IMO2015 趣题:平衡的但无中心的点集

2015 年 IMO 的第 1 题很有意思。假设 S 是平面上的某个点集。如果对于 S 中的任意两点 A 、 B ,我们都能在 S 中找到一个点 C 满足 AC = BC ,我们就说这个点集 S 是平衡的。如果对于 S 中的任意三点 A 、 B 、 C ,我们都无法在 S 中找到一个点 P 满足 PA = PB = PC ,我们就说这个点集 S 是无中心的。这道题有两个小问。

  1. 证明:对于所有大于等于 3 的正整数 n ,都存在一个由 n 个点构成的平衡点集。
  2. 对于哪些大于等于 3 的正整数 n ,存在由 n 个点构成的平衡的但无中心的点集?

 

 

 

 

 

 

 

 

在第一小问中,如果 n 为奇数,我们只需要在圆周上取 n 个间隔相等的点即可。这 n 个点把圆周分成了 n 段等长的小圆弧。由于 n 为奇数,因此对于任意两点 A 、 B 来说,在优弧 AB 和劣弧 AB 当中,必然是一个包含奇数段小圆弧,一个包含偶数段小圆弧,其中后者上的中点一定也在点集里,不妨把它记作点 C 。由于弧 AC 的长度等于弧 BC ,因此线段 AC 的长度等于线段 BC 。这说明,这 n 个点满足平衡性的要求。

当 n = 4 时,以 O 为圆心作圆,在圆上找出 A 、 B 、 C 三个点,使得 △OAB 、 △OBC 都是等边三角形。容易验证,这四个点是满足要求的。在此基础上,每次再在圆上找两个与点 O 构成等边三角形的点,就能得到 n = 6, 8, 10, 12, … 时的方案。对于圆周上的任意两点,圆心 O 到它们俩等距;对于圆心和圆周上的任意一点,都有至少一个和它们配对的等边三角形,这个等边三角形的第三个顶点到它们俩等距。因此,如此得到的方案都是满足要求的。

所以,对于任意大于等于 3 的正整数 n ,满足要求的方案都是存在的。

 

在第二小问中,若 n 为奇数,那么圆周上的 n 个间隔相等的点即满足要求。我们刚才已经说明了,这样的点集是平衡的。对于圆周上的任意三点来说,到它们距离相等的点都是这个圆的圆心,而圆心并不在点集中,因此这个点集也是无中心的。

接下来,我们将要证明,对于所有的偶数 n = 2k ,满足要求的点集都是不存在的。由于点集满足平衡性,因此对于点集中的任意两个点 A 、 B ,我们都能找到一个与它们等距的点 C 。我们就说,点 C 平衡了 (A, B) 这一对点。显然,任意一个点最多都只能平衡掉 k – 1 对点,否则被它平衡的点将会有重复,从而不满足无中心的条件。然而,所有可能的点对数量为 2k · (2k – 1) / 2 = 2 · k2 – k ,这里面最多只有 2k · (k – 1) = 2 · k2 – 2 · k 个点对能被平衡掉。这就说明,满足要求的点集是不存在的。

19 条评论

  • Dr. What

    先沙再算

    • Dr. What

      感觉第一问构造n是偶数的情况有点需要灵感,试着构造了半天n=8的情况重新换了个思路才找出来一般解,之前n=6直接堆了个三角形的例外解……剩下的都不难了……

  • hyperthetical

    前排

  • feynman

    想请教一下M67,第一问当中除了文中给出的构造以外,还有没有其他构造(除了偶数的构造去掉点C可以是奇数的另一种构造以外)。如果没有,如何证明?

    • Dr. What

      偶数的情况除了n=6有一种很简单的不同构造之外,其他的暂时还没想到。感觉应该是没有了,不过估计证明会难很多……

    • feynman

      你一说我也想到了这个大等边三角形套小等边三角形的构造,有趣。很有可能其他偶数和奇数也存在一些稀奇古怪的构造也说不定呢。

    • Dr. What

      果然!我又发现了一种n=10的构造——一个五角星!里边的小五边形和外边的大五边形各自满足条件,而两者之间则得益于互相都是36°和72°的角度关系很容易得到一堆等长的距离,也能满足条件!
      但是这个没法继续推广了。我打算到此为止了,虽然找到了一个n>6的特例不过费了很大力气,我还是继续觉得其他的n没有特例好了……

    • tianren

      有一种构造,不必(太)区分奇偶:
      点集为某圆的圆心及圆上若干点。
      只要保证每个圆上的点在顺时钟 60 度或逆时针 60 度位置有另一个圆上的点即可

    • tianren

      Retract last reply
      呃,没看文章就回答了

  • 棕发少女

    祝我生日快乐

  • Agu

    这是第一次有组合几何题在IMO的第一或者第四题亮相!以往都只出现在第二题、第六题这些较有难度的题里。而且2011, 2013, 2014, 2015年都出了一道组合几何题。这可能意味着IMO放第一题是为了有一种「普及」的作用,不久的将来组合几何出现的频率甚至可能愈来愈高!

  • 笑平生

    当初在高铁上做这题,6个小时过去了才把第一问解决…

  • lai

    你花了多久做出来的?

  • yzy

    第一小题不禁让人想起那个“祖冲之点集”的老问题……

回复给 feynman 取消回复