你认为是否有可能存在这样一个函数f：在平面上随便画一个圆，圆里面总能够找到函数图像上的一个点？继续看下去前，不妨先仔细思考一下。


    为了说明任一圆内都包含函数上的点，我们只需要说明对于平面上任意给定点(x,y)，对于任意小的d都能在函数上找到一点，使得其横坐标落在x±d的范围内且纵坐标落在y±d内。这样的话，任意给出一个圆后，我都能保证圆的内接正方形里有点。
    我们构造这个函数f的基本思路是，构造一个将全体有理数映射到全体有理数的函数。注意到有理数是可数的，我们可以用这里的方法将全体有理数和自然数建立一一对应关系。也就是说，我们有了一个定义域为全体自然数、值域为全体有理数的一对一函数R(x)，它所对应的函数值是第x个有理数。下面我们开始着手定义我们要求的函数f(x)。函数f(x)的定义域是全体有理数，定义域里的每个x都可以表示成n/m的形式（化到最简），于是我们可以令f(x)=f(n/m)=R(m)。对于任意的y和d，在y±d里肯定存在一个有理数，假如按照上面的对应来看它是第m个有理数（即R(m)），下面我们就想办法说明我们总能够找到一个n，使得n/m在x±d的范围内。当然，如果运气不好m值很小的话我们就挂了，我们很自然地想到，这个m值应该越大越好，最好能重新定义一个值域为全体有理数的函数，对任一给定的有理数我们都能找出任意大的m对应到它。然后我们想到定义一个多对一的、定义域和值域都是自然数的函数H(x)：
x    1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 ...
H(x) 1  1  2  1  2  3  1  2  3  4  1  2  3  4  5 ...

    重新定义f(x)=f(n/m)=R(H(m))，这样的话任意给定一个有理数，我们可以找到任意大的m使得R(H(m))等于这个有理数。当m足够大时，m(x-d)和m(x+d)之间一定会出现一个整数n，则此时n/m在x±d的范围内。
    但我们又遇到一个问题：要是找到的那个n始终不能和m互质（表明没化到最简）咋办？我的直觉是，这种极端的情况应该是不存在的，当m充分大时，总有一个满足要求的n/m出现。但我没有严格证明它。其实，我根本不需要去证明它；这个题目有趣就有趣在，我这个函数f是可以随便构造的。你或许在想，要是分母m为质数就好了。那好，我就可以强迫分母m为质数。定义一个定义域为全体质数，值域为全体正整数的函数P(x)，它表示x是第几个质数：
x    1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 ...
P(x) -  1  2  -  3  -  4  -  -  -  5  -  6  -  - ...

    重新定义f(x)=f(n/m)=R(H(P(m)))，现在我们能够找到任意大的质数m使得R(H(P(m)))等于指定的有理数。当m足够大时，m(x-d)和m(x+d)之间一定会出现两个相邻的整数p和q，由于m是质数，p和q之间总有一个数与m互质（不可能都是m的整倍数），我们需要的n也就找到了。

满足要求的函数有很多。这只是其中一种构造方法。大家能不能再想一些更有趣的构造来？
来源：http://www.douban.com/group/topic/2561708/
参考网友yushih的解答

最近重新整理了日志Tag。如果你喜欢这篇文章，不要错过这里的惊奇数学事实，你会看到更多难以置信的数学结论。

    不知是哪个牛人发现了这样一个有趣的函数f(x,y)=e^(-x^2-y^2/2) * cos(4x) + e^(-3((x+0.5)^2+y^2/2))，它可以说是“函数界”里的Hello World，因为当z充分小的时候（比如取0<z<0.001），函数图象是两个大大的字母，向电脑前的你表示最真挚的问候。看来，以后打招呼又有新的方式了。

    

    另外一些有趣的问题是，有没有牛人能找到一个并不太复杂的，可以显示“Hello World”的初等函数呢？或者更实用一些的，想要创作一个“XXX我爱你函数”需要花多长时间，函数本身会有多复杂？
    消息来源：http://www.walkingrandomly.com/?p=19

