有时候，我们需要一个不用倒带即可实现无限循环播放的特殊磁带。这并不是不可能，只需要打开磁带外壳，把基带进行适当的剪切粘贴后重新绕上去即可。上图便是一个简单的循环播放磁带设计图，磁带的基带非常短，只能录制大约4.9秒。可循环播放的磁带与传统磁带不同的就是，如果基带是一个“圈”的话，它无法再在转轴上一圈一圈地缠绕，否则将会产生自相交，而这在卡带中是不允许的。在这种情况下，基带不可能设计得太长，任何一个小小的改动，哪怕是从4.9秒提升到5秒，也是一个不小的胜利。
下图是另一种设计方案，录制时间从4.9秒一下子提升到了7.8秒。
有网友可能敏锐地发现，这个设计似乎有问题——两个转轴的旋转方向不一致。事实上，在卡带中，转轴的转动方向不一致是允许的。显然，卡带的两个转轴中只能有一个是主动旋转，另一个则是被动旋转；这是因为在播放普通卡带时，由于两个转轴各自最外圈的基带半径不同，两个转轴的转速是不一样的，播放卡带必然只能是用一轴带动另一轴。
现在，我们的问题是，有一种循环播放磁带设计方案，可以将录制时间增加到9.3秒。你能想到这个方法吗？
概率论并不仅仅是用来算算概率的。有些时候，概率论远比我们想象中的更强大。
考虑这样一个问题。考虑集合X上的一个集合族，集合族中的所有集合大小均为d。我们说这个集合族是可以二染色的，如果对X的元素进行适当的红蓝二着色之后，每个集合里面都包含了两种颜色的元素。例如，当d=3时，{1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,5}就是可二染色的，把1、2染成红色，把3、4、5染成蓝色，则每个集合里都含有两种颜色。是否存在d=3的不可二染色集族呢？这样的集族当然是存在的，例如取集合{1,2,3,4,5}的全部C(5,3)个元素个数为3的子集，则无论如何染色，总会有一个集合里面的元素全是一种颜色。上述推理立即告诉我们，对于一个给定的d，一定存在一个集合个数为C(2d-1, d)的不可二染色集族。这个数目还能再少吗？我们想知道，不可二染色集族中的集合个数最少可以少到什么地步。一个极其简单的证明给出了一个下界：集族的大小一定大于2^(d-1)。当d=3时，你一辈子也不能构造一个不可二染色集族，里面只含4个集合。
为了证明这一点，不妨对X中的所有元素进行随机着色，每个元素取成红色和蓝色的概率均等。那么，一个元素个数为d的集合中，所有元素均为一种颜色的概率就应该是1/2^(d-1)。如果集族内的集合个数只有不到2^(d-1)个，那么即使“集合中是否只有一种颜色”是互相独立的，这些事件的并（至少有一个集合内只有一种颜色）的概率也不超过2^(d-1) * 1/2^(d-1) = 1，何况这些事件还不是独立的，因此存在单色集合的概率必然小于1。这个概率值小于1说明什么？这说明，“至少有一个单色集合”并不是必然事件，一定有一种染色方案使得每个元素里都含两种颜色，换句话说该集族可以被二染色。
其实，中文系并不轻松。我们有人曾经仔细算过，我们的学分（特别是我们专业的学分）远远高过好几个理科大系。理科院系看上去作业很多，但期中期末的任务并不重；文科院系就惨了，平时没啥作业，一到期中期末就牛B，写了论文还要背东西应考，逼着我们天天熬夜。
这几天实在是累，加之空间续费后IP地址变了，DNS刷了半天都没刷过来，于是又是好久没有更新。晒一晒这几天的劳动成果——汉语虚词研究的一次大作业。如果感兴趣的话，不要错过这两篇日志：
http://www.matrix67.com/blog/archives/477
http://www.matrix67.com/blog/archives/508
“又”、“还”、“再”、“重/重新”表示重复意义时的区别
一、对“重/重新”的语用分析
“重/重新”在语义上与其他三个词有较大的差别，因此这里首先单独讨论“重/重新”的意义，以便在以后的讨论中排除单由“重/重新”的语用条件引起的混淆。
在《现代汉语词典》中，“重”释义为重新、再，而“重新”则释义为再一次。但事实情况远远没有那样简单。请看下例：
在去年的比赛中，他再次名落孙山
* 在去年的比赛中，他重新名落孙山
摘录几道题目。
计算1·2^2 + 2·3^2 + 3·4^2 + ... + 19·20^2
原式 = (1^3 + 2^3 + ... + 20^3) - (1^2 + 2^2 + ... + 20^2) = 44100 - 2870 = 41230
求2^x = 3^y - 1的所有正整数解
x=1时(1,1)是一个解；当x>1时，方程模4后左边永远等于0，右边则是(-1)^y - 1，可知y为偶数。令y=2z，那么有2^x = (3^z - 1)(3^z + 1)，这就要求3^z-1和3^z+1都是2的幂；但它们只相差2，因此它们只有可能是2和4，于是z=1，即原方程的另一个解为(3,2)。
圆周上有2008个点。选择两个点连成一条线，再选另外两点连一条线，这两条线段相交的概率为多少？
给定四个点，在三种连接方案中恰有一种会发生相交。取遍所有C(2008,4)种组合，相交的总情况数总是占了1/3，因此所求的概率就是1/3。
还记得我们曾经介绍过的Sierpinski三角形挂饰和Sierpinski饼干吗？iceberg曾经留言说，做一个分形点心会比较有趣，因为你可以宣称“我吃掉了一条无限长的曲线”。这并不是没有可能，Koch雪花就是一个面积有限但边界无穷长的图形。牛B就牛B在，同一个网站今天又更新了，它真的给我们带来了一块Koch雪花小蛋糕：
小学时经常在计算器上面按12345679这个神秘的8位数。这个数牛就牛在，它乘以9的结果正好等于111111111。你可以在计算器上输好12345679，然后问MM“你的幸运数字是多少”；如果她说“7”，你就在计算器上按“乘以63”，计算器上将会显示出清一色的7字，看上去无比壮观。
假如123456789×9=1111111111的话，我倒不会觉得奇怪。网上流行过一个火星帖子，写了一大堆诸如111111111 * 111111111 = 12345678987654321的式子来展示数学之美，以至于大家会认为123456789×9的结果也一定是一串很有规律的数字。因此，如果我不在这里说一句123456789×9其实并不等于1111111111的话，估计很多人都发现不了问题。事实上，123456789×9=1111111101，偏偏就差一个“1”。而怪就怪在，去掉被除数中的数字“8”，偏偏又有了12345679×9=111111111，一个极其别扭的算式反而得到了完美的结果。不要让你的直觉被数学之美所蒙蔽，数学上有大量出人意料的、看上去很不对称的结论。
为什么偏偏要少一个“8”呢？难道这真的是算术中的一个不可抹去的疤痕？我们急需要寻求一个解释，填补上算术中的这个不和谐的“漏洞”。一种解释是，我们看到了123456789×9=1111111101并不美观，想要对其进行改造，进而得到(123456789+1)*9 = 1111111101+9 = 1111111110，于是(123456789+1)*9/10 = 12345679*9 = 111111111。用这种办法的确可以解释“迷失的8”，不过这个解释并不漂亮。为了寻求一个更好的解释，我们来看一看111111111和9的关系。
Matrix67 |
2009-03-30 23:30 | 
