不同维度的对话:带你进入四维世界

    上次说到维度时,有人提到了如何理解四维空间的问题。这是一个非常有趣的话题,可是我一直没有用心写一下。前段时间网上出了一部片子叫做Dimensions: a walk through mathematics,据称里面详细介绍了四维空间。我本以为推荐一下这个片子就能少写一篇又臭又长的日志了的,没想到下下来看了之后发现该片奇差,不了解四维空间的人看了半天估计还是不了解四维空间。最近放假比较闲,打算慢慢来扯一下。如果你以前从来没细想过四维空间的话,相信今天你会有一种超凡脱俗的感觉。
    现在,假设我是一个二维世界的人,我不能理解什么是“高度”,什么是“体”,什么是“空间”。你想向我描述三维世界中的立方体。你该怎么说呢?你或许会从立方体的展开图开始谈起:图(a)就是一个立方体的展开图,如果我们剪一个这种形状的纸板,我们可以把它折成一个正方体。我开始好奇了。

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假如人类生活在1000维空间里……

    偶然看到这个网页,很是受启发,然后自己也没事干,一个人躺在床上想了很多。

 
昂贵而奢侈的房间
    制造一个房间将变得非常的昂贵,也将变得非常非常奢侈。为了建造一个1000维的立方体空间,你需要在2000个方向上各修建一个999维的墙,即使墙的“厚度”很小很小,这也需要耗费大量的人力、物力和财力。同时,这样的房间也将非常非常非常大。假设1000维空间中的人是一个边长一米的超立方体,边长两米的超立方体房间里可以容纳10^300个人。当然,也许有人会问,为什么不把房间边长定小一些呢?如果房间边长仅有1.01米,容量也超过20000了啊?其实,房间容量大了没有任何意义,人多了照样挤不下。正如把一个单位大小的三维立方体放进边长为1.5米的三维立方体盒子中一样,虽然余下的空间超过了两立方米,但这点空间仍然不可能挤下哪怕再多一个的单位立方体。

 
死一般的世界
    不要对高维世界抱有任何美好的幻想。1000维世界里是一片黑暗的。在1000维世界中,发光体再也牛B不起来了。半径为2的超球体,体积是单位超球体的10^300倍;因此随着与光源的距离的增加,照度以难以想象的恐怖速度垂直递减。类似地,1000维世界也是无声的。要想让声音传到10米外的地方,需要耗费的能量是一个天文数字。
    在这样的世界中,生物将无法进行远程交流,甚至不会进化出视觉和听觉能力。一切社交行为都是以直接接触的形式发生的。另外一种可能是,当被动接收外界能量不可能实现时,生物将进化出一种主动探测外部世界的能力。生物可以发出一种集中程度高、不易向四周弥散的能量束,该能量束能够沿原路返回,使得生物能定向地获取外部信息。
    正如宇宙射线、暗物质、反物质等一些我们(或许是因为缺少某种感觉器官而)感受不到,但事实上确实存在的东西一样,1000维世界中的科学家猜想有光源、声源等自然能量产生。他们投入了大量精力,耗尽了身边可用的资源,企图创造出一个可测量的尺度下的能量源。发现自然的光源和声源将成为物理学界的前沿科学,或者被宗教利用,成为一种具有蛊惑性的仪式。

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《从一到无穷大》选谈:思维的尺度

    这个月月初就开始看《从一到无穷大》,花了接近两个星期才看完。这确实是一本让人放不下手的好书。考虑到我的阅读速度,一个多星期一本书已经近乎神速了。在这本书里我经常会看到一些有趣的数学知识,前段时间我还写过书里提到的一个有趣的东西——环面上的染色问题反而比平面上的“四色问题”更加简单。这种例子并不罕见,很多时候一些扩展版的问题反而比原问题更加简单。在第八章,我看到了另一个好玩的东西:随机游走(random walk)问题。
    随机游走问题是说,假如你每次随机选择一个方向迈出一个单位的长度,那么n次行动之后你离原点平均有多远(即离原点距离的期望值)。有趣的是,这个问题的二维情况反而比一维情况更加简单,关键就是一维情况下的绝对值符号无法打开来。先拿一维情况来说,多数人第一反应肯定是,平均距离应该是0,因为向左走和向右走的几率是一样的。确实,原点两边的情况是对称的,最终坐标的平均值应该是0才对;但我们这里考虑的是距离,它需要加上一个绝对值的符号,期望显然是一个比0大的数。如果我们做p次实验,那么我们要求的平均距离D就应该是

  

    其中d的值随机取1或者-1。这里的绝对值符号是一个打不破的坚冰,它让处于不同绝对值符号内的d值无法互相抵消。但是,当同样的问题扩展到二维时,情况有了很大的改变。我们把每一步的路径投射到X轴和Y轴上,利用勾股定理我们可以求出离原点的距离的平方R^2的值:

  

    一旦把平方展开后,有趣的事情出现了:这些X值和Y值都是有正有负均匀分布的,因此当实验次数p充分大时,除了那几个平方项以外,其它的都抵消了。最后呢,式子就变成了

  

    于是呢,就有平均距离R=sqrt(n) (准确的说是均方根距离)。我们得出,在二维平面内随机选择方向走一个单位的长度,则n步之后离出发点的平均距离为根号n。这是一个很美妙的结论。

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