    你认为，是这个“HI函数”牛B，还是爱的方程式牛B？或者爱的方程式3D版更牛一些？或者数学公式生成的色情图片更牛？个人觉得，还是Tupper自我指涉公式最牛。

    给出一个连续函数，某一点上的导数为正说明函数在这一点是上升的，换句话说函数从左边充分靠近该点时函数值总小于这个点，从右边靠近该点时函数值总大于这个点。但这并不等于说这一点左右是一个单增区间，也就是说该点左右任意小的邻域内函数都不是单调递增的。你能找出这样的函数来吗？

    昨天数学课上，我学到了一个比较牛B的东西：函数上某一点导数为正，该点邻域不一定形成单增区间。虽然左边的点都比该点低，右边的点都比该点高，但这并不能说明左边和右边各自都是单增的。这样的函数确实存在，而且并不是那种很怪的函数，仅仅是一个简单的初等函数：f(x) = x + 2x^2*sin(1/x)。由于x=0时函数没有定义，我们规定f(0)=0。按照导数的定义，函数在x=0时的导数值为
   Limit[ (f(0+Δx)-f(0))/(Δx-0), Δx->0 ]
= Limit[ f(Δx)/Δx, Δx->0 ]
= Limit[ 1 + 2Δx*sin(1/Δx) , Δx->0 ]
= 1

    这说明函数在x=0处的导数确实是正的。当x≠0时，按照求导法则可以求出f'(x) = 1 - 2*cos(1/x) + 4x*sin(1/x)。当|x|充分小时，最后一项可以忽略不计；此时只要1/x恰好等于2πn (n为整数)，那么f'(x)保证是负的。这就告诉我们，x=0左右任意近的位置都存在导数为负的情况，这样不管邻域范围多小总能找到一个函数值在减小的地方。
    其实，看一下f(x)的函数图象，你会立即明白这是怎么回事。这个函数越接近原点抖动频率越快（到原点时“周期”无限小），同时振幅也越小（到原点时振幅为0，这样可以保证导数存在）；但这个函数总的来说呈上升趋势。因此，这个函数才有我们前面提到的奇怪性质。

    你认为，一个函数图象里是否有可能包含这个函数本身的“图象”？难以置信的是，还真有人构造了这样一个东西。2001年，Jeff Tupper发表的一篇论文里提到了这样一个有趣的不等式：
  
    在0 <= x <= 105，n <= y <= n + 16的范围内，这个不等式对应的图象是这个样子：
  

其中，n = 96093937991895888497167296212785275471500433966012930665150551927170280239526642
46896428421743507181212671537827706233559932372808741443078913259639413377234878
57735749823926629715517173716995165232890538221612403238855866184013235585136048
82869333790249145422928866708109618449609170518345406782773155170540538162738096
76025656250169814820834187831638491155902256100036523513703438744618483787372381
98224849863465033159410054974700593138339226497249461751545728366702369745461014
655997933798537483143786841806593422227898388722980000748404719

    你会觉得这个很神奇吗？你也许会想，天哪，这个是怎么构造出来的啊！但仔细思考之后，你会发现这个一点都不神奇。事实上明白了道理之后你可以构造出无数个这样的式子来。现在给你一些时间让你思考一下，你能否看出其中的奥秘？










































    就像魔术揭秘一样，说穿了真相后上面的这些东西就一点意思都没有了。在这个式子里，涉及到x和y的变量时都加上了取整符号，因此整个图象都是一格一格的。这样，不等式右边的式子就简化为y div 17 * 2^(-17x - y mod 17) mod 2，其中x和y都为整数。接着观察，一个数乘以2的负k次方相当于对应的二进制数右移k位，那么x * 2^(-k) mod 2实质上就是二进制数x右起第k位上的数字。对于某个自然数t，当17t <= y < 17(t+1)时，指数-17x - y mod 17恰好对应所有的负整数，于是位于y=17t和y=17t+16之间的图象的每个像素和t的二进制中的每一位数字一一对应。随着t值的增加，图形的像素会一点一点地变化。当纵坐标足够大时，必然会出现一段高度为17的图象，图象的样子和不等式本身的样子相同。当然，你也可以在里面“找到”任何你想要的图象，只需要把图象还原为二进制数并转换为十进制即可。你甚至可以告诉你的MM，说你发现了一个函数，函数在某个位置的图象正好是某某某我爱你的字样。

