今天学到了一个新的名词，Runge现象。1901年，Carl David Tolmé Runge意外地发现，用差值插值多项式逼近函数f(x)=1/(1+25x^2)时出现了一些反常的现象。如图，灰色的粗线就是Runge函数在[-1,1]上的图象。蓝色虚线是过[-1,1]上的6个等距点所得到的5次多项式，红色虚线是过[-1,1]上的10个等距点所得到的9次多项式。可以看到，当次数变高时，插值多项式反而变得更不准确。

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    连续函数f(x)满足f(0)=0且f(1)=0。证明，总能在[0,1]中找到两个数a和b满足b-a=1/2且f(a)=f(b)。换句话说，我们总能画出一条长为1/2的水平线段，它的两个端点都在函数f(x)上。
    这个证明再次用到了我们上次提及的零点定理。考虑f(1/2)的值，如果它也等于0，我们的问题就直接解决了。无妨设f(1/2)>0，那么考虑f(x+1/2)-f(x)的值：当x=0时，该值为一个正数；但当x=1/2时，这个值变成了一个负数。这表明，在x从0增长到1/2的过程中，一定有某一刻使得f(x+1/2)-f(x)恰好为0。

    我们接下来的问题是，除了长为1/2的横线段始终存在以外，还有哪些长度值具有相同的性质？下面我们证明，对任意一个正整数n，长为1/n的横线段也总是存在的。

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    我对各种违背直觉的函数构造特别有兴趣，看看这里你就知道我对这些特殊函数有多痴迷了。因此，当我发现竟然有专门收集各种特殊函数的数学书时，可以想象我的心情有多激动。我试着以“反例”为关键字在图书馆进行检索，借了一大堆实分析数学书。这些书都已经很老了，封皮烂了又烂，已经修修补补重装了两三次封皮。翻翻这些老书，不由得对老一辈的学者和作家表示由衷的崇敬；虽然文字、排版都不出彩，但书的容量极大，内容也很实在。
    废话不多说了，让我们来欣赏一下书里的一些精彩篇章吧。

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    我一直很喜欢有各种惊异性质的奇怪函数，比如阶梯状的连续函数、只在一点连续的函数、任意小的区间所对应的值域都是整个实数域的函数等等。在这里面，最令人吃惊的是恐怕要数在平面上处处稠密的单值函数（其实前面那个函数显然也有这样的性质）。这样的函数打破了一维和二维之间的界线，启发人们重新思考稠密性的意义。不过，有人提到，这两个函数之所以在平面上稠密，是因为它们在平行于x轴的直线上都是稠密的。我们自然开始设想，有不有可能在平面上找到这样一个点集，它在平面上处处稠密，但在任意一条平行于坐标轴的直线上都无处稠密呢？
    这是可以办到的。为了简便起见，我们只考虑平面区域[0,1]×[0,1]上的点集。让我们考虑由所有满足以下条件的点(x,y)所组成的点集：x和y都是有限小数，并且小数位数是相同的。例如，点(0.0516, 0.1025)就属于这个点集，但(0.23, 0.1001)就不属于这个点集，(1/3, π/6)就更不属于该点集了。显然，对于任何一个有限小数x'，直线x=x'上都只有有限多个点；类似地，对于任意一个有限小数y'，直线y=y'上都只有有限多个点。因此，该点集在所有平行于坐标轴的直线上都无处稠密。有趣的是，该点集在整个平面区域内却处处稠密。在任意小的区间x'-ε≤x≤x'+ε，y'-ε≤y≤y'+ε中，总存在一对小数位数相同的x和y。我们只需要写出一个比ε更小的有限小数λ，然后取(x'+λ, y'+λ)（只保留和λ相同的位数），则该点必然在前面所说的范围内。

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    首先呢，让我们来一个牛B函数大回顾。这下我不知道要赚多少的PV。你能否构造一个函数f(x)，使得：

  它是一个阶梯状的连续函数？
  它是除常函数之外的没有最小正周期的周期函数？
  该函数只在一点连续？
  该函数在[0,1]和(0,1)之间形成一一对应？
  该函数某一点导数为正，但该点邻域不构成单增区间？
  平面上任意小的圆内均包含函数上的点？

    另外还有一些可能是众所周知（所以没在Blog里写过）的函数，比如处处连续但处处不可导的函数、在有理点处处不连续在无理点处处连续的函数等等。
    好了，现在呢，又一个牛B东西出现了。你能不能想出这样一个函数f，它的定义域和值域都是R，并且对于任意小的区间l=(u,v)，这个函数都能把(u,v)满射到整个R上。换句话说，是否存在这样的函数f(x)，对于任意一个实数t以及任意一个区间(u,v)，总存在一个x满足u<x<v且f(x)=t。

