Matrix67 |
2008-06-22 1:41 | 
如题……
受苦去了。
Jun
21
哈哈，我考完啦~~~非常happy地上来更新~~
上图是在Wiltshire的Wroughton附近出现的麦田圈，被称为是目前“最复杂的”麦田圈图形。天体物理学家Mike Reed最近发现，这个麦田圈的图案是一个十进制圆周率的图形编码。这对于麦田圈之谜的研究是一个重大的突破。
Jun
18
又回来更新啦！虽然还有两门课没考，但今天已经轻松了不少。梦魇般的现代文学史总算是结束了。抱了两天两夜的佛脚，结果考试时一看卷子，仍然没一道会的题目。不定项选择多选少选均不得分，都是些文学常识题，给四篇我从没见过的小说名字问哪些是第一人称叙事，或者给四个人名字问哪些是笔名之类的。天哪……以后的古代文学史咋办啊。
先强烈推荐一本好书。前几天在TopLanguage看到有牛人推荐Proofs from THE BOOK这本书，当即决定买了下来。这几天复习累了我都在看这本书，真的是很好很强大，里面汇集了很多著名问题的经典证明，包括很多我一直想找但没找到的证明。好了不多废话了，下面进入正题。
很早以前，我们曾经研究过质数，证明了质数有无穷多个。后来，我们又学到了另外两种证明质数无穷多的方法。这两种方法的基本思路相同：寻找一个无穷大的集合，里面的数两两互质。只用有限个质数明显不能得到无穷多个两两互质的数，于是我们立即可知质数必然有无穷多个。今天，我们将证明两个比质数无穷多更强的定理。这两个证明都出自Proofs from THE BOOK的第一章。
定义函数π(x)为“小于等于x的质数有多少个”。无妨规定x为一个正整数。我们将用初等微积分方法证明当x趋于无穷时π(x)也趋于无穷并给出π(x)的一个下界。我们将说明，对于所有x，π(x)>=log(x)-1，即x以内的质数至少有log(x)-1个。
为了说明这一点，让我们考虑所有不超过x的质数的倒数的等比级数(1 + 1/p + 1/p^2 + ..)的乘积，即
。
回忆等比级数的公式，则我们有：
第二行的一些变换非常巧妙。第二行中间的不等号是一个关键，用到了一个基本事实：第k个质数显然比k大。最后的连乘中前一项的分子和后一项的分母正好抵消，最后消完了就只剩了一个π(x)+1。
另一方面，想像一下把(1+1/2+1/4+...)(1+1/3+1/9+...)(1+1/5+1/25+...)...展开的样子，很显然展开后的每一项都是一个所有质因子都不大于x的数的倒数，即Σ(1/m)，其中m取所有仅含1..x范围内的质因子的数。显然，原本就比x小的数，其质因子当然不可能超过x，这就是说从1到x的所有正整数都是属于m的。利用一些微积分的基本知识，我们可以立即得出Σ(1/m) >= 1+1/2+1/3+...+1/x >= log(x)。地球人都知道，log(x)是没有上界的，于是质数的个数也没有上界。
这里还有一个类似的问题，大家可以对照着看看。
Jun
11
明天考英语，单词还没背。先冒死更新一个^_^
我们称一个从集合A到集合B的映射是“单射”的，如果A中的任两个相异元素都不会映射到B里的同一个元素。如果一个A→B的映射是单射的，并且B里的所有元素都被射了（满射），那么这个映射就是“双射”的。Cantor-Bernstein-Schroeder定理是说，假如存在一个从集合A到集合B的单射函数f，以及一个从集合B到集合A的单射函数g，那么A与B之间一定存在一个双射函数（即能建立起一一对应的关系，两个集合有相等的势）。这个结论并不是显然的。对于无穷集合，我们可以构造出很多这样的例子，两个映射A→B和B→A都是单射，但都不是满射的。例如，给定一个正方形和正方形外的一条直线，把正方形放到直线上滚一圈所形成的对应关系是一个从正方形上的所有点到直线上的点的一个单射函数，而连接直线上的点和正方形一边中点后与正方形的另一个交点构成了一个从直线到正方形的单射关系（如图）。那么，根据Cantor-Bernstein-Schroeder定理，我们一定可以找到一种函数，使得直线上的所有点和正方形上的所有点有一一对应的关系。
Jun
5
每过一段时间我都会推荐一些自认为有创意的小游戏，后来发现这种游戏推荐日志似乎很受大家欢迎。今天再推荐一些新鲜的小游戏，希望大家同样喜欢。期末考试来临，好多东西要背，接下来几天的更新速度会稍微慢一些。大家暂时靠这些科学的小游戏打发一下时间，折磨一下大脑吧。
http://www.caravelgames.com/Articles/Games.html
首先重点推荐相当科学的系列解谜游戏DROD。这是一款棋盘回合策略解谜游戏，难度非常大。相当多的人宣称，这个游戏是他们“最喜欢的解谜游戏”。我是从Journey to Rooted Hold开始玩的。从官网上下载下来后，一口气玩到了游戏的牛B程度的一阶导数达到最大值的时候，居然试玩结束了，于是不得不在网上苦苦地搜寻完整版。接下来好几天我把能跷的课都跷了，没了命地玩这个游戏。玩到Level 7或者Level 8的时候，一些谜题已经足以让人傻盯着屏幕苦思冥想半个钟头了。印象最深的是某一个房间乍看之下显然无解，我都开始怀疑是不是游戏本身的问题。我把游戏屏幕截下来打印出来，拿到古代汉语课上去接着想。然后看着看着有一瞬间我恍然大悟，一下子全想通了，心里大叫“真妙！真绝！思维定势果然害人不浅啊”。现在我已经打到Level 12了，又引进了好多新的元素，关卡设计相当巧妙，一些房间的解法让人拍案叫绝。DROD: Journey to Rooted Hold一共有25个Level，每个Level里都有十几二十个房间（包括不少的隐藏房间）。游戏中的各种怪物有着不同的性质和行为，让整个谜题更加变化多端。
完整版网上很难找。我非常艰难地从国外BT资源上弄到一个完整版，但是怎么和大家分享呢？
Jun
2
对于哪些n，存在一个1到n-1的排列S_1, S_2, ..., S_n-1，使得T_1, T_2, ..., T_n-1也是一个1到n-1的排列，其中，
T_1 = S_1 mod n,
T_2 = (S_1 + S_2) mod n,
T_3 = (S_1 + S_2 + S_3) mod n,
.......
T_n-1 = (S_1 + S_2 + ... + S_n-1) mod n.
