2006-03-02 23:18| 
34 Comments | 本文内容遵从 想起写这个是因为小方的爸爸上课的时候提到了这个东西。他的说法有很多错误的地方。早些时候我对这个有过一些考究，想在这里写一下。
这个问题最初发表在美国的一个杂志上。美国有一个比较著名的杂志叫Parade，它的官方网站是http://www.parade.com。这个杂志里面有一个名字叫做Ask Marylin的栏目，是那种“有问必答”之类的一个Q&A式栏目。96年的时候，一个叫Craig.F.Whitaker的人给这个栏目写了这么一个问题。这个问题被称为Monty Hall Dilemma问题。他这样写到：
Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors. Behind one door is a car, behind the others, goats. You pick a door, say number 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say number 3, which has a goat. He says to you, "Do you want to pick door number 2?" Is it to your advantage to switch your choice of doors?
这个问题翻译过来，就是说，在一个游戏中有三个门，只有一个门后面有车，另外两个门后面是羊。你想要车，但你不知道哪一个门后面有车。主持人让你随便选了一个门。比如说，你选择了1号门。但你还不知道你是否选到了车。然后主持人打开了另一扇门，比如3号。你清楚地看到3号门后面是一只羊。现在主持人给你一个改变主意的机会。请问你是否会换选成2号门？
对于这个问题，Marylin的回答是：应该换，而且换了后得到车的概率是不换的2倍。
这个回答引起了争议。大多数人不同意Marylin的回答。一时间，全国上下几乎所有人都在谈论这个问题，因为这个问题是非常吸引人的，它说起来很简单，很好懂，但想起来很麻烦。争执双方都有一套很完整的说法。至少10篇讨论这个的文章刊登出来，有些文章是相当长的。
事实上，这个争论是毫无意义的。因为概率问题总可以通过多次试验得到近似结果。到底换了好不好做几次试验就知道了。意识到这一点后，搞电脑的开始编程，学校开始组织活动模拟这个游戏。为了让读者有一个满意的答案，Marylin给一位数学老师打了个电话，请求她帮忙做试验。不久，这位数学老师发过去了一个表格，上面记录了试验结果并且列出了所有的可能。这份表格明确地表明，换一扇门可以得到车的概率更大。与此同时，许多人也相继发布了他们的测试结果。这些试验结果使这一看上去荒谬的结论变成了无可争议的事实。最后，这个问题有了科学的解释。人们接受了这一观点。这个问题已经被解决，它已经不再有争议了。
一个叫S.K.Stein的人写过一本书，名字叫Strength in Numbers。书里面谈到数学家们如何一步步解决问题的时候引用了这个Monty Hall Dilemma问题。他在书中这样说道：
If, after thinking some more about the question, you still are not sure about the answer and are not ready to explain it, then do the following. (Keep in mind that just citing experimental data is not an explanation. The data may convince you that something is true, but they do not explain it.)
Get one more canister and perform a similar experiment, using four canisters instead of three. Put a wad of paper in one canister. After your friend chooses a canister, look in the remaining three and show the friend two empty canisters. The friend then faces a choice between the two other canisters. Carry out the same experiments as before. Think over the results you get. What do they suggest? Do you see a way to explain what happens?
Performing these experiments not only gives you some clues, it also slows you down from the common frenzy of everyday life, so you can focus on just one thing for a period of time.
If you still do not see how to explain what is going on, then use ten can- isters. Put the wad in one of them. After your friend chooses a canister, look in the other nine. Show your friend eight empty canisters out of those nine and remove all eight. Again that leaves just two canisters. Conduct a similar experiment.
I am confident that you will solve this problem, so confident that I do not include the answer anywhere in the book, not even in fine print upside down hidden in the back matter. You mill probably, along the way, calculate the fraction of times that switching will pick the car and the fraction of times that not switching will pick the car. Using these fractions, you will be able to explain the brainteaser completely. Then you will have to admit that you can think mathematically. You just needed the opportunity.