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    有人突然问到我，有不有可能构造一个函数，它只在一个点连续，其余地方处处不连续。函数构造是一个非常诱人的问题，我非常喜欢那些具有各种不可思议的性质的函数，那些令人吃惊的特性往往违背了大多数人的直觉和常识，这些都是茶余饭后闲谈的绝佳话题。前面提到的这个问题就是一个很有趣的问题。永远不要想当然地以为只在一点连续的函数不存在，各种怪相函数可谓无奇不有。仔细考虑了一下，我想这个函数应该和Dirichlet函数有点联系吧，毕竟很多与连续性相关的函数其原型都是Dirichlet函数，比如满足“无理点处处连续、有理点处处不连续”的爆米花函数就有Dirichlet函数的影子。然后我就突然想到，我彻底火星了，而且还是超级乌龙火星——这个玩意儿我自己还在Blog上写过，只是当时我并没注意到罢了。我曾经在描述Hilbert曲线时写到：

    你知道吗，除了常函数之外还存在其它没有最小正周期的周期函数。考虑一个这样的函数：它的定义域为全体实数，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0。显然，任何有理数都是这个函数的一个最小正周期，因为一个有理数加有理数还是有理数，而一个无理数加有理数仍然是无理数。因此，该函数的最小正周期可以任意小。如果非要画出它的图象，大致看上去就是两根直线。请问这个函数是连续函数吗？如果把这个函数改一下，当x为无理数时f(x)=0，当x为有理数时f(x)=x，那新的函数是连续函数吗？
    …………
    有了Cauchy定义，回过头来看前面的问题，我们可以推出：第一个函数在任何一点都不连续，因为当ε< 1时，δ范围内总存在至少一个点跳出了ε的范围；第二个函数只在x=0处是连续的，因为此时不管ε是多少，只需要δ比ε小一点就可以满足ε-δ定义了。

    类似地，我们可以扩展出只在两个点、只在三个点连续的函数。只需把有理点上的f(x)=x换成f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，我们便得到一个只在a, b, c三点连续的函数。

    刚才在网上发现了上面这张猛图。急着想验证一下，但不知道Mathematica如何画极坐标的隐函数，于是写了一个Free Pascal的小程序。大家也可以试着把这个小程序粘贴到Free Pascal里运行一下看看。
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    你认为是否有可能存在这样一个函数f：在平面上随便画一个圆，圆里面总能够找到函数图像上的一个点？继续看下去前，不妨先仔细思考一下。


    为了说明任一圆内都包含函数上的点，我们只需要说明对于平面上任意给定点(x,y)，对于任意小的d都能在函数上找到一点，使得其横坐标落在x±d的范围内且纵坐标落在y±d内。这样的话，任意给出一个圆后，我都能保证圆的内接正方形里有点。
    我们构造这个函数f的基本思路是，构造一个将全体有理数映射到全体有理数的函数。注意到有理数是可数的，我们可以用这里的方法将全体有理数和自然数建立一一对应关系。也就是说，我们有了一个定义域为全体自然数、值域为全体有理数的一对一函数R(x)，它所对应的函数值是第x个有理数。下面我们开始着手定义我们要求的函数f(x)。函数f(x)的定义域是全体有理数，定义域里的每个x都可以表示成n/m的形式（化到最简），于是我们可以令f(x)=f(n/m)=R(m)。对于任意的y和d，在y±d里肯定存在一个有理数，假如按照上面的对应来看它是第m个有理数（即R(m)），下面我们就想办法说明我们总能够找到一个n，使得n/m在x±d的范围内。当然，如果运气不好m值很小的话我们就挂了，我们很自然地想到，这个m值应该越大越好，最好能重新定义一个值域为全体有理数的函数，对任一给定的有理数我们都能找出任意大的m对应到它。然后我们想到定义一个多对一的、定义域和值域都是自然数的函数H(x)：
x    1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 ...
H(x) 1  1  2  1  2  3  1  2  3  4  1  2  3  4  5 ...

    重新定义f(x)=f(n/m)=R(H(m))，这样的话任意给定一个有理数，我们可以找到任意大的m使得R(H(m))等于这个有理数。当m足够大时，m(x-d)和m(x+d)之间一定会出现一个整数n，则此时n/m在x±d的范围内。
    但我们又遇到一个问题：要是找到的那个n始终不能和m互质（表明没化到最简）咋办？我的直觉是，这种极端的情况应该是不存在的，当m充分大时，总有一个满足要求的n/m出现。但我没有严格证明它。其实，我根本不需要去证明它；这个题目有趣就有趣在，我这个函数f是可以随便构造的。你或许在想，要是分母m为质数就好了。那好，我就可以强迫分母m为质数。定义一个定义域为全体质数，值域为全体正整数的函数P(x)，它表示x是第几个质数：
x    1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 ...
P(x) -  1  2  -  3  -  4  -  -  -  5  -  6  -  - ...

    重新定义f(x)=f(n/m)=R(H(P(m)))，现在我们能够找到任意大的质数m使得R(H(P(m)))等于指定的有理数。当m足够大时，m(x-d)和m(x+d)之间一定会出现两个相邻的整数p和q，由于m是质数，p和q之间总有一个数与m互质（不可能都是m的整倍数），我们需要的n也就找到了。

满足要求的函数有很多。这只是其中一种构造方法。大家能不能再想一些更有趣的构造来？
来源：http://www.douban.com/group/topic/2561708/
参考网友yushih的解答

最近重新整理了日志Tag。如果你喜欢这篇文章，不要错过这里的惊奇数学事实，你会看到更多难以置信的数学结论。