在机器时代，作为机械构造的理论工具，连杆系统曾一度成为数学界中最热门的话题。所谓连杆系统，就是一些刚性的小杆在端点处以转轴的方式相连，形成的一个机械装置。固定某些顶点的位置之后，其余的动点就能画出一些有趣的轨迹。比方说，固定线段 AB 的其中一个端点 A ，则顶点 B 将描绘出一个绕 A 点的圆周。
连杆系统最激动人心的，莫过于一些简单的连杆装置能够描绘出非常复杂的曲线。例如，上面的右图就是由五根相同长度的线段构成的连杆。固定 A 、 B 两个端点后，显然 C 和 D 描绘出的都是圆弧，但 E 点的轨迹就很难以想象了。事实上， E 点的轨迹相当的诡异，需要用一些复杂的代数语言才能描述。
这一系列文章的最后，我们将证明：任意凸多边形内均存在内接正方形。事实上，这几乎是“任意凸多边形内均存在内接菱形”这一命题的直接推论。在这篇日志中，我们实际上证明了这样一个结论：在任意凸多边形中，任选一个方向 u ，总能找到一个内接菱形，它的其中一条对角线与所选方向平行。
现在，慢慢旋转方向 u ，则所得菱形的两条对角线将连续地变化。当方向 u 旋转了 90 度后，原来的两条对角线交换了位置，换句话说两条对角线的长度之差变号了。因此，在方向 u 旋转的过程中，必然有一个时刻两条对角线的长度恰好相同，此时内接正方形也就得到了。
可能有的读者想问了，去掉“凸多边形”这一条件，任意多边形内都存在内接正方形吗？答案是肯定的。 Square Peg 定理告诉我们，对于任意一个简单多边形，总能在上面找到四个点，使得它们恰好是一个正方形的四个顶点。定理的证明需要用到很多之前提到的类似的方法，不过更加复杂一些，这里就不再叙述了。
最后还有一个有趣的话题想与大家分享一下。大家看到了，在一个多边形内内接等边三角形、矩形、菱形甚至正方形都是没有问题的，那么这类问题的极限在哪里？有什么图形是一个多边形内不能内接的吗？肯定是有的。下面我们证明，存在一个多边形，它不能内接正七边形。
事实上，任何三角形内都不能内接正七边形。考虑一个正七边形的外接圆，它与三角形最多只有六个交点（因为一条线段和一个圆最多只能产生两个交点），因此正七边形显然是不能内接于三角形内的。
我们曾经用两种巧妙的方法证明了这样一个命题：任意凸多边形内均存在内接菱形。利用上次讲到的登山引理，我们可以证明一个更强的命题：任意多边形内均存在内接菱形。
证明的大致思路如下：在多边形外任选一点 u 。把多边形上离 u 最近的点记作 y ，把多边形上离 u 最远的点记作 z 。 y 和 z 这两个点就把整个多边形的边界分成了两个部分。
我曾经在这里介绍过一种叫做 autogram 的文字游戏，简单说就是“与自身相符的句子”，或者更简单地叫做“自我描述句”。例如，“这句话是用中文写的”、“这句话有七个字”等等。蛋疼的人还真不少，有人创作出了一些异常牛 B 的 autogram ，比如：
This autogram contains five a's, one b, two c's, two d's, thirty-one e's, five f's, five g's, eight h's, twelve i's, one j, one k, two l's, two m's, eighteen n's, sixteen o's, one p, one q, six r's, twenty-seven s's, twenty-one t's, three u's, seven v's, eight w's, three x's, four y's, and one z.
1982 年， Scientific American 月刊上刊登了一个 autogram 杰作：
Only the fool would take trouble to verify that his sentence was composed of ten a's, three b's, four c's, four d's, forty-six e's, sixteen f's, four g's, thirteen h's, fifteen i's, two k's, nine l's, four m's, twenty-five n's, twenty-four o's, five p's, sixteen r's, forty-one s's, thirty-seven t's, ten u's, eight v's, eight w's, four x's, eleven y's, twenty-seven commas, twenty-three apostrophes, seven hyphens and, last but not least, a single !
