前段时间，网上涌现出一大批关于1/4 + 1/16 + 1/64 + ... = 1/3的图形证明(1) (2)。不过，有多少人想过，为什么这些图形都是证明底数为1/4的情况呢？同样是几何级数求和，能否构造一个图形来证明1/5 + 1/25 + 1/125 + .. = 1/4呢？

查看更多 »

    今天看到一本巨爽的电子书，里面介绍了很多离散几何的神奇结论和美妙证明。我一口气看了将近十个小节，期间不停地被那些天才的数学证明所震撼。电子书的第一节介绍了一个非常初等的东西——Helly定理。从这里大家足以领略到凸集理论的奇妙。
    Helly定理是说，如果一组凸图形中任意三个都有公共区域，那么所有这些凸图形也一定有一个公共区域。注意，这个结论并不是显然的。如果把“任意三个”改为“任意两个”的话结论就不成立了，反例很容易找。另外，“凸图形”这个条件也是必需的——下图中的四块区域满足任意三个都有交集，但它们却没有一块公共的部分。因此，要想证明这个结论，我们必须充分利用“凸图形”这一条件。

查看更多 »

出了一道好题目却不知道该怎样投递到各大OJ上？现在不用担心这个问题了，因为你可以直接把自己的Blog变成一个OJ。Scarky是一个建立在SPOJ系统上的OJ平台。所不同的是，任何人无需注册便可以编写自己的题目并发在自己的网站上与网友分享，并且网友们提交答案时也不需要进行注册。这个网站的功能还在不断扩充中，但目前就Programming Challenge模块看来，这个网站已经很强大了。以后我有了好题目就用这种方式和大家分享了，这里先试用一下，题目来源好像是某次USACO月赛。

上面这张图片里隐藏了不少与爱情相关的单词，你能找出几个来？
图片来源：http://www.bantjes.com/index.php?id=221

    说勾股定理是一切科学的基础恐怕一点也不夸张。一些最基本的物理定律就与勾股定理之间产生了完美的对应。在我初三学到动能的公式时，我就想到，动能与速度的平方成正比是有内在原因的，这正是由数理科学中最基本的定理——勾股定理——决定的。考虑一个质量为1的物体向正北方向运动，如果它的速度为a，那么所需要的能量就是(a^2)/2；类似地，让同一个物体以b的速度向正东方向运动，所需要的能量应该为(b^2)/2。如果把这两个力叠加在一起，我们就得到了这样一个事实：用(a^2)/2 + (b^2)/2的能量可以让物体往大致东北的方向运动，其速度正好就是一个以a和b为边的矩形的对角线长。因此，(a^2)/2 + (b^2)/2正好也就是对角线长度的平方的一半，这恰好与勾股定理的内容一致。可以说，我们用数学定理验证了一个物理定律；也可以说，我们用物理定律证明了一个数学定理。

查看更多 »

在网上偶然看到这篇文章，决定把之前创作排序算法内存状态演示图所用的Mathematica程序修改一下，于是搞出来5个midi音乐。这些midi文件用音高来表示内存状态，初始时的音都是乱的，然后声音渐渐变得有序，最后就成了从低到高的一串音符。

http://www.matrix67.com/data/bubble_8_elements.mid
http://www.matrix67.com/data/insert_8_elements.mid
http://www.matrix67.com/data/select_8_elements.mid
http://www.matrix67.com/data/quick_12_elements.mid
http://www.matrix67.com/data/bogo_6_elements.mid

哪位兄弟能推荐一个在线放midi文件的好方法？