简单地说，Stein想表达这样一个意思。他建议那些还想不到Monty Hall Dilemma问题的答案的人别忙用数学方法去解，先亲自做几次试验来进行一些感性的认识。叫一个朋友当游戏里的主持人，在三个罐子中的其中一个里放一个东西。多玩几次，用心体会。如果做了试验还没有启发，那么他提出了这样一个非常具有启发性的试验的变形：规则不变，只是把三个罐子改成四个罐子。你的朋友会在你选择了一个罐子后打开另外两个空的罐子，再问你是否换一个。如果还没有一点启示，干脆把四个罐子变成十个。如果你真这么做了还没有一点想法那你就彻底地傻了。想想看，假如游戏中三个门变成了十个门，随便选一个选中车的机会将更渺茫。在主持人打开了另外八扇有羊的门后，你不换你肯定傻了。要是是我，我肯定会毫不犹豫要求换成另一个门。是啊，随着羊一只又一只的跑出来，我肯定会越来越激动，心想，那剩下的那个门里肯定是车了。这里有一个很基本的想法：我开先如果选的羊，换了一下就变成车了；如果开先选的是车，换一个门就变成羊了。既然一开始选的多半是羊，我为什么不换呢？
根据这个思想，我们得到：在Monty Hall Dilemma问题中，第一次选中车的概率是1/3，显然车在另一扇门的概率是2/3。因此，我换门将有2/3的几率拿到车，而不换则只有1/3的概率拿到车。
这个问题到这里本来应该结束了，但还有一点疑问：为什么主持人打开一扇羊门会改变选择的几率？其实道理很简单，几率本身是没有变的，只是因为主持人在打开门时就有一个选择。这导致了可能的情况减少。
还想不清楚的话可以看看这样一个问题，这个问题也是由于看似没有影响的条件发生改变而导致概率的变化：说左右各一个人，已知两个人中至少有一个女的，问右边那个是女的的概率是多少？下面给出一个条件：同样两个人中至少有一个女的，现在告诉了你左边那个是女的，那么现在右边那个是女的的概率又是多少？有变化吗？既然至少有一个女的，那么说了左边那个是女的为什么概率也会跟着变呢？
Monty Hall Dilemma问题传到中国来要稍微晚一些，但也在各大论坛上引起争论。Monty Hall Dilemma这个名字的中文翻译有很多，多数都比较直观，如“羊与车问题”。对这个问题的分析在网上很多地方都有仔细的讲解，到处都找得到。这也是本文着重在介绍这个问题的提出和发展史的原因。
做人要厚道，转帖请注明出处。
女人那个的概率是多少？！
回复：2/3，1/2。有朴素概率和条件概率两种解释方法。这篇文章是很早写的了，现在我觉得最后这个例子并不恰当
似乎numb3rs第一季的finale里面也有这个的说。。。
介绍erdos的一本书my mind is open,（或者the man who only loved number)里面也提到过，具体哪个忘了
回复：谢谢推荐
概率很难理解,估计和左右脑开发类似的情况有关,,,,
有人其他科目全优,就是概率不及格;人
其他科目全不及格,就是概率一看就会,100分;
全优的恐怕就是爱因斯坦式的boss人物!!!
问一下M67对clrs概率那章 最后一个题的看法( c 2.10 )我感觉跟这篇文章的这个问题蛮象的 (c 2.09 就是这个题)
是不是可以这样理解呢。。。当选择者选择了一个门以后，他就留下了2个门给主持人来选择打开哪一个，如果选择者选中的门后是车的话，那么主持人就可以在剩下的2个门中任选一个，相反如果没有选中车的话主持人就没有了选择，因为主持人不能打开有车的那个门。这么看的话，选择者第一次选中车的机会是1/3，也就是说主持人可以任选一个剩下的门的情况只有1/3的几率，2/3的情况是只能选择其中没有车的那个门。所以当选择者选好一个门以后主持人打开另一扇门这个情况有1/3几率是主持人随意选了这个门2/3的几率是主持人只能选这个门，也就是说另一扇门里有1/3的几率是羊2/3的几率是车。
所以我觉得这个问题绕人的地方就在于主持人不是在剩下的门里随意打开一个而是要考虑应该打开那一个。
我觉的这个问题最主要的地方在于主持人打开有羊的门是100％
的
羊与车问题计算机模拟...
先推荐一下Mathematica,这个东西擅长数学运算,速度快结果精确,在许多情况下可以取代程序设计语言,比如这次我要解决的问题–羊与车问题
题目描述(来自Matrix67的博客)
在一个游戏中有三个....
3周年考古～
[...] 某日凌晨4点多，网友Superwyh发来短信说，他梦到了这样一个颇具启发性的问题：如果我们能够证明两个数之间不存在其它的数，这是否足以说明这两个数是相等的？正好当时我还没睡，稍微想了一下，发现这个命题是成立的，因为它的逆否命题显然成立。倘若两个数不相等，那它们之间一定能够插入其它的数（例如这两个数的算术平均值）；反过来，如果两个数之间无法插入别的数，这两个数自然就应该相等了。 这个命题是相当具有启发性的。或许有人会想，能不能用这一思路去证明两个数相等呢？ 关于两数是否相等的争论，最著名的就是那个关于0.9999....和1是否相等的问题了。这一问题理解起来简单，细想起来争议颇大，真可谓是一个全民化的数学争论，与著名的Monty Hall问题有得一拼。不了解极限概念的人可能会说，不管你在后面写多少个9，它都不能达到1的，量变和质变存在本质上的区别。因此，当高中数学课上老师明确指出0.9999....精确地等于1时，还是有不少人瞠目结舌，甚至高声反对。 [...]
