Matrix67 |
2011-10-20 17:23 | 
今天的题目来自这里。有三个水桶，它们里面分别装了 a 升的水、 b 升的水和 c 升的水（其中 a 、 b 、 c 都是正整数，桶本身没有容量限制）。你可以把水从一个桶倒进另一个桶，但必须保证让后者的水量刚好变成原来的两倍。证明，不管 a 、 b 、 c 是多少，你总能让其中某一个水桶变空。
例如，假设初始时 (a, b, c) = (3, 2, 1) ，那么你可以先把 (3, 2, 1) 变成 (1, 4, 1) ，再把它变成 (2, 4, 0) ，从而把第三个水桶变空。
Oct
12
这个并不是标题党。很多年以前，要想进入莫斯科国立大学的数学系，你必须通过四项入学考试；头两个都是数学考试，一个笔试，一个面试。在面试中，学生和考官都是一对一的，考官可以自由向学生提出任何他喜欢的问题。考官们都准备了很多“棺材问题”，这些问题的答案非常简单，但由于思路太巧妙了，以至于学生很难想到。考官便可以以“你连这个都没想到”为理由，光明正大地拒绝学校不想要的人（主要是犹太人）。这个 Blog 之前就曾经介绍过这样的问题。
最近网上的一篇文章介绍了 21 个这样的“棺材问题”，其中有些这个 Blog 以前讲过的经典问题，但也有不少我第一次见到的好题。我选取了 11 个比较有意思的问题，在这里和大家分享。
Oct
5
一个小学奥数老师给我讲了一道小学奥数题，这是他在上课时遇到的：从 1 到 4000 中，各位数字之和能被 4 整除的有多少个？
注意，问题可能没有你想的那么简单，满足要求的数分布得并没有那么规则。 1 、 2 、 3 、 4 里有一个满足要求的数， 5 、 6 、 7 、 8 里也有一个满足要求的数，但是 9 、 10 、 11 、 12 里就没有了。
尽管如此，这个问题仍然有一个秒杀解。你能多快想到？
Oct
3
网友 @ipondering 分享了一个非常精彩的数学趣题集，里面有很多我之前从没见过的趣题，其中有些问题的题目和解答都相当漂亮。近段时间里，我打算从中选一些最精彩的题目来讲讲。今天的题目是该趣题集中的第二题，原题背景涉及到 King Arthur 和 Merlin 的故事，我就舍去简化了。
某个国王手下有 n 个大臣。国王定期主持国家会议，届时 n 个大臣将会间隔均匀地坐在圆桌上。每个座位前都有一盏照明灯，只有所有的灯都亮了，会议才能开始进行。如果有些灯没亮，国王会下达指令，让指定位置上的大臣按下座位前的灯的开关，把没亮的灯都打开。例如，当 n = 100 时，圆桌上会坐着 100 个大臣。不妨将座位从 1 到 n 顺序编号，假设其中编号为 3 、 28 、 97 的座位前没有亮灯。于是，国王下令这三个位置上的大臣按下各自面前的开关，把这三盏灯打开，这样才能开始会议议程。
在这 n 个大臣中，有一个奸臣。这次会议的议题恰好就是商讨对这个奸臣的惩治办法。奸臣知道自己难逃一劫，但他希望能够无限制地拖延会议。他可以在所有大臣就座前精心设置各个照明灯的初始状态，并在国王每次下达指令之后（但在大臣执行命令之前）把圆桌旋转到一个合适的位置，让大臣们按下错误的开关。
对于哪些 n ，奸臣可以始终保证灯不会全亮，从而无限制地拖延会议？对于哪些 n ，国王可以根据局势巧妙地构造指令，使得有限轮指令之后所有灯必然全亮？
在会议结束前，奸臣仍然是 n 个大臣中的一员。国王每次只能下达形如“座位编号为 a1, a2, a3, … 的大臣改变各自面前的灯的状态”的指令。奸臣可以任意旋转圆桌，改变灯与大臣的对应关系。当然，他也可以选择不旋转圆桌。即使桌子被旋转过，所有大臣也必须严格遵守国王的指令。
Sep
24
数学之美不但体现在漂亮的结论和精妙的证明上，那些尚未解决的数学问题也有让人神魂颠倒的魅力。和 Goldbach 猜想、 Riemann 假设不同，有些悬而未解的问题趣味性很强，“数学性”非常弱，乍看上去并没有触及深刻的数学理论，似乎是一道可以被瞬间秒杀的数学趣题，让数学爱好者们“不找到一个巧解就不爽”；但令人称奇的是，它们的困难程度却不亚于那些著名的数学猜想，这或许比各个领域中艰深的数学难题更折磨人吧。
今年年初时，我曾经写过一篇名为 千万别学数学：最折磨人的数学未解之谜 的文章，选取并翻译了 Mathematical Puzzles 一书中提到的未解数学谜题。不过，毕竟 Mathematical Puzzles 一书容量有限，没法把所有折磨人的数学猜想都收录进来。后来，我慢慢收集了更多漂亮的数学猜想，今天又见到 MathOverflow 的这个问题，足以凑成一篇新的文章了。于是写下来，和大家一同分享。
Sep
11
今天听说了 Conway's Soldiers ，这是 Conway 大牛在 1961 年提出的一个数学谜题（似乎 Conway 的出镜率也太高了），我觉得非常有意思，在这里跟大家介绍一下。内容基本上来自于 Wikipedia 的相关页面。
假设有一个无限大的棋盘。棋盘上可以放置一些象征着士兵的棋子。一个棋子可以跳过并吃掉和它相邻的一枚棋子（就像孔明棋一样）。这是棋子的唯一一种移动方式。现在，在某个位置画一条无限长的水平线，你需要在水平线下面放置足够多的棋子，使得它们前仆后继地往水平线上方跳，最终能够跳到水平线以上 n 个单位的位置。
如图所示，当 n = 1 时，两个棋子就够了。当 n = 2 时，我们需要 4 个棋子。当 n = 3 时，最少需要 8 个棋子。
Sep
5
Aug
25
A Midsummer Knot’s Dream 简直可以说是去年学术界的一篇奇文，大家点进去看看就知道了。论文里讲了一个基于纽结理论的双人对弈游戏，名字也非常有艺术感： To Knot or Not to Knot 。这个游戏可能是最难的组合游戏了，它的数学性极强，思考难度非常大，甚至比 ERGO 更不容易上手。一场游戏下来，究竟谁赢谁输可能都不好判断。
To Knot or Not to Knot 的游戏规则非常简单。用铅笔在纸上画一个封闭的、可以自相交的回路，然后 A 、 B 两人轮流在图形中选取一个尚未被处理过的交叉点，并用橡皮擦对图形进行“细化”，明确两根线条的位置关系（可以抛掷硬币决定谁先行动）。A 的目的是要让最终的图形变成一个结，而 B 的目的则是避免图形打结。下面是其中一种可能的游戏过程，双方约定 B 先走。两人轮流对交叉点进行细化，七步之后，整个图形并未打结（你能看出来吗）， B 获得胜利。
注意，这是一个决策透明、信息公开的游戏，并且游戏不可能有平局产生。因此，即使双方都使出最佳策略，也必然有一个人会赢有一个人会输。也就是说，任意给定一个初始状态，总有一方有必胜的策略。不过，难就难在，究竟谁有必胜策略，必胜策略是什么，这并不容易判断。让我们来做一个练习题吧：下面的图形中，如果 A 先走，B 后走，谁有必胜策略？如果 B 先走，A 后走呢？记住，A 的任务是要让最终的图形打成结，而 B 的任务则是避免图形打结。
