结果。比如，下面这个句子可以打印出 (x+1)^n 的展开式的“倒影”：         今天我突然想到，我们可以利用这个函数很方便地分析汉字在图象上的性质。函数 Binarize 可以把图象转换为单色单通道， ImageData 则可以把图象转换成数组的形式，以便我们定量分析。因此，下面这句话就可以把一个汉字转换成 12*12 的 01 矩阵：         下面这几句话可以把 GB2312 中的最常用的 3755 个一级汉字按照宋体 12 像素点阵字的像素点多少进行排序。         可以看到，像素点最少的 10 个汉字为：         像素点最多的 10 个汉字则为：             曾经多次在网上看到诸如“三秒钟之内找到我”、“你吃过康帅博方便面吗”之类的帖子，不由得感叹汉字之强大。于是我开始思考，汉字中哪些字对长得最像？于是，我利用上面这些函数写了一段 Mathematica 程序，跑了几个小时的时间终于得出了在 3755 个一级汉字所对应的宋体 12 像素点阵字中像素不同之处最少的字对。其中有一对字仅一个像素之差，它们是“己”和“已”字。其它的一些结果如下：    只差 2 个像素：(鸣,呜), (柬,束), (竟,竞)    只差 3 个像素：(壳,亮), (含,合)    只差 4 个像素：(上,土), (免,兔), (兵,乒), (士,土)    只差 5 个像素：(夫,失), (臣,巨), (未,朱), (宜,直)     但是，我对上面这个结果并不满意，因为有这么一个问题被忽略掉了：虽然相差相同数量的像素点，但差异发生在不同的地方，主观上的视觉差别程度是不同的。比方说，同样只差 4 个像素，人们会觉得 (士,土) ... http://www.matrix67.com/blog/archives/2907   来源：MathOverflow 不得不说，确实很妙！ http://www.matrix67.com/blog/archives/2904        如图，两条直线相交于点 O 。 △ABC 的顶点 A 在其中一条直线上，顶点 B 在另一条直线上。如果保持 △ABC 的各边边长不变，让点 A 和点 B 在所在直线上滑动，那么点 C 描绘出来的轨迹是一个什么样的图形？                                答案：是一个椭圆。             为了证明这一点，我们过 O 、 A 、 B 三点做一个圆，并把圆心记作 M 。过 M 、 C 两点作一条直线，直线与圆相交于 P 、 Q 两点。注意到由于 PQ 是圆的直径，因此 ∠POQ 始终为直角。在 △ABC 移动的过程中，圆的直径 AB/sin(∠AOB) 将会始终保持不变。既然圆的直径总是相同的，因此我们可以把这个圆重新描述为过 A 、 B 两点的一个指定直径的圆，这样的话整个圆以及 P 、 Q 的位置就唯一地由 △ABC ... http://www.matrix67.com/blog/archives/2896 >>> http://www.matrix67.com/ideagen <<<     在小学应用题里面，师徒二人的工作除了做衣服就是加工零件，百货商场里卖的永远是彩电和冰箱，村里的工程队不是修路就是挖水渠。长大了后，我才惊讶地发现，编出一道背景有新颖一些的应用题并不是一件容易事儿。在冰冷的键盘和屏幕前面，能够进入我们脑子里的东西并不多。在我写文章时，我经常需要想出一些贴近实际生活的例子，或是恰当而又有新意的比方；环顾四周，却发现身边的物品并没有带给我什么启发。此时，我竭尽全力去捕捉生活中的各种小事，却发现那些平时司空见惯的琐事很难被思维触及。     于是，我写了一个小程序。每刷新一次，程序便会自动从近千个形容词和上万个名词中随机挑选出一对显示出来。当你在写文章、出题目、做策划时想不到什么好点子了，不妨用这个小工具来帮你打开思路。   http://www.matrix67.com/blog/archives/2882     玻璃是一个神奇的东西，你能看见玻璃的另一侧，却无法触摸得到。或许就因为这样，穿透玻璃成为了现代人类的梦想，也成为了魔术界的一个不朽主题。为此，魔术师们发明创造了各种办法来展示人们的这种幻想。     我在网上下载了一个 40 多分钟长的视频（英文无字幕），想和大家分享一下。这个视频介绍了很多种实现纸牌穿玻璃的手法，从中可以看到很多魔术师特有的创造性思维。手法和魔术的关系就好像数论和密码学的关系一样，人们通常只看到前者复杂而华丽的外表，而真正令人折服的其实是把前者作为工具，利用想象力和创造力去构造后者那些不可思议的杰作。给你一个小小的遥控汽车，你能用它做到些什么？你可以看到，在一个魔术家眼中，利用一个小小的遥控汽车能够实现哪些看似惊人的魔术效果。 http://www.matrix67.com/blog/archives/2875     给大家看一个好玩儿的东西。在不同的显示器上，下面这张图片的显示效果可能大不相同。如果你用的是 TFT 屏幕，上下移动你的脑袋，调整你的视角，你也会看到不同的色彩。从低处往上看，你会看到一个白色的 MM 站在蓝色背景中；从高处往低看，你会看到一个黑色的 MM 站在黄色背景中。         现在，把上面这幅图片保存下来，用你最爱的图象处理软件打开，然后缩放到原图的 50% 。左图是图片缩小后理应得到的结果，但你会发现，你得到的结果是右边的这个图——一片灰色。               今天从 reddit 上看到了这个网页。根据它的解释，目前的绝大多数图象处理软件，包括 Photoshop 和 GIMP ，它们的图象缩放算法都有问题，错误的根源乃是对 gamma 值的错误假设。左图就是采用正确的图象缩放算法得到的图片，但几乎所有图象处理软件都会得到右边的这张图。该问题也普遍存在于图象查看程序里，甚至就在你用浏览器阅读这篇文章的时候，按几下 Ctrl + 减号 后你也会看到同样的错误。另外，由于同样的原因，缩放到其它尺寸、图片的旋转、使用某些滤镜也会出现各种奇怪的问题。具体的原理和更多学术讨论可以在上面那个网页中看到。原文中的图片很不和谐，因此我才根据其原理自己重做了一张。 http://www.matrix67.com/blog/archives/2866     Alphametic 是指这样一种有趣的文字游戏。在一个用字母组成的加法算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。如果算式成立，那么这个数字谜有唯一解。而 Alphametic 的精髓就在于，整个算式本身也必须“有意义”。最经典的 Alphametic 可能是这个：         SEND + MORE = MONEY     它的唯一解是 9567 + 1085 = 10652 。     就像灯谜、对联一样，作为一种文字游戏， Alphametic 也有很多异常牛 B 的，比如：         EARTH + AIR + FIRE + WATER = NATURE     1969 年，有人发现了这样一个有趣的 Alphametic：         THREE + THREE + TWO + TWO + ONE = ELEVEN     这样的 Alphametic 叫做 Doubly-True Alphametic 。可以证明上面这个 Doubly-True Alphametic 是合法的 Alphametic 中“最小的”一个。一个稍微大一点的 ... http://www.matrix67.com/blog/archives/2856