神帖留名 数学课上讲过 我一直觉得看过 原来在这里
倒数第四段中"第一次选中羊的概率是 1/3"，应该是 2/3 吧
回复：噢天哪，这么久了都没人指出我的错误来……已经改过来了
可是，在第一次选择里，选择1号门和2号门得到羊的几率是一样的，都是1/3；在第二次选择中，选择1号门和2号门得到羊的几率也是一样的，都是1/2啊……
这个问题是一个典型的条件概率问题，我的求解如下：
问题是要求的两个概率 P(开门得到车|不改变注意) 和 P(开门得到车|改变注意)的概率多少。
根据全概率公式，我们得到
P(开门得到车|不改变主意)= P(开门得到车|第一次是羊，不改变主意)P(第一次是羊|不改变主意) + P(开门得到车|第一次是车，不改变主意)P(第一次是车|不改变主意)
第一项P(开门得到车|第一次是羊，不改变主意)=0，第二项P(第一次是车|不改变主意)=1/3(也就是说第一次选择是否是车或羊的事件跟改变主意事件是独立的)，所以
原公式= P(开门得到车|第一次是羊，不改变主意)P(第一次是车|不改变主意) = 1/3
第二个式子得到：
P(开门得到车|改变主意)= P(开门得到车|第一次是羊，改变主意)P(第一次是羊|改变主意) + P(开门得到车|第一次是车，改变主意)P(第一次是车|改变主意)
其中第二项P(开门得到车|第一次是车，改变主意)=0，第一项P(第一次是羊|改变主意)=2/3，而主意的是P(开门得到车|第一次是羊，改变主意)=1。这是为什么呢，因为第一次是羊，然后主持人打开一个门之后也必然是羊，所以剩下的也就必然是车了。这样我们得到
原公式= P(开门得到车|第一次是羊，改变主意)P(第一次是羊|改变主意) = 2/3
所以改变主意后的得到车的概率会提高，所以改变注意会提高选择的优势。以上方法也能够很容易的扩展到多个门版本：
P(开门得到车|不改变主意)= P(开门得到车|第一次是羊，不改变主意)P(第一次是车|不改变主意)=1/n
P(开门得到车|改变注意)= P(开门得到车|第一次是羊，改变主意)P(第一次是羊|改变主意) = 1 / (n – 2) * (n – 1) / n
可以很容易的证明 n>=3时，P(开门得到车|改变注意)> P(开门得到车|不改变主意)。
我是认为换的好,现实一点,不用管概率这个问题,生活中很多概率,比如彩票,也是概率,如果你能知道下期开什么号码,你会买其它号码吗?当然你不知道..呵呵.
概率这东西不好说,有了概率才会有这么多不可控因素
昨天看到李开复的演讲,也谈到了这个相似的例子,14楼的写得这么详细,,呵呵
我是高一学生，我们班每周有个趣题交流的活动。昨天我向他们提出了三门问题，然后解释了1/3，2/3的原因，他们都认可了这个答案，但是部分同学也认为1/2也是对的（刚好我们老师介绍了贝特朗奇论）。我感觉到他们的解释中有偷换了概念，但是就是没办法说服他们。
所以我想向您请教一下否定1/2答案的有说服力的解释。
谢谢！等待您的回复。如果有时间的话，请尽快~
我终于好像明白了， 我可能太笨！呵呵
我是不论如何都不会改变我的主意的：
概率相同
不同意 Marylin 的答案.