如果 10 个非负数 x1, x2, ..., x10 满足 x1 + x2 + x3 + ... + x10 = 1 ，那么这 10 个数都均匀地分布在 [0,1] 之间吗？显然不是。为了说明这一点，最好的方法或许是把分布情况变得有限——我们可以把 [0,1] 区间划分成若干个小区间，并说明这 10 个数不可能均匀地分布在这些区间内。比方说，把 [0,1] 分成 [0, 0.25), [0.25, 0.5), [0.5, 0.75), [0.75, 1] 这四段：如果 10 个数都落在 [0, 0.25) 里，它们的和是有可能为 1 的；但若 10 个数都落在 [0.75, 1] 里，显然它们的和不可能为 1 。一个有趣的问题由此产生：考虑 10 个数的 4^10 种分布，它们的和有可能为 1 的有多少情况？
显然， 10 个区间的右端点之和一定比 1 大。因此，只要 10 个区间的左端点之和不超过 1 ，就可以保证在这些区间中选的数之和可能为 1 。不妨把区间 [0, 0.25), [0.25, 0.5), [0.5, 0.75), [0.75, 1] 依次编号为 0, 1, 2, 3 ，由于它们的左端点分别为 0/4, 1/4, 2/4, 3/4 ，因此左端点之和不超过 1 相当于 10 个区间的编号之和不超过 4 。而和不超过 4 的 10 个非负整数，又与 4 个小球和 10 个隔板的排列顺序一一对应，它们一共有 C(14, 4) = 1001 种情况。但在这 1001 种情况中， (4, 0 ,0, ..., 0), (0, 4, 0, ..., 0), ……, (0, 0, 0, ..., 4) 这 10 种情况是要排除的，因为区间编号只有 0 到 3 。因此，在 10 个数的 4^10 种区间分布中，只有 991 种分布才满足它们的和可能为 1 。
有时候会觉得日文很有喜感，印象最深的就是第一次听说“努力学习”在日文中写作“一生悬命勉强”时，真把我笑得前俯后仰。今天网上闲逛，偶入一日文数学网站，惊奇地发现里面的大多数日文数学名词我都能看懂，并且依旧给人带来一种新奇的陌生感：“多边形”叫做“多角形”，“梯形”叫做“台形”，“切线”叫做“接线”，等等。于是我想到了下面这个有趣的游戏：我在日文 Wikipedia 中挑选了一些词汇，看看大家能否猜得到它们的意思。括号里的数字表明对应的汉语名词有几个字。
=== 数学篇 ===
1. 自乗 (2)
2. 確率 (2)
3. 合同 (2)
4. 二進法 (3)
5. 放物線 (3)
6. 背理法 (3)
7. 暗号理論 (3)
8. 天井関数 (5)
9. 数理論理学 (4)
10. 可付番集合 (4)
11. 鳩の巣原理 (4)
12. 半順序関係 (4)
13. 位相幾何学 (3)
14. 連続体仮説 (5)
15. 排他的論理和 (2)
16. 双子素数の予想 (6)
17. ユークリッド原論 (4)
18. 一対一上への写像 (4)
19. 平方剰余の相互法則 (5)
20. ゲーデルの不完全性定理 (8)
在准备一份数理逻辑的材料时，我创作了下面 10 个逻辑推理问题。在每个问题中，甲、乙、丙三人各说了一句话，你需要判断出每个人说的究竟是真话还是假话。每个问题都有唯一解。注意，与传统的逻辑推理题目不同，没有任何条件告诉你究竟有多少人在说真话，有多少人在说假话。解决问题时尽量避免用枚举法试遍所有 8 种可能，否则这将失去“逻辑推理”的意义。
(1) 甲：乙说的是假话
乙：丙说的是假话
丙：甲要么说的是真话，要么说的是假话
答案：显然，丙说的是真话。
因此，乙说的是假话。
因此，甲说的是真话。
你相信吗，仅仅利用一张日落的照片，你就能得出地球的半径大小！ Princeton 大学的 Robert Vanderbei 在最近的一篇论文中对一张摄于密歇根湖的日落照片进行了分析，不但证实了地球是圆的，还依据照片上的内容对地球半径进行了估算。我把计算的大致过程向大家描述一下，供大家膜拜。
事情的起因就是上面这张很平常的日落照片，以及这样一个大家平时并没有太在意的问题：太阳露出水面的部分应该是一个标准的弓形，但为什么在日出日落时，我们所看到的太阳是一个橄榄球一样的形状？大家或许会很快想到，发光体的下半部分其实是日光反射在水面上造成的。随之产生的是另一个问题：为什么它的下半部分要比上半部分小一些呢？
Matrix67 |
2010-06-22 4:45 | 
