最近看到一类有趣的问题：如何求解 f(f(x)) = g(x) ？我在网上简单搜索了一下，发现这里面真是大有文章。最先对这个问题进行系统研究的应该是 Hellmuth Kneser ，他把函数迭代的次数扩展到了非整数的情况，求解 f(f(x)) = g(x) 就可以更简单地说成是求解 g(x) 迭代 1/2 次后的结果，更形象的说法就是 g(x) 的“平方根”。 Hellmuth Kneser 还对 f(f(x)) = e^x 的解进行了研究，从之后的数学论文发表情况来看，这也是数学家们最关心的问题。

    e^x 的“平方根”究竟是什么样的呢？不妨假设满足要求的 f(x) 也是一个连续递增的函数，那么它的增长速度必然超过一切多项式函数（否则迭代的结果还是多项式），同时也必然小于一切指数形式的函数。而事实上，求解一个满足要求的 f(x) 并不难；稍作思考，我们就能够给出一个看似有些平凡的答案。

    取任意一个负数，记作 a 。选取任意一个在 (-∞, a] 上单调递增的函数，使得当 x 从 -∞ 增加到 a 时，函数值也从 a 增加到 0 。这样一来，当 x 趋于负无穷时， f(x) 趋于 a ， f(f(a)) 就正好趋于 0 了。但 f(a) = 0 ，那么 f(0) 就必须是 e^a ；而考虑到 f(0) ＝ e^a ，那么 f(e^a) 便只能取 1 了。同理，f(1) = e^(e^a)，而 f(e^(e^a)) 就等于 e 。以此类推，我们便得到了一连串满足要求的点。我们可以从 (-∞, a] 上的其它点出发，用同样的方法填充上述“端点值”之间的部分，得到满足要求的 f(x) 。

    根据这个思想，我们可以构造出一个具体的 f(x) 来。取 a = -1，在 (-∞, -1] 上定义 f(x) = e^(x+1) - 1，它的函数值正好从 -1 变到了 0 。在 (-1, 0] 上，则有 f(x) = e^(f^-1(x)) = e^(ln(x + 1) - 1) = (x + 1)/e 。对于其它的 x ，则递归地定义为 f(x) = e^(f(ln(x))) 。由此我们便得到一个分段函数，正是这个分段的办法才让它夹在了多项式增长和指数级增长之间：

查看更多 »

    今天学到了一个新的名词，Runge现象。1901年，Carl David Tolmé Runge意外地发现，用差值插值多项式逼近函数f(x)=1/(1+25x^2)时出现了一些反常的现象。如图，灰色的粗线就是Runge函数在[-1,1]上的图象。蓝色虚线是过[-1,1]上的6个等距点所得到的5次多项式，红色虚线是过[-1,1]上的10个等距点所得到的9次多项式。可以看到，当次数变高时，插值多项式反而变得更不准确。

查看更多 »

    连续函数f(x)满足f(0)=0且f(1)=0。证明，总能在[0,1]中找到两个数a和b满足b-a=1/2且f(a)=f(b)。换句话说，我们总能画出一条长为1/2的水平线段，它的两个端点都在函数f(x)上。
    这个证明再次用到了我们上次提及的零点定理。考虑f(1/2)的值，如果它也等于0，我们的问题就直接解决了。无妨设f(1/2)>0，那么考虑f(x+1/2)-f(x)的值：当x=0时，该值为一个正数；但当x=1/2时，这个值变成了一个负数。这表明，在x从0增长到1/2的过程中，一定有某一刻使得f(x+1/2)-f(x)恰好为0。

    我们接下来的问题是，除了长为1/2的横线段始终存在以外，还有哪些长度值具有相同的性质？下面我们证明，对任意一个正整数n，长为1/n的横线段也总是存在的。

查看更多 »

    我对各种违背直觉的函数构造特别有兴趣，看看这里你就知道我对这些特殊函数有多痴迷了。因此，当我发现竟然有专门收集各种特殊函数的数学书时，可以想象我的心情有多激动。我试着以“反例”为关键字在图书馆进行检索，借了一大堆实分析数学书。这些书都已经很老了，封皮烂了又烂，已经修修补补重装了两三次封皮。翻翻这些老书，不由得对老一辈的学者和作家表示由衷的崇敬；虽然文字、排版都不出彩，但书的容量极大，内容也很实在。
    废话不多说了，让我们来欣赏一下书里的一些精彩篇章吧。

查看更多 »