醍醐灌顶啊！
14楼第8行
“原公式= P(开门得到车|第一次是羊，不改变主意)P(第一次是车|不改变主意) = 1/3”
应改为
“原公式= P(开门得到车|第一次是车，不改变主意)P(第一次是车|不改变主意) = 1/3”
在初看起来一个容易忽略问题是：主持人的选择不是任意的，其实他的选择有明显的暗示。开一扇有羊的门，意味着另一扇门背后很可能会是车。（也有可能两扇都是羊，他任意选的。但这种情况的概率只有1/3。）总之这种不对称使得三扇门不能作为等概率来处理。
或者可以这样解释：你可以选择一扇门，或者换选另外的两扇门。当然谁都知道换选两扇门是合适的。其中主持人替你开一扇（这里早开晚开是一样的，因为他知道哪个是羊），剩下的一扇由你自己来开。
http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
其实这还可以扩展考虑车与羊在1、2、 3中的概率分布,个人觉得实验是车与羊在1 2 3中出现是不等概率的,车的为三分之一,羊的三分之二(当然,这是在没有打开那一扇门之前的概率分布),关键在于打开那一扇门之后,以前的概率分布发生了改变,引用量子力学的话,某种确定性发生了,而不确定度改变了,-----而证明的关键是是否我们需要改变选择,我觉得在打开了一扇门,概率的分布变了,只要比较一下,开门前开门后,各扇门中是羊的概率和是车的概率(当然他们是互补的，显然，实验说明他们是不对等的，那实验的开始分不就有某种确定性的发生改变了概率分布，结果只不过是被遗传了下来),就可以了. 其实问题的关键在于那两只羊的互换性造成的概率分布变化,如果换成三种不同的动物,改变那是没有必要的.--以上我是假定每只动物在某一扇门下出现是等概率的,不存在个人偏好的特征概率分布模式.---顺便来一句,其实可以通过测量得到的结果预测人的某些模式,某些人的个人模式会遗传到输出的结果中,就像你文下的批论,当然输出的结果或多或少地发生了变异,或许就在你的获取过程中.....不谈了,没完没了了,输入处理输出,环环紧扣,却捱不住信息的缺失,熵的增加......
其实道理非常非常简单，必须换门！
三个门
各有1/3的机会有车 就是说第一次选有1/3的机会赢
如果第二次改了，你就是有1/3的可能性输掉。
无所谓，让它输 =）
只要我第一次选择是错的（2/3的机会），那第二次改选以后就必须是正确的。因为第二次换门的时候我只剩2个选择，主持人不可能开我第一次选的门，那他就必须乖乖的告诉我另外的空门是什么=D
顶楼上～～原来这么简单呀～～
好多人说的这么玄～～其实看不到问题的本质
第一步：假设1000个人同时实验，不改答案的话，那就是333人得奖；这里我们可以忽视主持人的环节，因为你不该答案了，主持人说与不说不影响统计的实验结果。
第二布：现在考虑改变答案，1000个人都锁定了1号和2号，投硬币决定选1或者2，得奖的应该是500人，很明显，2选一。（或者这么理解：我们规定前500人必须选1，后500人必须选2，这样结果和投硬币一样）
第三步：设一定改成2的话概率是P，那么我们有500*（1/3）+500*P = 500
那么P的概率是2/3.
其实可以从主持人的角度思考应该就很容易得出2/3的答案。
如果你选择了一个门，那么你有1/3概率选中，2/3的概率没有选中。
下面分别看下选中和没选中的情况。
在选中的情况下，剩下的两个门就都是羊，那么主持人任开一个羊，然后你切换，这样就肯定也得到羊，即没中
在没有选中的情况下，剩下的两个门一个是羊一个是车，但是主持人只能打开羊的门，那么你切换，就肯定得到车，即选中
所以发现在改变主意的情况下，你选中和没有选中的概率正好和第一次选择的没有选中和选中的概率相互对应。
即改变主意必然导致如果第一次选中，那么最终结果是不中
而如果第一次没有选中，那么最终结果是选中
得证
换了就变成1/2了...
其实车在另两个门的几率是2/3，确认其中一个不是车后另一扇门是车的几率还是2/3
主持人的选择暗示你另外一扇极有可能是车，但你的选择不在其暗示范围之内。
发现大家都是发出了让自己恍然大悟的想法啊。
首先明確一點，換是必須的。
換門后拿到車的概率也可以是0.5，這要看主持人自己是否知情。
1.如果知情，那麼如同ls諸位分析，換門的拿車概率是2/3.
2.如果不知情，主持人跟“我”是完全等效的，就相當於主持人幫“我”已經做出了一次錯誤選擇，換或者不換都是1/2。
1跟2的區別在於主持人是否知情，從數學上來描述這個區別：情況1中的主持人不可能抽出車子，消滅掉的1/3概率集中到了2號門；情況2中主持人雖然沒能抽出來車但可能抽出車子，消滅掉的1/3概率均勻的分攤到1,2門。
事實上，主持人斷然不會做情況2這種煞風景的事情，即便是情況2，換了也不虧。
所以必須換。