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最近发现了一些很不厚道的人，希望大家注意哦！

你或许还记得爱的方程式是什么。
今天我看到了一个加强版，(x^2 + (9/4)y^2 + z^2 - 1)^3 - x^2z^3 - (9/80)y^2z^3 == 0。
下面是本人亲自用Mathematica绘的图，发出来给大家看看。

图片为Matrix67原创
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    康托集合是闭区间[0,1]的子集，它的定义如下：给定区间[0,1]，把这个区间分成三段，去掉中间那一端（即去掉(1/3,2/3)），然后把剩下的两段中每一段都按照刚才的方法再进行操作，然后再分，再分，就这样一直挖洞挖下去。在第二次操作后，剩下的区间是[0,1/9]∪[2/9,1/3]∪[2/3,7/9]∪[8/9,1]，再操作一次后区间将由8段构成。最后剩下来的东西是什么呢？你能找到存在于这个集合中的某个具体的元素吗（不包括形如x/(3^n)的端点）？
    我们看到，n次操作后，区间的总长度为(2/3)^n，当n趋于无穷时，区间长度趋于0。但是这并不能说明这个区间里没有任何元素。事实上，我们可以找到至少一个元素。比如，下图中绿色的点表示三等分点，如果P满足AP/AB=A'P/A'B'的话，那么P点始终以比例相同的位置留在某一段上，这样的话即使无限地分下去也不会把它挖掉。
      
    P点的坐标可以通过解这个方程得到：x/1=(x-2/9)/(1/9)。解出来x为1/4。因此，1/4属于康托集合。当然，除了1/4之外还有很多点在这个集合内，我们只是找到了其中一个。事实上，康托集合内的元素有无穷多个。假如我们把所有0到1的数用三进制表示，那么我们发现，去掉的部分都是三进制小数里有数字“1”的。比如，第一次操作时，1/3和2/3的三进制分别是0.1和0.2，我们去掉的是所有从0.1到0.2的数（不包含端点，因为0.1也可以写成0.0222222222...）。第二次操作就去掉了百分位有1的那些数，依此类推。因此，只要一个位于0和1之间的三进制小数能够只用0和2写出，那么它就属于康托集合，因为它永远不会被去掉。刚才的1/4转化为三进制是0.020202...，因此它属于这个集合。显然，这样的数有无穷多个，比如三进制0.002002002...等于十进制的1/13，因此它也属于康托集合。同样，康托集合里不存在孤点，因为在它的左右可以找出无数个属于康托集合的数。应用对角线方法，这个集合里的元素居然还是不可数的。事实上，我们可以建立康托集合与闭区间[0,1]的一一对应关系。
    用以下方法可以把康托集合里的所有数与[0,1]的所有实数对应起来：将康托集合内的任意一个转化为三进制小数后，把每一个数字除以2，再当成是二进制小数转化回来。由于这些三进制小数里只含0和2，因此康托集合里的每个数都恰好能转化为一个[0,1]之间的二进制小数；同样地，二进制小数里的每个“1”变成“2”后也能得到一个康托集合里的数。
      
    设f为定义域在康托集合内的函数，定义f(x)为按照上面的转化方法x所对应的二进制小数，显然这个函数的值域就是[0,1]。比如1/3的三进制为0.0222...，而二进制0.01111...=0.1即十进制的1/2，因此f(1/3)=1/2。我们发现，2/3的三进制为0.2，而0.1的十进制也是1/2。于是f(1/3)=f(2/3)。类似地，那些被挖去的区间的两个端点对应的函数值都相同。现在，我们把这个函数的定义域也扩展到[0,1]：让康托集合里的那些被挖去的区间里的点的函数值与该区间对应的端点相同（在函数图象上看相当于把函数值相等的点用横线段连起来）。于是，f(1/2)=f(1/3)=f(2/3)=1/2，f(1/8)=f(1/9)=f(2/9)=1/4。这个函数一定是上升函数，它在长度为1的区间里从0增长到了1。同时，这个函数也是一个连续函数，因为康托集合与[0,1]的所有实数一一对应。这个函数是一个阶梯状的函数，但是它不是分段的，是连续的。它是无穷多个横线段组成的一个连续函数，除端点无意义以外导数值都是0。或者说，这个函数在不变之中上升。

做人要厚道
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