    我一直很喜欢有各种惊异性质的奇怪函数，比如阶梯状的连续函数、只在一点连续的函数、任意小的区间所对应的值域都是整个实数域的函数等等。在这里面，最令人吃惊的是恐怕要数在平面上处处稠密的单值函数（其实前面那个函数显然也有这样的性质）。这样的函数打破了一维和二维之间的界线，启发人们重新思考稠密性的意义。不过，有人提到，这两个函数之所以在平面上稠密，是因为它们在平行于x轴的直线上都是稠密的。我们自然开始设想，有不有可能在平面上找到这样一个点集，它在平面上处处稠密，但在任意一条平行于坐标轴的直线上都无处稠密呢？
    这是可以办到的。为了简便起见，我们只考虑平面区域[0,1]×[0,1]上的点集。让我们考虑由所有满足以下条件的点(x,y)所组成的点集：x和y都是有限小数，并且小数位数是相同的。例如，点(0.0516, 0.1025)就属于这个点集，但(0.23, 0.1001)就不属于这个点集，(1/3, π/6)就更不属于该点集了。显然，对于任何一个有限小数x'，直线x=x'上都只有有限多个点；类似地，对于任意一个有限小数y'，直线y=y'上都只有有限多个点。因此，该点集在所有平行于坐标轴的直线上都无处稠密。有趣的是，该点集在整个平面区域内却处处稠密。在任意小的区间x'-ε≤x≤x'+ε，y'-ε≤y≤y'+ε中，总存在一对小数位数相同的x和y。我们只需要写出一个比ε更小的有限小数λ，然后取(x'+λ, y'+λ)（只保留和λ相同的位数），则该点必然在前面所说的范围内。

查看更多 »

    首先呢，让我们来一个牛B函数大回顾。这下我不知道要赚多少的PV。你能否构造一个函数f(x)，使得：

  它是一个阶梯状的连续函数？
  它是除常函数之外的没有最小正周期的周期函数？
  该函数只在一点连续？
  该函数在[0,1]和(0,1)之间形成一一对应？
  该函数某一点导数为正，但该点邻域不构成单增区间？
  平面上任意小的圆内均包含函数上的点？

    另外还有一些可能是众所周知（所以没在Blog里写过）的函数，比如处处连续但处处不可导的函数、在有理点处处不连续在无理点处处连续的函数等等。
    好了，现在呢，又一个牛B东西出现了。你能不能想出这样一个函数f，它的定义域和值域都是R，并且对于任意小的区间l=(u,v)，这个函数都能把(u,v)满射到整个R上。换句话说，是否存在这样的函数f(x)，对于任意一个实数t以及任意一个区间(u,v)，总存在一个x满足u<x<v且f(x)=t。

查看更多 »

    有人突然问到我，有不有可能构造一个函数，它只在一个点连续，其余地方处处不连续。函数构造是一个非常诱人的问题，我非常喜欢那些具有各种不可思议的性质的函数，那些令人吃惊的特性往往违背了大多数人的直觉和常识，这些都是茶余饭后闲谈的绝佳话题。前面提到的这个问题就是一个很有趣的问题。永远不要想当然地以为只在一点连续的函数不存在，各种怪相函数可谓无奇不有。仔细考虑了一下，我想这个函数应该和Dirichlet函数有点联系吧，毕竟很多与连续性相关的函数其原型都是Dirichlet函数，比如满足“无理点处处连续、有理点处处不连续”的爆米花函数就有Dirichlet函数的影子。然后我就突然想到，我彻底火星了，而且还是超级乌龙火星——这个玩意儿我自己还在Blog上写过，只是当时我并没注意到罢了。我曾经在描述Hilbert曲线时写到：

    你知道吗，除了常函数之外还存在其它没有最小正周期的周期函数。考虑一个这样的函数：它的定义域为全体实数，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0。显然，任何有理数都是这个函数的一个最小正周期，因为一个有理数加有理数还是有理数，而一个无理数加有理数仍然是无理数。因此，该函数的最小正周期可以任意小。如果非要画出它的图象，大致看上去就是两根直线。请问这个函数是连续函数吗？如果把这个函数改一下，当x为无理数时f(x)=0，当x为有理数时f(x)=x，那新的函数是连续函数吗？
    …………
    有了Cauchy定义，回过头来看前面的问题，我们可以推出：第一个函数在任何一点都不连续，因为当ε< 1时，δ范围内总存在至少一个点跳出了ε的范围；第二个函数只在x=0处是连续的，因为此时不管ε是多少，只需要δ比ε小一点就可以满足ε-δ定义了。

    类似地，我们可以扩展出只在两个点、只在三个点连续的函数。只需把有理点上的f(x)=x换成f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，我们便得到一个只在a, b, c三点连续的函数。

    刚才在网上发现了上面这张猛图。急着想验证一下，但不知道Mathematica如何画极坐标的隐函数，于是写了一个Free Pascal的小程序。大家也可以试着把这个小程序粘贴到Free Pascal里运行一下看看。
查看更多 »