Matrix67 |
2009-10-27 16:26 | 
有一个放听装可乐的货架，它的宽度要比四听可乐的直径稍微大一些。把10听可乐放进这个货架里，堆叠成一个三角形。虽然底下三层可乐罐歪歪斜斜有高有低，但最顶上的那听可乐一定位于货架的正中心，也就是说它到货架两壁的距离是相等的。这是为什么呢？
Oct
27
在今天晚上的微观经济学课上，我又听到了一个比较有意思的东西。试着找找各种类型的连续函数f(x)，画出f'(x)和f(x)/x的函数图像，你会发现一个奇怪的现象：f'(x)与f(x)/x相交的地方都是f(x)/x取到极值的地方。简单地算一算，我们不难证实这个结论。f(x)/x的导数等于f'(x)/x - f(x)/x^2。将f'(x)=f(x)/x代入上式，可得f'(x)/x - f(x)/x^2 = f(x)/x^2 - f(x)/x^2 = 0。这就是说，当f'(x)与f(x)/x相等的时候，f(x)/x的导数一定等于0。有意思的是，这个结论还有一个非常直观的解释，你能想到吗？
Oct
21
今天在某小学数学竞赛真题上看到了这么一个问题：图中阴影部分是一个正方形，求它的边长。当然，题目本身并不难，大家一看就知道答案；问题的关键在于，这个问题是一道小学竞赛题，这意味着这个题目一定有一个异常巧妙的傻瓜解。这个解法不用相似形，不用列方程，事实上几乎什么都不用，只需要用到最基本最显然的正方形长方形的性质。你能想到这个解法吗？
Oct
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连续函数f(x)满足f(0)=0且f(1)=0。证明，总能在[0,1]中找到两个数a和b满足b-a=1/2且f(a)=f(b)。换句话说，我们总能画出一条长为1/2的水平线段，它的两个端点都在函数f(x)上。
这个证明再次用到了我们上次提及的零点定理。考虑f(1/2)的值，如果它也等于0，我们的问题就直接解决了。无妨设f(1/2)>0，那么考虑f(x+1/2)-f(x)的值：当x=0时，该值为一个正数；但当x=1/2时，这个值变成了一个负数。这表明，在x从0增长到1/2的过程中，一定有某一刻使得f(x+1/2)-f(x)恰好为0。
我们接下来的问题是，除了长为1/2的横线段始终存在以外，还有哪些长度值具有相同的性质？下面我们证明，对任意一个正整数n，长为1/n的横线段也总是存在的。
Oct
15
假设你有两份工作供你选择：工作一，有1/2的概率获得1000块钱，有1/2的概率获得2000块钱；工作二，百分之百地能稳拿1500块钱。虽然看上去两种选择的平均收入都一样，但是人们往往更愿意选择后一份工作，尽可能避免前一种工作所带来的风险。为什么面对期望收入相同的事件，人们往往愿意选择风险更小的那一个呢？前几天我去听微观经济学的课时，学到了解释该现象的一个非常有趣的科学模型（经济学大牛请直接无视掉）。
这里，我们有一个重要的假设：收入的边际效用是递减的。换句话说，增加同样多的收入，低收入者主观上会感觉自己收益了很多，本来就是高收入的人则觉得这点儿收入算不了什么。人们往往会觉得，收入从1000块钱增加到2000块钱所带来的幸福感，要远远大于收入从8000块增加到9000块所带来的幸福感。因此，如果把个人收入和它给人带来的效益画成一条曲线的话，大致就如图中的那条蓝色曲线。
假如你获得了1000元钱，你主观上获得的收益就用A点来表示；假如你获得了2000元，你主观上的收益就在B点。因此，工作一带给你的平均效用就用A和B的中点C来表示。但是，如果我直接就给你1500块钱，你将会得到一个大于C的效用D。这表明，直接选择工作二所带来的效用要高于工作一带给你的平均效用，自然人们都会选择工作二了。因此经济学中有这样一个定理，如果一个人认为自己收入的边际效用是递减的，那么这个人就是一个风险规避者。对于期望收入相同的两件事来说，他愿意去做风险更小的那一件。
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14
电子公告板上的式子原本是正确的，只是因为有一个像素点坏了，才显示出如此荒谬的结果。
你能看出是哪一个像素点坏了吗？
题目来源：http://www.braingames.ru/?path=comments&puzzle=393
答案很简单，这里就不公布了……
Oct
12
零点定理是一个大家平时生活中用惯了以至于反而觉得很陌生的一个定理。若函数f(x)在区间[a,b]连续，并且f(a)与f(b)异号，那在(a,b)之间一定存在某个x，使得f(x)=0。如果你从海拔为-100的地方走到海拔为400的地方，那不管你是怎么走的，你一定会有经过了海平面的一瞬间。另一个比较隐蔽一些的应用便是，对任意一个凸多边形，总存在一条直线把它分成面积相等的两份。考虑一条竖直直线从左至右扫过整个凸多边形，则凸多边形位于直线左边的那部分面积由0逐渐增大为整个凸多边形的面积，直线右侧的面积则由最初的整个凸多边形面积渐渐变为0。若把直线左侧的面积记为f(x)，直线右侧的面积记为g(x)，则随着直线位置x的变化，f(x)-g(x)的值由一个负数连续地变为了一个正数，它一定经过了一个零点。这表明，在某一时刻一定有f(x)=g(x)。
用类似的方法，我们能证明一个更强的命题：对任意一个凸多边形，总能用两条互相垂直的直线把它的面积分成四等份。利用前面的结论，我们能找到一条直线l1，它把整个凸多边形分成上下相等的两份；类似地，我们能找到唯一的一条与l1垂直的直线l2，使得它恰好把整个凸多边形分成左右相等的两份。注意，现在我们有A1+A2 = A2+A3 = A3+A4 = A4+A1，我们甚至立即还可以知道A1=A3并且A2=A4，但这都还不足以保证四块面积全都相等。怎么办呢？注意，我们前面假定直线l1是一条水平直线。事实上，l1每取一个方向，我们都能用上面的方法得到一个具有相同性质的新构造。为此，我们将直线l1的方向顺时针旋转90度。考虑整个过程中A1-A2的值的变化过程：旋转后的A1-A2恰好就是旋转前的A2-A3，而A1和A3又是相等的……于是我们发现，旋转前后的A1-A2的值恰好互为相反数！这表明，在直线l1旋转的过程中，一定有一瞬间满足A1-A2=0，这一刻的l1和l2便是两条互相垂直并把图形四等分的直线。
Oct
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由于勾股数组有无穷多个，因此以原点为圆心的单位圆上有无穷多个有理点。例如，(3,4,5)是一组勾股数，因此(3/5, 4/5)就是单位圆上的一个有理点。将这个圆的半径放大有理数倍，则原来圆周上的有理点现在显然仍是有理点；将这个圆的圆心平移至一个有理点，则同样地，原来圆周上的有理点现在显然仍是有理点。于是我们得到这样一个结论：在平面直角坐标系内，任意一个以有理点为圆心，有理数为半径的圆周上总存在无穷多个有理点。我们不由得想到这样一个有趣的问题：如果一个圆的圆心是无理点（两个坐标中至少有一个不是有理数），那么圆周上的有理点个数还可能是无穷多个吗？若不是的话，最多能有多少个？
